Le cas vectoriel

Soitf une fonction r´eelle continue d´efinie sur un intervalle ouvert I ; soita un point fix´e de I et posons

F(x) = Z x

a

f(t)dt

pour tout x∈I (avec la convention ci-dessus lorsque x < a).

Th´eor`eme 3.1.5. La fonction F est une primitive de f sur I. On a donc montr´e que toute fonction continue sur un intervalle ouvertI admet des primitives.

D´emonstration. Montrons que pour tout x ∈ I, le nombre f(x) est la d´eriv´ee de F au point x. On a

Dans ce paragraphe on consid`ere des fonctions d´efinies sur un intervalle [a, b] et `a valeurs dans un espace vectoriel r´eel F de dimension finie. On supposera que F est muni d’une norme. On appellera fonction en escalier de [a, b] dans F une fonction ϕ de [a, b] dans F pour laquelle il existe un entier n≥ 1 et une subdivisionx0 =a < x1 < . . . < xn = b de [a, b] telle que ϕsoit constante sur chaque intervalle ]xi−1, xi[, pour i= 1, . . . , n.

Si ci d´esigne la valeur constante (vectorielle) de ϕ sur l’intervalle ]xi−1, xi[, on d´efinit l’int´egrale deϕsur l’intervalle [a, b] par la formule

Z b

(on doit v´erifier que le r´esultat ne d´epend que deϕ : la v´erification est la mˆeme que dans le cas r´eel). On v´erifie facilement les propri´et´es de lin´earit´e de l’int´egrale des fonctions en escalier vectorielles, ainsi que la majoration kRb

a ϕk ≤ Rb

a kϕk (appliquer l’in´egalit´e triangulaire `a la somme de vecteurs qui d´efinit l’int´egrale).

D´efinition 3.2.1. Soit f une fonction d´efinie sur [a, b] et `a valeurs dans F ; on dit que f est int´egrable au sens de Riemann (nous ´ecrirons en abr´eg´e : R-int´egrable) si pour tout ε > 0 donn´e, on peut trouver une fonction vectorielle ϕ en escalier et ψ en escalier r´eelle telles que

∀x∈[a, b], kf(x)−ϕ(x)k ≤ψ(x) et Z b

a

ψ(t)dt < ε.

La d´efinition du vecteurint´egraledemande un petit raisonnement. Consid´erons une suite quelconque d’approximations kf −ϕmk ≤ ψm, avec (ϕm) suite de fonctions en escalier vectorielles et (ψm) suite de fonctions en escalier r´eelles telle que limmRb

a ψm = 0. ´Etant tend aussi vers 0, donc la suite des int´egrales (Rb

a ϕm) est une suite de Cauchy dans l’espace F, donc une suite convergente puisque F est complet (comme tout espace vectoriel r´eel de dimension finie). Il est naturel de d´efinir l’int´egrale def comme ´etant le vecteur limite I de la suite des int´egrales desϕm, mais il reste un petit point `a compl´eter : la limite ne d´epend pas de la suite (ϕm, ψm) choisie. Si (ϕ, ψ) est une approximation quelconque def telle que

On voit alors que le vecteur I ∈ F est uniquement d´etermin´e par cette propri´et´e : c’est l’unique vecteur I de F tel que pour toutε >0 donn´e et pour toute approximationkf−ϕk ≤

< ε. On notera encore l’int´egrale par le symbole Z b

a

f(t)dt= I∈F ou bien Rb

a f pour abr´eger.

Remarque hors programme. Cette d´efinition reste la d´efinition correcte si on cherche `a

´etendre la d´efinition de l’int´egrabilit´e `a des fonctions `a valeurs dans un espace vectoriel norm´e de dimension infinie (qu’on aura besoin de supposer complet, pour faire converger les suites de Cauchy ci-dessus).

