Sous-espaces propres d’un endomorphisme





0 0 0 −1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0







Le polynˆome caract´eristique est X⁴+1, on trouve quatre racines complexesλ =γ(±1±i) o`u γ = √

2/2. Pour chaque racine λ le vecteur (λ³, λ², λ,1) ∈ C⁴ est vecteur propre et on obtient un plan stable en s´eparant partie r´eelle et imaginaire.

5.2. Sous-espaces propres d’un endomorphisme

Si u∈ L(E) et si µ∈K est une valeur propre de u, le sous-espace vectoriel E_µ= ker(u−µId_E) ={x∈E :ux=µx}

est diff´erent de {0_E}. Tout vecteur x 6= 0_E de E_µ est un vecteur propre de u de valeur propre µ. On appelle Eµ le sous-espace propre de u associ´e `a la valeur propre µ. Il est clair que E<sub>µ</sub> est un sous-espace stable pour u. Si v∈ L(E) commute avec u, il commute avecu−λIdE donc les sous-espaces propres deusont stables parvd’apr`es la proposition 5.1.3.

Proposition 5.2.1.Les sous-espaces propres d’un endomorphismeuforment une somme directe.

D´emonstration. On d´emontre cette propri´et´e par r´ecurrence sur le nombre de sous-espaces propres consid´er´es. Supposons donc que toute famille de k−1 sous-espaces pro-pres forme une somme directe, et montrons que cela reste vrai pourk. Soient λ₁, . . . , λ_k des valeurs propres de u, deux `a deux distinctes, et soient E₁, . . . ,E_k les sous-espaces propres correspondants ; supposons quex_j ∈E_j pour j = 1, . . . , k et que

x1+· · ·+xk = 0E.

Nous devons montrer quex₁ =x₂ =· · ·=x_k= 0_E. On d´eduit en appliquantu, puisque u(x_j) =λ_jx_j pour j = 1, . . . , k

λ1x1+· · ·+λkxk = 0E, donc en retranchant λk(x1+· · ·+xk) = 0E on obtient

(λ₁−λ_k)x₁+· · ·+ (λ_k−1−λ_k)x_k−1 = 0_E,

relation qui fait intervenir seulement k−1 des sous-espaces propres, ce qui entraˆıne que (λj −λk)xj = 0E pour j = 1, . . . , k−1 par l’hypoth`ese de r´ecurrence, donc x1 = · · · = x_k−1 = 0_E puisque λ_j 6=λ_k pour j < k, donc x_k = 0_E aussi.

D´efinition 5.2.1.Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie surK; on dit queuestdiagonalisables’il existe une base de E form´ee de vecteurs propres de u.

Proposition 5.2.2. Si dim E =n et si u ∈ L(E) admet n valeurs propres distinctes, u est diagonalisable.

D´emonstration. Soientλ₁, . . . , λ_nles valeurs propres (suppos´ees distinctes) ; pour chaque j = 1, . . . , n on peut trouver un vecteur propre f_j tel que u(f_j) =λ_jf_j. On va montrer que le syst`eme (f₁, . . . , f_n) est libre (donc ce sera une base de E puisque n= dim E) : si on a une relation

c₁f₁+· · ·+c_nf_n = 0_E

on aura en posant x_j = c_jf_j pour tout j = 1, . . . , n, d’une part x_j ∈ E_λj pour tout j et x1+· · ·+xn = 0E. Puisque les sous-espaces propres forment une somme directe, il en r´esulte que x₁ =· · · = x_n = 0_E, donc c_jf_j = 0_E pour tout j = 1, . . . , n, donc c_j = 0 puisque fj 6= 0E par d´efinition d’un vecteur propre, et on a montr´e que (f1, . . . , fn) est libre. On a donc trouv´e une base de E form´ee de vecteurs propres de u.

