Formes lin´eaires. Espace dual

Dans cette section, on d´esigne par E un espace vectoriel sur un corps K; pour l’essentiel, le lecteur pourra consid´erer que K sera ´egal `a R ou `a C; l’amateur de math´ematiques pourra n´eanmoins observer avec int´erˆet que les r´esultats sont valables pour un corps K quelconque.

Une forme lin´eairesur E est une applicationK-lin´eaire de E dansK. ´Etant donn´ees deux formes lin´eaires f et g sur E, on d´efinit leur somme f +g par l’op´eration usuelle de somme de deux fonctions,

∀x ∈E, (f+g)(x) = f(x) +g(x).

Il est facile de v´erifier quef+gest encore une forme lin´eaire. Pour toutλ∈K, on d´efinit aussi la fonction λf par la formule (λf)(x) = λf(x). Cette fonction λf est lin´eaire, et muni de ces deux op´erations, l’ensemble des formes lin´eaires sur E est un espace vectoriel sur K. C’est l’espace dual de E, not´e E^∗.

L’image f(E) d’une forme lin´eaire f est un K-sous-espace vectoriel de K, donc elle est ´egale `a {0} ou `a K. Une forme lin´eaire f sur E est non nulle si et seulement s’il existe un vecteur x∈E tel que f(x) = 1. Si E est de dimension n et si f est une forme lin´eaire non nulle sur E, le noyau kerf est un sous-espace vectoriel de dimension n−1 de E. On appelle hyperplan (vectoriel) de E tout sous-espace vectoriel F de E qui est de codimension 1 c’est-`a-dire tel que F 6= E et que E = F +Kx pour tout vecteur x /∈ F (autrement dit, quand on a F, il ne manque plus qu’une dimension pour arriver `a E tout entier). Si E est de dimension finie n > 0, un sous-espace F de E est un hyperplan de E si et seulement si dim F =n−1. Un hyperplan affine est un sous-ensemble obtenu en translatant un hyperplan vectoriel. Le noyau d’une forme lin´eaire f sur E non nulle est donc un hyperplan de E, et les ensembles de la forme H_c = {x ∈ E : f(x) = c} sont des hyperplans affines. Dans le cas r´eel (lorsque K=R), cet hyperplan affine Hc s´epare l’espace E en deux demi-espaces, `a savoir {x ∈E :f(x)≤c} et {x∈E :f(x)≥c}.

Exercice facile. Montrer sans supposer la dimension de E finie que le noyau d’une forme lin´eaire non nulle est de codimension 1.

Base duale d’une base de E

Supposons que l’espace vectoriel E soit de dimension finie n > 0, et supposons donn´ee une base e = (e₁, . . . , e_n) de l’espace E ; on d´efinit un syst`eme e<sup>∗</sup> de formes lin´eaires sur E `a partir de cette base, de la fa¸con suivante : pour chaquei= 1, . . . , n, on d´esigne par e^∗_i la fonction scalaire d´efinie sur E, qui associe `a chaque vecteur x de E sa i`eme coordonn´ee dans la base e, et on pose e^∗ = (e^∗₁, . . . , e^∗_n). On peut d´efinir toutes ces fonctions (e^∗_i) par une formule (implicite) unique,

(∗) ∀x∈E, x=

n

X

i=1

e^∗_i(x)e_i.

On remarque que

e^∗_i(e_j) =δ_i,j,

o`u δ<sub>i,j</sub>, appel´e symbole de Kronecker, est ´egal `a 1 si i = j et `a 0 sinon (en d’autres termes, la matrice des coefficients (δ_i,j) est la matrice unit´e I_n).

Proposition 4.5.1. Le syst`eme e^∗ est une base de l’espace dual E^∗. En cons´equence, lorsque E est de dimension finie, on a dim E^∗ = dim E.

On dit que e^∗ est la base dualede la base e de E.

D´emonstration. Soit x^∗ une forme lin´eaire sur E ; en appliquant x^∗ `a la d´ecomposition d’un vecteur x∈E quelconque donn´ee par la formule (∗), on obtient

∀x ∈E, x^∗(x) =

n

X

i=1

e^∗_i(x)x^∗(ei) =

n

X

i=1

x^∗(ei)e^∗_i (x).