Supposons donn´ee une base de F et choisissons pour norme la norme euclidienne des coordonn´ees dans cette base. Sit→f(t) est une fonction de [a, b] dans F, d´esignons parfi

les fonctions coordonn´ees def (ce sont des fonctions `a valeurs r´eelles). On voit facilement quef est Riemann-int´egrable au sens de la d´efinition pr´ec´edente si et seulement si toutes les fonctions coordonn´eesfi sont Riemann-int´egrables : on peut en effet approcher f par une fonction en escalier vectorielleϕ si et seulement si on peut approcher toutes les fonctions coordonn´eesfi par des fonctions en escalier r´eellesϕi. Dans ce cas, l’int´egrale de Riemann de f est le vecteur de F dont les composantes dans la base choisie sont les int´egrales des fonctionsfi.

Il en r´esulte plusieurs cons´equences faciles, obtenues simplement en passant aux fonctions coordonn´ees : sif est R-int´egrable sur [a, b], elle est born´ee. Sif est continue de [a, b] dans l’espace vectoriel F, elle est R-int´egrable. Si f est de classe C¹ de [a, b] dans F, on a f(b)−f(a) =Rb

a f⁰(t)dt.

Etant donn´ee une subdivision point´ee (π, ξ) de l’intervalle [a, b], on associe `´ a chaque fonctionf d´efinie sur [a, b] et `a valeurs dans F lasomme de Riemann (vectorielle)

Σπ,ξ(f) =

n

X

i=1

(xi−xi−1)f(ξi)∈F.

En appliquant le th´eor`eme de Riemann aux fonctions coordonn´ees, on obtient le mˆeme

´enonc´e dans le cas vectoriel :

Soitf une fonction vectorielle d´efinie sur[a, b]; si la fonction f est Riemann-int´egrable sur [a, b], alors pour tout nombre r´eel ε >0, il existe η >0 tel que pour toute subdivision point´ee (π, ξ) de[a, b]telle que δ(π)< η on ait

Autrement dit, les sommes de Riemann convergent vers l’int´egrale de f lorsque le pas de la subdivision tend vers0.

Proposition 3.2.1. Lin´earit´e et majoration. Si f et g sont deux fonctions R-int´egrables sur [a, b], `a valeurs dans F, la fonction λf+µg est int´egrable sur[a, b]et on a

D´emonstration. On montre que la fonctiont→ kf(t)kest R-int´egrable quandf l’est comme on a montr´e que |f| est int´egrable dans le cas r´eel. Pour v´erifier les autres propri´et´es, il suffit de passer `a la limite dans les propri´et´es correspondantes des sommes de Riemann, qui sont ´evidentes.

Le r´esultat pr´ec´edent s’applique en particulier `a la majoration de l’int´egrale des fonctions

`

a valeurs complexes, en consid´erant C comme un espace norm´e sur R et le module d’un nombre complexe comme la norme de cet espace.

Corollaire 3.2.1.Sif est une fonction Riemann-int´egrable sur[a, b], `a valeurs complexes, la fonction r´eelle t→ |f(t)|est R-int´egrable, et on a

Proposition 3.2.2. Soient f, f1, f2 trois fonctions `a valeurs dans F et R-int´egrables sur [a, b], et hr´eelle etR-int´egrable sur[a, b]; les fonctions suivantes sont Riemann-int´egrables sur [a, b] :

hf, f1. f2 (produit scalaire), t→ kf(t)k. D´emonstration par approximation.

Un exemple d’application de la majoration de la norme

On va retrouver une version simple du th´eor`eme des Accroissements Finis vectoriel.

Supposons f de classe C¹ d’un ouvert U de E (espace vectoriel r´eel de dimension finie)

`

a valeurs dans F. On suppose que U contient un segment vectoriel [A,B]. On a alors en posantg(t) =f(A +t(B−A)) pour t∈[0,1]

Le r´esultat reste vrai en supposant simplement que f soit diff´erentiable dans U (c’est-` a-dire en enlevant l’hypoth`ese de continuit´e de la diff´erentielle), mais il demande alors une d´emonstration diff´erente (bien que l’id´ee de fond soit la mˆeme ; voir le chapitre de Calcul Diff´erentiel).

3.3. Calculs approch´es des int´egrales simples