Dans une base form´ee de vecteurs propres la matrice de u est diagonale, et les coefficients diagonaux sont les valeurs propres, qui apparaissent ´eventuellement plusieurs fois. Chaque valeur propre λ apparaˆıt un nombre de fois ´egal `a la dimension du sous-espace propre Eλcorrespondant. Siuest diagonalisable, il existe donc une base de E dans laquelle la matrice A de u est diagonale, avec diagonaleλ₁, . . . , λ_n form´ee d’´el´ements de K, et alors

χu =χA=

n

Y

i=1

(λi−X) montre que toutes les racines deχ_u sont dans K.

Pour que u soit diagonalisable, il est n´ecessaire que toutes les racines de χ_u soient dans K.

Dire que u est diagonalisable revient `a dire que E est la somme des sous-espaces propres de u. En effet, si f = (f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, . . . , f<sub>n</sub>) est une base de E form´ee de vecteurs propres de u, et si µ<sub>1</sub>, . . . , µ<sub>p</sub> est la liste des valeurs propres (sans r´ep´etition), chaque vecteur de basef<sub>j</sub>appartient `a l’un des sous-espaces propres E_µ1,. . ., E_µp, donca fortiori f_j appartient au sous-espace F = E_µ1 +· · ·+ E_µp, donc F = E puisque F contient tous les vecteurs de la basef. Inversement, si F = E, on aura

E = E_µ1 ⊕ · · · ⊕E_µp,

et on obtiendra une base de E en prenant une base de chaque sous-espace E_µj, puis en rassemblant tous les vecteurs ainsi obtenus ; une telle base de E est form´ee de vecteurs propres de u.

Puisque la somme des sous-espaces propres est une somme directe, la dimension de E_µ1 ⊕ · · · ⊕E_µp est la somme des dimensions, donc

l’endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est ´egale `a n= dim E.

Soit µ ∈ K une valeur propre de u, et soit r l’ordre de multiplicit´e de µ comme racine de χ_u; alors dim E_µ≤r. En effet, si on ´ecrit la matrice A de u dans une base de E qui commence par une base de E_µ, le bloc carr´e A_µ correspondant au sous-espace E_µ

est ´egal `a µI<sub>p</sub>, o`u p est la dimension de E_µ, et la matrice A est triangulaire par blocs, donc le polynˆomeχ_Aµ = (µ−X)^p divise le polynˆome χ_u, donc dim E_µ =p≤r.

Supposons que toutes les racines de χ_u soient dans K, et soitµ₁, . . . , µ_k ∈K la liste des racines (deux `a deux distinctes) du polynˆomeχu; soientr1, . . . , rkleurs multiplicit´es comme racines de χ_u; on a dim E = n = r₁+· · ·+r_k. On sait que dim_Eµj ≤ r_j, donc pour que u soit diagonalisable il faut que pour toutj = 1, . . . , k, on ait dimE_µj =rj.

Pour que u soit diagonalisable, il faut et il suffit que toutes les racines de χ_u soient dans Ket que pour chaque racine µ de χ_u de multiplicit´er on aitdim E_µ=r.

Puisque E_µ est le noyau de u−µId_E, on sait que sa dimension est donn´ee par la relation dim Eµ = dim E−dim(u−µIdE)(E), c’est-`a-dire dim Eµ=n−rang(A−µIn) si A est la matrice deu dans une base de E. Cette remarque fournit une m´ethode pratique pour appliquer le crit`ere pr´ec´edent.

Exercices.

1. Montrer que la matrice

A =





1 0 1 0 2 0 0 0 1





n’est pas diagonalisable.

2. Montrer que la matrice compagnon M(P) d’un polynˆome P est diagonalisable sur C si et seulement si le polynˆome P a toutes ses racines simples.

