Chapitre 2. S´eries num´eriques
2.5. S´eries absolument convergentes
D´efinition 2.5.1.On dit que la s´erie `a termes r´eels ou complexesP
un estabsolument convergente si la s´erie des modules P
|un| est convergente.
Le crit`ere de Cauchy pour la convergence des s´eries `a termes r´eels ou complexes consiste `a exprimer que la suite (Un) des sommes partielles est de Cauchy. La s´erie P
un v´erifie donc le crit`ere de Cauchy si pour tout ε >0, il existe un entier N = N(ε) tel que pour tous entiers m, ntels que N≤m < n on ait
|Un−Um|=|um+1+· · ·+un|< ε.
Puisque la suite (Un) converge si et seulement si elle est unesuite de Cauchy (th´eor`eme 1.3.1), on voit qu’une s´erie `a termes r´eels ou complexes est convergente si et seulement si elle v´erifie le crit`ere de Cauchy.
Th´eor`eme 2.5.1. Toute s´erie absolument convergente P
un est convergente, et
+∞
X
n=0
un
≤
+∞
X
n=0
|un|.
Cette derni`ere in´egalit´e peut ˆetre vue comme une forme d’hhin´egalit´e triangulaire infinieii.
D´emonstration. Posons
Un=u0 +· · ·+un; Vn=|u0|+· · ·+|un|. Supposons m < n. On a
|Un−Um|=|um+1+· · ·+un| ≤ |um+1|+· · ·+|un|= Vn−Vm. Puisque la s´erie P
|un| converge, la suite (Vn) est convergente, donc de Cauchy, ce qui entraˆıne que (Un) est de Cauchy, donc convergente. De plus |Un| ≤Vn pour tout n≥0 par l’in´egalit´e triangulaire, d’o`u l’in´egalit´e entre le module de la somme de la s´erie et la somme de la s´erie des modules, par passage `a la limite des in´egalit´es larges.
Indiquons une deuxi`eme d´emonstration que nous qualifierons de hhpi´etonneii. Pour chaque entier n ≥ 0, posons un = vn −wn, o`u on a pos´e vn = un, wn = 0 dans le cas un > 0 et vn = 0, wn = −un dans le cas un ≤ 0. On remarque que vn, wn ≥ 0 et vn, wn ≤ vn +wn = |un|. La convergence de la s´erie P
|un| implique donc par le th´eor`eme de comparaison 2.3.2 la convergence des deux s´eriesP
vn etP
wn, qui donne par diff´erence la convergence de P
un. Exemples. La s´erie g´eom´etrique complexeP
znest absolument convergente pour|z|<1.
La s´erie exponentielle complexe P
zn/n! est absolument convergente pour tout z ∈ C.
La s´erie P
(−1)n+1/n est convergente, mais pas absolument convergente (on l’appelle s´erie harmonique altern´ee).
Sommation par paquets des s´eries absolument convergentes Si P
un est une s´erie convergente, on peut ˆetre amen´e `a s’int´eresser `a la s´erie des termes pairs,
u0+u2+· · ·+u2n+· · ·
Il faut voir que cette nouvelle s´erie peut diverger (c’est le cas par exemple pour la s´erie harmonique altern´ee mentionn´ee ci-dessus). Si elle converge on dira qu’on a fait la somme du hhpaquetii des termes pairs. Si P
un est absolument convergente, la s´erie des termes pairs est encore absolument convergente, donc convergente.
Soit P
un une s´erie absolument convergente `a termes r´eels ou complexes, et soit A un sous-ensemble de N; on d´efinit une suite (χA(n)) de la fa¸con suivante : χA(n) = 1
On dira qu’on a effectu´e la somme du hhpaquetii A de la s´erie. Dans ce paragraphe, on posera pour simplifier σ(A) = P
n∈Aun. Si A et B sont deux sous-ensembles de N disjoints, on a χA∪B(n) = χA(n) +χB(n) pour tout n ≥ 0, donc σ(A ∪B) = σ(A) + σ(B). Cette propri´et´e d’additivit´e s’´etend `a toute famille finie A0,A1, . . . ,Ak de paquets disjoints. On va maintenant ´etudier ce qui se passe pour une famille infinie de paquets disjoints.
Supposons fix´ee une s´erieP
unabsolument convergente `a termes r´eels ou complexes.
On posera donc σ(A) = P
n∈Aun et de la mˆeme fa¸con τ(A) = P
n∈A|un|, pour tout A⊂N. Pour tout A on a d’apr`es le th´eor`eme 2.5.1 l’in´egalit´e
|σ(A)| ≤τ(A).
vn une s´erie `a termes positifs ; supposons choisie une suite (Ak)k≥0 dehhpaquetsiideux `a deux disjoints qui recouvreN, et telle queτk=P
n∈Akvn converge pour tout entier k ≥ 0. Alors la s´erie P
τk est de mˆeme nature que la s´erie
pour tout K, ce qui donne l’autre direction.
Remarque. Supposons donn´ee une famille (un,k) `a deux indices de nombres r´eels positifs. On peut se demander ce que pourrait signifier la sommeP+∞
n,k=0un,k. Il y a au moins deux solutions naturelles : on pourrait regrouper tous ces nombres par paquets An comprenant tous les couples (n, k) pour unnfix´e,kvariant dansN, ou bien par paquets Bkregroupant tous les couples (n, k) pour unkfix´e. Le r´esultat pr´ec´edent nous permet de comprendre que ces deux solutions donnent le mˆeme r´esultat (ainsi que n’importe quel d´ecoupage de l’ensemble des couples d’ailleurs).