En termes de fonctions sur E, ceci signifie que x^∗ = Pn

i=1x^∗(e_i)e^∗_i, et montre que le syst`eme de formes lin´eairese^∗ est g´en´erateur pour l’espace vectoriel dual E^∗. Si on ´ecrit une combinaison lin´eairex^∗ =Pn

i=1c_ie^∗_i, on trouve, en appliquant la forme lin´eairex^∗ au vecteur ej, la relationcj =x^∗(ej) qui montre que les coefficients (cj) de la combinaison lin´eaire sont uniquement d´etermin´es, donce^∗ est une base du dual E^∗.

Calcul des coordonn´ees d’une forme lin´eaire dans une base duale

Sie^∗ est la base duale d’une base e= (e₁, . . . , e_n) de E, et six^∗ =c₁e^∗₁+· · ·+c_ne^∗_n, on vient de dire qu’on trouve les coefficients (c_i) au moyen de la formule

c_i =x^∗(e_i), i= 1, . . . , n;

cette formule ´evidente sera utilis´ee `a plusieurs reprises dans ce chapitre.

Remarque.Etant donn´es un syst`eme de vecteurs´ x= (x1, . . . , xn) dans E (espace vectoriel de dimensionn) et un syst`eme de formes lin´eaires (y^∗₁, . . . , y^∗_n) dans E^∗, les relations

∀i, j= 1, . . . , n, yi^∗(xj) =δi,j

impliquent que le syst`emex= (x1, . . . , xn) est une base de E et que (y^∗₁, . . . , y^∗_n) est la base duale de la base xde E.

Proposition 4.5.2. Soit f une forme lin´eaire non nulle sur E, et soit H = kerf son noyau ; si g est une forme lin´eaire sur E qui est nulle en tout point de H, il existe un scalaire λ∈K tel que g =λf (autrement dit, g est proportionnelle `a f).

D´emonstration. Puisque f est non nulle, on peut trouver un vecteur x₀ ∈ E tel que f(x₀) = 1. Supposons que g soit une forme lin´eaire nulle sur le noyau H de f, et posons λ=g(x₀). Soit y un vecteur quelconque de E ; ´ecrivons

y = (y−f(y)x₀) +f(y)x₀.

Posons z =y−f(y)x₀. On a f(z) =f(y)−f(y)f(x₀) = 0, donc z ∈H et g(z) = 0 par hypoth`ese. On a doncg(y) =g(z) +f(y)g(x₀) =f(y)g(x₀) =λf(y), ce qui montre bien que g=λf.

On peut r´esumer la d´emonstration ainsi : la forme lin´eaireg−λf est nulle sur E, parce qu’elle est nulle sur H et sur Kx0, et que E = H⊕Kx0; elle est nulle sur H puisque pour tout y ∈ H, on a (g −λf)(y) = g(y) −λg(y) = 0−0 = 0, et nulle sur Kx0 puisque (g−λf)(x0) =λ−λ= 0.

Corollaire 4.5.1. Deux formes lin´eaires qui ont le mˆeme noyau sont proportionnelles.

Proposition 4.5.3. Soit E un espace vectoriel de dimension finie ; pour tout vecteur non nul x∈E, il existe une forme lin´eaire x^∗ ∈E^∗ telle que x^∗(x)6= 0.

D´emonstration. Puisque x est non nul, on peut trouver d’apr`es le th´eor`eme de la base incompl`ete une base e = (e1, . . . , en) de E telle que e1 = x. La forme lin´eaire e^∗₁ de la base duale e^∗ convient, puisque e^∗₁(x) =e^∗₁(e₁) = 16= 0.

Proposition 4.5.4. Soient f₁, . . . , f_k des formes lin´eaires ind´ependantes sur un espace vectoriel E de dimension finie ; posons

M ={x ∈E :∀i= 1, . . . , k, fi(x) = 0}

(c’est l’intersection des noyauxkerfj des formes lin´eaires consid´er´ees). La dimension du sous-espace vectoriel M est ´egale `a dim E−k.

D´emonstration. Posons n = dim E, et compl´etons le syst`eme (f₁, . . . , f_k) en une base (f₁, . . . , f_n) du dual E^∗. Consid´erons l’application lin´eaireu : E→Kⁿ d´efinie par

u(x) = (f₁(x), . . . , f_n(x))∈Kⁿ.