R´eduction r´eelle d’une matrice qui est diagonalisable surC

Soit A une matrice r´eelle, qui d´efinit un endomorphisme de Rⁿ par X ∈ Rⁿ → AX ∈ Rⁿ; supposons que l’endomorphisme A^C de Cⁿ d´efini par la mˆeme matrice soit diagonalisable. Pour chaque vecteur Z ∈ Cⁿ ou matrice B `a coefficients complexes on peut d´efinir le vecteur complexe conjugu´e Z et la matrice B, et les r`egles habituelles pour le calcul des conjugu´es des sommes et des produits restent valables. Puisque A est r´eelle, l’´equation AZ =µZ ´equivaut `a AZ = µZ. Par cons´equent, µ est valeur propre de A^C si et seulement siµest valeur propre, et la correspondance Z→Z (qui n’est pasC-lin´eaire) transforme les ´el´ements de E_µ en ´el´ements de E_µ. Soit µ = a+ib, a, b ∈ R et b 6= 0 une valeur propre non r´eelle de A^C; soit (Z₁, . . . ,Z_p) une base de E_µ, et d´ecomposons Z_j = X_j +iY_j, X_j,Y_j ∈ Rⁿ, pour tout j = 1, . . . , p; alors (Z₁, . . . ,Z_p) est une base de E_µ et (Z₁+ Z₁), . . . ,(Z_p + Z_p),−i(Z₁−Z₁), . . . ,−i(Z_p −Z_p)

est une base (sur C) de E_µ⊕E_µ. Mais ces vecteurs sont les vecteurs r´eels (2X₁, . . . ,2X_p,2Y₁, . . . ,2Y_p), qui sont a fortioriR-ind´ependants. De plus, comme on l’a d´ej`a vu, on a pour chaquej = 1, . . . , k

AX_j =aX_j −bY_j; AY_j =bX_j +aY_j.

Revenant au probl`eme r´eel, on obtiendra pour la partie d’espace R<sup>n</sup> engendr´ee par le syst`eme libre (X1,Y1, . . . ,Xp,Yp) une matrice diagonale par blocs, avec k blocs de taille 2×2 tous ´egaux `a

a b

−b a

.

Sous-espaces caract´eristiques

Soient E un espace vectoriel de dimension finien >0 surK et u∈ L(E) ; soit µ une valeur propre de u, racine d’ordre r du polynˆome caract´eristique,

χ_u = (µ−X)^rQ,

avec Q(µ) 6= 0. Le sous-espace propre E_µ = ker(u− µId_E) v´erifie 0 < dim E_µ ≤ r.

Dans les bons cas, on a dim Eµ =r. Que faire dans les cas moins bons o`u dim Eµ < r? (rappelons qu’on est d´ej`a sˆur que u n’est pas diagonalisable dans ces cas moins bons).

Posons v=u−µIdE. On a

{0} ⊂kerv⊂kerv² ⊂ · · · ⊂kerv^q. . .

La suite croissante des entiers d_q = dim kerv^q est major´ee par n = dim E, donc elle finit par ˆetre constante : il existe un entier q0 tel que dq = dq0 pour tout q ≥ q0, ce qui entraˆıne kerv^q = kerv^q0 pour tout q ≥ q₀. On appelle sous-espace caract´eristique de u pour la valeur propre µ ce ^hhnoyau limiteⁱⁱ F_µ = ker(u−µId_E)^q lorsque q ≥q₀. Il contient le sous-espace propre E_µ. Dans le cas o`u u est diagonalisable, on v´erifie que ces deux sous-espaces E_µ et F_µ sont ´egaux (petit exercice).

On peut en fait d´eterminer l’entierq0 de la discussion pr´ec´edente tr`es simplement : d´esignons par p le plus petit entier q ≥ 0 v´erifiant l’´egalit´e kerv<sup>q</sup> = kerv<sup>q+1</sup>; on a p > 0 car Eµ = kerv 6= {0} = kerv<sup>0</sup>. On v´erifie alors que kerv<sup>q</sup> = kerv<sup>p</sup> pour tout entier q≥p par r´ecurrence sur q≥p (exercice), donc kerv<sup>p</sup> est d´ej`a ´egal au sous-espace caract´eristique Fµ (on verra plus loin quepest inf´erieur ou ´egal `a l’ordre de multiplicit´e r de la racineµ, donc on a aussi F_µ = kerv^r = ker(u−µId_E)^r, ce qui donne une formule plus directe) ; on va montrer que

E = kerv^p⊕v^p(E).