Attention : ¸ca ne marche plus du tout si le signe du terme g´en´eral un,k change.
Th´eor`eme 2.5.3. Soit P
un une s´erie absolument convergente `a termes r´eels ou com-plexes ; supposons choisie une suite (Ak)k≥0 de hhpaquetsii deux `a deux disjoints qui recouvre N. Alors la s´erie P
σk de terme g´en´eral σk = P
n∈Akun est absolument con-vergente et
D´emonstration. Il suffit de traiter le cas r´eel. Comme dans la d´emonstration dite pi´etonne,
´ecrivons un = vn−wn, avec vn, wn ≥ 0 et vn +wn = |un|. Puisque vn, wn ≤ |un|, les deux s´eries `a termes positifs P
vn etP
wn sont convergentes, ce qui permet d’appliquer le r´esultat pr´ec´edent. Le r´esultat en d´ecoule.
Changement de l’ordre des termes
Proposition 2.5.1. Soit π une bijection de N sur N et soit P
un une s´erie absolument
D´emonstration. C’est un cas particulier du principe des paquets. Il suffit de poser Ak= {π(k)}pour tout entier k ≥0.
ATTENTION. Ce r´esultat est FAUX pour les s´eries qui ne sont pas absolument conver-gentes. Par exemple, on peut trouver une permutation de la s´erie P
n≥1(−1)n+1/n qui est divergente. On peut aussi trouver des permutations telles que la nouvelle s´erie soit convergente, mais avec une somme diff´erente.
Exercice (difficile). SoitP
un une s´erie convergente telle que P
|un|= +∞; pour tout nombre r´eelx, il existe une permutationπ des entiers telle que P+∞
n=0uπ(n) =x.
Produit de s´eries num´eriques absolument convergentes Etant donn´ees deux s´eries´ P
un et P
vn, on introduit une nouvelle s´erie P wn appel´ee s´erie produit et dont le terme g´en´eral wn est d´efini par
wn =
n
X
k=0
ukvn−k.
Th´eor`eme 2.5.4.Si les deux s´eries P
unetP
vnsont absolument convergentes, la s´erie produit est absolument convergente, et
D´emonstration. On va appliquer deux fois la sommation par paquets `a la s´erie obtenue en alignant les composants de w0, w1, w2, . . .
t0 =u0v0; t1 =u0v1, t2 =u1v0; t3 =u0v2, t4 =u1v1, t5 =u2v0; . . .
(si on veut une d´efinition pr´ecise du terme g´en´eral tn de cette s´erie, on peut dire que tn = uqvp−q si n= p(p+ 1)/2 +q, p≥ 0 et 0≤q ≤p). On d´efinit les premiers paquets de sommation (Ak) qui correspondent aux composants de wk, c’est-`a-dire
Ak={k(k+ 1)/2, . . . ,(k+ 1)(k+ 2)/2−1}.
La somme sur Ak donne donc wk. La deuxi`eme famille de paquets (Bk) est d´efinie en prenant tous les termes tn qui contiennent le facteur uk, et la somme du paquet Bk est
´egale `a uk(P+∞
n=0vn). En appliquant deux fois la sommation par paquets, on a
+∞X
Mais il faut aussi justifier que la s´erie P
tn est absolument convergente. Si on effectue la somme des |tn| du paquet Bk, on obtient
1. Donner une formule explicite pour les ensembles Bk(si on n’a pas peur des s´eries doubles, on ´evite ces probl`emes assez artificiels de num´erotage des termes (tn) : on posera simplement tn,k = unvk, et le d´ecoupage qui donne le terme g´en´eral de la s´erie produit correspond au d´ecoupage de l’ensemble de tous les couples (n, k) selon la valeur de la somme n+k).
2. Montrer que le th´eor`eme du produit de s´eries reste vrai si P
un est absolument con-vergente et P
vn simplement convergente (il faut donner une d´emonstration compl`etement diff´erente de la pr´ec´edente). On v´erifie avec la formule du binˆome que
wn =
ce qui montre par le th´eor`eme des produits de s´eries queϕ(a+b) =ϕ(a)ϕ(b) pour tous nombres complexes a, b. Par ailleurs, on a vu avec la formule de Taylor, pour touty ∈R
siny=y− y3 3! + y5
5! +· · ·+ (−1)n y2n+1
(2n+ 1)! +· · ·= Imϕ(iy) cosy= 1− y2
2! + y4
4! +· · ·+ (−1)n y2n
(2n)! +· · ·= Reϕ(iy) ce qui montre que pour tout y∈R
ϕ(iy) = cosy+isiny = eiy. Finalement, si z =x+iy, on a
ϕ(z) =ϕ(x)ϕ(iy) = exeiy = ex(cosy+isiny).
Il est donc tout `a fait raisonnable de poser pour tout nombre complexez ez =ϕ(z) = 1 +z+ z2
2! +· · ·+ zn n! +· · ·
On peut ´egalement prolonger aux nombres complexes les fonctions ch et sh, en posant ch(z) = ez+ e−z
2 et sh(z) = ez−e−z