Tout d’abord, kerv^p∩v^p(E) ={0}; en effet, si x ∈kerv^p∩v^p(E), on a v^p(x) = 0 et on peut ´ecrirex=v^p(y) pour un certainy ∈E ; alors 0 =v^p(x) =v^2p(y), doncy ∈kerv^2p = kerv^p (puisque 2p ≥ p), ce qui donne v^p(y) = x = 0. Ensuite, la relation dim E = dim kerv^p+ dimv^p(E) finit de montrer que E = kerv^p⊕v^p(E) ; cette d´ecomposition est form´ee de deux sous-espaces stables parv, donc paru.

Th´eor`eme 5.2.1.On suppose queµ∈Kest valeur propre deu∈ L(E)et racine d’ordre r du polynˆome caract´eristiqueχu. Le sous-espace caract´eristique Fµ deu correspondant

`a la valeur propre µ est ´egal `a

F_µ= ker(u−µId_E)^r et on a dim F_µ =r.

Si on pose v=u−µIdE,G1 = Fµ = kerv^r et G2 =v^r(E), on aE = G1⊕G2, et G1,G2

sont stables par u; si on d´esigne par u₁ et u₂ les deux endomorphismes restriction de u

`a G1 et `a G2, on a χu =χu1χu2, avec χu1 = (µ−X)^r et χu2(µ)6= 0.

D´emonstration. On pose avec les notations ´etablies avant l’´enonc´e G1= kerv^p; G2=v^p(E).

On a vu que E = G1⊕G2, et cette d´ecomposition est form´ee de deux sous-espaces stables paru. On aa fortiorikerv∩v^p(E) ={0}, donc la restrictionv2 =u2−µIdG2 devau sous-espace G2est injective, ce qui signifie que la restrictionu2 deu`a G2n’admet plus la valeur

propreµ, ou encore queχu2(µ)6= 0. On sait que χu=χu1χu2. Puisque (X−µ)^r diviseχu

etχu2(µ)6= 0, on d´eduit que (X−µ)^r divise χu1. Il en r´esulte que r≤degχu1 = dim G1. On va montrer maintenant que µest la seule racine complexe de χu1, ce qui entraˆınera queχu1 = (µ−X)^r et dim G1=r. Pour tout x∈G1, on av^p(x) = 0 par d´efinition de G1, ce qui signifie que v^p₁ = 0. Si on choisit une base f de G1 et si A est la matrice de u1 dans cette base, la matrice dev1sera A−µId(en posantd= dim G1) et on aura (A−µId)^p= 0.

Siλ est une valeur propre complexe de A et Z∈C^d un vecteur non nul tel que AZ =λZ, on aura (A−µId)Z = (λ−µ)Z et 0 = (A−µId)^pZ = (λ−µ)^pZ, donc λ−µ= 0.

On sait maintenant que χu1 = (µ−X)^r et dim G1 = r. Pour finir, on remarque que 0<dim kerv <dim kerv²<· · ·<dim kerv^p = dim G1, ce qui montre quep≤dim G1=r.

On sait alors que G1 = kerv^p = kerv^r. Enfin, v^r(E) = v^p(E) (on a v^r(E) ⊂v^p(E) et ils ont la mˆeme dimension n−dim kerv^r =n−dim kerv^p).

Remarque. Le lecteur aura peut-ˆetre remarqu´e que nous avons renonc´e `a notre manie de toujours ´ecrire 0E pour le vecteur nul de E, manie qui finissait par ˆetre insupportable.

Ca nous reprendra encore de temps en temps, mais rarement. . .

Dans le cas d’un endomorphisme u ∈ L(E) qui n’est pas diagonalisable, mais tel que toutes les racines de χ_u soient dans K, on obtient une d´ecomposition int´eressante en sous-espaces stables par u, plus grands que les sous-espaces propres. En effet, si toutes les racines deχu sont dansK, on peut continuer la d´ecomposition en sous-espaces caract´eristiques que nous avons commenc´ee avec la valeur propre µ: on a pour l’instant

E = ker(u−µId_E)^r⊕G,

et on continue la d´ecomposition de E en somme directe en raisonnant sur la restriction de u `a G, qui n’admet plus la valeur propre µ.

Th´eor`eme 5.2.2. Si toutes les racines de χu sont dans K, l’espace E est somme directe des sous-espaces caract´eristiques,

E = F_µ1 ⊕ · · · ⊕F_µk, o`u µ₁, . . . , µ_k est la liste des racines de χ_u (sans r´ep´etition).

Triangulation

D´efinition 5.2.2. On dit queu∈ L(E) esttriangulable s’il existe une base f de E dans laquelle la matrice A = matf(u) de u est triangulaire sup´erieure.

Si u est triangulable, on voit imm´ediatement que les coefficients diagonaux de la matrice triangulaire A qui repr´esente u dans la base f sont les racines de χ_u, et ces coefficients sont dans K. Pour pouvoir trianguleru, il est donc n´ecessaire que toutes les racines de χ_u soient dans K.

Proposition 5.2.3. Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K; l’endomor-phisme u ∈ L(E) est triangulable si et seulement si le polynˆome caract´eristique χu se d´ecompose en facteurs de degr´e 1dans K[X](en d’autres termes si et seulement si χ_u a toutes ses racines dans K).

D´emonstration. Si u est triangulable, le polynˆome caract´eristique a toutes ses racines dansK. On montre le r´esultat inverse par r´ecurrence sur la dimension de E. C’est trivial quand n = dim E = 1. Supposons le r´esultat vrai pour les espaces de dimension < n, et soit u ∈ L(E) un endomorphisme d’un espace E de dimension n, dont le polynˆome caract´eristique ait toutes ses racines dans K. Soit µ∈K l’une de ces racines ; soit x un

vecteur propre tel que u(x) =µx et soit F un suppl´ementaire de Kx dans E ; d´esignons par p la projection de E =Kx⊕F sur F et soit v l’endomorphisme de F d´efini par

∀y ∈F, v(y) =p(u(y)).

En ´ecrivant la matrice A de u dans une base de E form´ee de x suivi d’une base de F, on voit que la matrice A est triangulaire par blocs, avec un bloc diagonal de taille 1×1

´egal `a (µ), et un autre bloc diagonal D de taille (n−1)×(n−1), et D est la matrice de v dans la base choisie pour F. On a alors χ<sub>A</sub> = (µ−X)χ<sub>D</sub>, donc χ<sub>D</sub> a toutes ses racines dansK, puisque toutes les racines de χD sont racines deχA. D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une base (f₁, . . . , f_n−1) de F dans laquelle la matrice de v est triangulaire sup´erieure. On v´erifie que dans la base (x, f1, . . . , f_n−1) de E, la matrice de u est triangulaire sup´erieure.

Corollaire 5.2.1. Sur C, tout endomorphisme est triangulable.

Triangulation d’une matrice

D´efinition 5.2.3.On dit que A∈M_n(R) esttriangulable sur Rs’il existe une basef de Rⁿ dans laquelle la nouvelle matrice B = A^f = V⁻¹AV obtenue par changement de base soit triangulaire sup´erieure. Autrement dit, s’il existe une matricer´eelleV inversible telle que V⁻¹AV soit triangulaire. On dira que A, matrice carr´ee complexe, est triangulable sur C s’il existe une matrice complexe V inversible telle que V⁻¹AV soit triangulaire sup´erieure.

Corollaire 5.2.2. Sur C, toute matrice carr´ee est triangulable.

Proposition 5.2.4. Une matrice A ∈ Mn(R) est triangulable sur R si et seulement si toutes les racines du polynˆome caract´eristiqueχ_A sont r´eelles.

Combinaison du th´eor`eme des sous-espaces caract´eristiques et de la triangulation Examinons le cas particulier o`u le polynˆome caract´eristique de la matrice A est χ_A = (µ−X)ⁿ, avec µ ∈ K. Dans ce cas la seule valeur propre est µ, donc la forme

o`u les ´etoiles repr´esentent des coefficients inconnus. On peut ´ecrire T = µI<sub>n</sub>+ N, o`u la matrice N est strictement triangulaire,

On montre par le calcul que Nⁿ = 0, c’est-`a-dire que N est nilpotente (on pourra aussi le voir par le th´eor`eme de Cayley-Hamilton 5.3.1, sachant que χ_n = (−1)ⁿXⁿ). Puisque µI_n commute avec N, on a obtenu le r´esultat suivant : si χ_A = (µ−X)ⁿ, avec µ∈K, il

existe trois matrices V,D,N `a coefficients dans Ktelles que V est inversible, D diagonale et N strictement triangulaire, et

A = V(D + N)V⁻¹, DN = ND.

Soit A ∈ M_n(K) telle que toutes les racines de χ_A soient dans K (ce qui est au-tomatique si K=C) ; soit µ₁, . . . , µ_p la liste des racines du polynˆome χ_A (deux `a deux distinctes) ; il existe une matrice inversible V ∈ M_n(K) telle que V⁻¹AV soit diagonale par blocs,

T = V⁻¹AV =





T₁ . . . 0 ... . .. ...

0 . . . T_p



,

o`u chaque bloc diagonal T_j est une matrice carr´ee triangulaire sup´erieure de la forme

T_j =













µj ∗ . . . ∗ 0 µ_j . .. ...

... . .. ... ∗ 0 . . . 0 µ_j











 .

Au total, T est triangulaire et peut s’´ecrire T = D + N avec D diagonale et N strictement triangulaire, et DN = ND.

Cette forme est tr`es utile pour calculer les puissance de A. En effet, la formule du binˆome s’applique parce que DN = ND, les puissances de D sont ´evidentes `a calculer et celles de N s’arrˆetent `a n. On a donc pour tout k ≥0

T^k = D^k+kD^k−1N +C²_kD^k−2N²+· · ·+Cⁿ⁻¹_k D^k−n+1Nⁿ⁻¹, et pour finir A^k= VT^kV⁻¹.

Exercice. R´eduire sous cette forme la matrice compagnon du polynˆome X²(X + 1)². 5.3. Polynˆomes d’endomorphismes

Soit E un espace vectoriel de dimension finie >0 sur K; on rappelle que le produit de deux endomorphismes est d´efini par la composition des applications,uv =u◦v.

Puissances et polynˆomes d’un endomorphisme

On pose u⁰ = Id_E pour tout u ∈ L(E), et on d´efinit par r´ecurrence u^m+1 = u^mu pour tout entierm≥0. On v´erifie par r´ecurrence sur k entier ≥0 que

u^m+k =u^m◦u^k =u^k◦u^m.

Si P = c₀ +c₁X + · · ·+c_kX^k ∈ K[X] est un polynˆome `a coefficients dans K, on d´efinit un endomorphisme P(u) par la formule

P(u) =c₀Id_E+c₁u+· · ·+c_ku^k ∈ L(E).

Pour bien comprendre le remplacement il vaut mieux ´ecrire P =c₀X⁰+· · ·+c_kX^k∈K[X], o`u X<sup>0</sup> n’est pas simplement le nombre 1 mais le polynˆome constant ´egal `a 1. Il faut faire attention `a cet aspect un peu particulier de l’op´eration : il faut remplacer le polynˆome

constant X⁰ par u⁰ = Id_E. Si P est un polynˆome constant, disons P = λ, on pose P(u) =λId_E, en particulier lorsque P est le polynˆome constant ´egal `a 1, on a pos´e

1(u) = Id_E.

On voit facilement que (P+Q)(u) = P(u)+Q(u) et (λP)(u) =λP(u) pour tous polynˆomes P,Q∈K[X] et tout λ∈K.

Exemples.

1. Siuest la rotation d’angle +π/2 dansR² et si P = X²+1, on trouve que P(u) = 0.

2. Application de P(u) `a un vecteur propre : si u(x) = λx, on a P(u)(x) = P(λ)x pour tout polynˆome P∈K[X].

3. Supposons que u soit diagonalisable, et soit (e1, . . . , en) une base de E form´ee de vecteurs propres de u, avec valeurs propres λ₁, . . . , λ_n; soit x un vecteur quelconque de l’espace E ; on ´ecrit

x=a₁e₁+a₂e₂ +· · ·+a_ne_n, ce qui donne en additionnant les ´egalit´es P(u)(ej) = P(λj)ej

P(u)(x) =a₁P(λ₁)e₁+a₂P(λ₂)e₂+· · ·+a_nP(λ_n)e_n.

4. Avec les mˆemes hypoth`eses (u diagonalisable), supposons que P(λj) = 0 pour toutj = 1, . . . , n. Il en r´esulte que P(u)(x) = 0 pour toutx, ce qui veut dire que P(u) est l’endomorphisme nul. En particulier, si P =χ<sub>u</sub> on trouve χ<sub>u</sub>(u) = 0. C’est le cas facile du th´eor`eme de Cayley-Hamilton, dont le cas g´en´eral suit. En fait on peut faire un peu mieux : si µ₁, . . . , µ_p est la liste des valeurs propres sans r´ep´etition et si

P = (X−µ₁). . .(X−µ_p),

le mˆeme argument montre que P(u) = 0. Cette remarque anticipe la notion de polynˆome minimal qui sera vue plus loin.

La proposition qui suit est facile, mais elle joue un rˆole important dans ce qui suit.

Proposition 5.3.1. Si P et Q sont deux polynˆomes `a coefficients dans K et u un endomorphisme de E, on a

P(u)◦Q(u) = (PQ)(u) = Q(u)◦P(u).

D´emonstration. On le v´erifie d’abord pour un monˆome de la forme Q = d_kX^k. Dans ce cas, si P =c0+c1X +· · ·+cpX^p, on aura

(PQ)(u) =c₀d_ku^k+· · ·+c_pd_ku^p+k = (c₀Id_E+· · ·+c_pu^p)(d_ku^k) = P(u)◦Q(u).

Ensuite, on d´ecompose un polynˆome quelconque Q en somme de monˆomes Q = P

kQ_k et on utilise l’associativit´e,

(PQ)(u) = (X

k

PQk)(u) =X

k

(PQk)(u) =

=X

k

P(u)◦Qk(u) = P(u)◦(X

k

Qk(u)) = P(u)◦Q(u).

Corollaire 5.3.1. Deux endomorphismes de la forme P(u) et Q(u) (pour le mˆeme u) commutent.

On d´efinit de mˆeme l’application d’un polynˆome P ∈ K[X] `a une matrice carr´ee A de taille n×n `a coefficients dans K,

P(A) =c0In+c1A +· · ·+ckA^k ∈Mn(K),

o`u I<sub>n</sub> d´esigne la matrice identit´e de taillen×n. Si A est la matrice d’un endomorphisme u par rapport `a une base e de E, la matrice P(A) est la matrice de l’endomorphisme P(u) dans la mˆeme base e,

mate(P(u)) = P(mate(u)).

On remarque dans le mˆeme ordre d’id´ees que P(VAV⁻¹) = VP(A)V⁻¹.

Si A est une matrice diagonale de taille n×n, avec ´el´ements diagonaux λ₁, . . . , λ_n, on voit facilement que pour tout entier k ≥ 0, la matrice A^k est la matrice diagonale de diagonale λ^k₁, . . . , λ^k_n. Il en r´esulte imm´ediatement que pour tout polynˆome P, la matrice P(A) est la matrice diagonale de diagonale P(λ1), . . . ,P(λn). Cette remarque se g´en´eralise facilement aux matrices diagonales par blocs.

Si A est une matrice triangulaire sup´erieure de taillen×n, avec ´el´ements diagonaux λ₁, . . . , λ_n, on voit aussi que pour tout entier k ≥ 0, la matrice A^k est triangulaire sup´erieure de diagonale λ^k₁, . . . , λ^k_n (mais les coefficients au dessus de la diagonale sont en g´en´eral difficiles `a calculer). Il en r´esulte imm´ediatement que pour tout polynˆome P, la matrice P(A) est triangulaire sup´erieure, de diagonale P(λ1), . . . ,P(λn). Cette remarque se g´en´eralise ´egalement aux matrices triangulaires par blocs.

Remarque. Si F est stable paru, il est stable par tout endomorphisme de la forme P(u), o`u P est un polynˆome quelconque `a coefficients dans K. Par exemple, keru et u(E) sont stables par P(u) pour tout polynˆome P. Rappelons que si u◦v = v◦u alors les deux sous-espaces kerv et v(E) sont stables par u; ils sont alors stables par P(u) pour tout polynˆome P∈K[X].

Sous-espace stable engendr´e par un vecteur non nul

Soit x un vecteur non nul d’un espace vectoriel E de dimension finie n sur K, et soit u ∈ L(E) ; on va d´ecrire le plus petit sous-espace stable par u contenant le vecteur x, et qui sera not´e F_x,u, ou simplement F_x si l’endomorphisme u est claire-ment identifi´e par le contexte. Puisque E est de dimension n, il n’est pas possible que les n+ 1 vecteurs du syst`eme (x, u(x), . . . , u<sup>n</sup>(x)) soient lin´eairement ind´ependants ; il existe donc un entier k ≤ n qui est le plus petit entier ` > 0 tel que u^{`</sup>(x) ∈ [x, u(x), . . . , u<sup>`−1}(x)]. Posons x_j = u^j(x) pour j = 0, . . . , k −1. Ces k vecteurs sont lin´eairement ind´ependants, puisque x₀ = x 6= 0 et que x_i ∈/ [x₀, . . . , x_i−1] pour i < k.

Posons G = [x, u(x), u²(x), . . . , u^k−1(x)] et montrons que G est stable paru. Pour cela, il suffit de v´erifier que les images par u des g´en´erateurs x₀, . . . , x_k−1 de G restent dans G ; pourj < k−1 on au(x_j) =x_j+1 ∈G, et pour le dernier g´en´erateurx_k−1 =u^k−1(x) on a u(x_k−1) =u^k(x)∈[x, u(x), . . . , u^k−1(x)] = G d’apr`es la d´efinition dek. Remarquons en-suite que tout sous-espace F stable paru et qui contient xcontient aussi u(x), u²(x), . . ., donc G = [x, u(x), u²(x), . . . , u^k−1(x)] est contenu dans tout sous-espace stable F con-tenant x. Tout ceci montre que F_x = G est le plus petit sous-espace stable contenant x, et que les vecteurs (x, u(x), . . . , u^k−1(x)) forment une base de Fx. Par ailleurs, il existe par d´efinition dek des coefficients a₀, . . . , a_k−1 dans K tels que

u^k(x) +a_k−1u^k−1(x) +· · ·+a₁u(x) +a₀x= 0.

Si nous posons P_x = P_x,u=a₀+a₁X +· · ·+a_k−1X^k−1+ X^k, nous voyons que Px(u)(x) = 0.

On dira que le polynˆome P_x = P_x,u est le polynˆome annulateur de x associ´e `a l’endo-morphismeu. Dans la base (x, u(x), . . . , u<sup>k−1</sup>(x)), la matrice de la restriction de u `a F_x a la forme

M(P_x) =















0 0 . . . 0 −a₀ 1 0 . . . 0 −a₁ ... . .. ... ... ... 0 0 . .. 0 −a_k−2 0 0 . . . 1 −a_k−1













 ,

c’est-`a-dire qu’elle est ´egale `a la matrice compagnon M(P_x) du polynˆome P_x.

Remarquons que si R est un polynˆome non nul deK[X] de degr´e≤k−1, on a R(u)(x)6= 0.

En effet R =c0+c1X +· · ·+ck−1X^k−1, donc

R(u)(x) =c0x+c1u(x) +· · ·+ck−1u^k−1(x)6= 0

puisque (x, u(x), . . . , u^k−1(x)) est une base et que les coefficients (ci) ne sont pas tous nuls.

Le polynˆome Px est donc le polynˆome unitaire P du plus petit degr´e tel que P(u)(x) = 0.

Son degr´e est ´egal `a la dimension de Fx. Exemples.

Son degr´e est ´egal `a la dimension de Fx. Exemples.

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