Si x ∈ keru, on a f_i(x) = 0 pour tout i = 1, . . . , n, donc f(x) = 0 pour toute forme lin´eaire f ∈E^∗ (micro-exercice), donc x = 0_E d’apr`es la proposition pr´ec´edente 4.5.3. Il en r´esulte queuest injective, doncuest un isomorphisme puisque dim E^∗ = dim E =n= dimKⁿ. On voit alors que M est l’image par l’isomorphisme inverse u⁻¹ du sous-espace M⁰ de Kⁿ de dimension n−k d´efini par

M⁰ ={(t₁, . . . , t_n)∈Kⁿ :t₁ =t₂=· · ·=t_k = 0} donc dim M = dim M⁰ =n−k.

Remarque. Si on ne suppose pas que les formes (f1, . . . , fk) sont ind´ependantes, on verra que dim M = dim E−dim[f1, . . . , fk] (o`u la notation [f1, . . . , fk] d´esigne le sous-espace vectoriel de E^∗ engendr´e parf1, . . . , fk). En particulier, on a toujours dim M≥dim E−k.

Corollaire 4.5.2. Si (f1, . . . , fn) est une base de E^∗, il existe une base x1, . . . , xn de E telle quef_i(x_j) =δ_i,j pour tous i, j = 1, . . . , n (toute base de E^∗ est donc la base duale d’une base de E).

D´emonstration. Comme dans la d´emonstration de la proposition pr´ec´edente, on introduit l’isomorphismeude E surKⁿd´efini paru(x) = (f1(x), . . . , fn(x))∈Kⁿpour toutx∈E.

Pour trouver les vecteurs (x_j) il suffit de consid´erer les images par l’inverse u⁻¹ des vecteurs de la base canonique de Kⁿ.

Application lin´eaire transpos´ee

Soit a: E→F une application lin´eaire ; on d´efinit une application ^ta: F^∗ →E^∗ par la formule

∀y^∗ ∈F^∗, ^ta(y^∗) =y^∗◦a ∈E^∗.

On v´erifie facilement que cette application ^ta est lin´eaire de F^∗ dans E^∗. Si on se donne une deuxi`eme application lin´eaireb: F→G, on voit que

t(b◦a) =^ta◦^tb

(bien noter l’interversion dea etb). La transpos´ee de l’identit´e de E est l’identit´e de E^∗. Il r´esulte des deux propri´et´es pr´ec´edentes que la transpos´ee d’un isomorphisme est un isomorphisme, et que l’on a dans ce cas (^ta)⁻¹ =^t(a⁻¹).

Supposons que E et F soient de dimensions finies met n, que e soit une base de E etf une base de F. Consid´erons la matrice (en g´en´eral rectangulaire) A = mat(a,e,f) de l’application lin´eaire a par rapport `a ces deux bases. La matrice B = mat(<sup>t</sup>a,f<sup>∗</sup>,e<sup>∗</sup>) est alors ´egale `a la matrice transpos´ee de A. En effet, la colonne i de la matrice B contient les coordonn´ees de la forme lin´eaire ^ta(f_i^∗) dans la base e^∗. On a vu que la coordonn´ee j d’une forme lin´eaire x^∗ dans cette base e^∗ est ´egale `a x^∗(e_j), donc en appliquant ceci

`a x^∗ =^ta(f_i^∗) on obtient

B_j,i =^ta(f_i^∗)(e_j) =f_i^∗(a(e_j)) = A_i,j.

Transposition d’un changement de base : si V est la matrice de changement de base deeversf, la matrice transpos´ee^tV est la matrice de changement def^∗ verse^∗(attention au changement de l’ordre des bases !).

Bidual d’un espace vectoriel

A tout vecteur` x∈E, on peut associer une fonction scalairejE(x), d´efinie sur l’espace dual E^∗ au moyen de la formule

∀x^∗ ∈E^∗, (j_E(x))(x^∗) =x^∗(x)∈K.

Il est facile de v´erifier que j_E(x) est une fonction lin´eaire de E^∗ dans K, c’est-`a-dire un

´el´ement du dual (E^∗)^∗ de E^∗, qu’on appelle le bidualde E, et que l’on note E^∗∗. De plus, l’applicationj_E:x→j_E(x) est lin´eaire de E dans E^∗∗.

Th´eor`eme 4.5.1. Si E est de dimension finie, l’application j_E est un isomorphisme de E sur son bidual E^∗∗.

Le caract`ere ^hhnaturelⁱⁱ de la d´efinition justifie que l’on appelle j_E l’isomorphisme canonique de E sur E^∗∗ (la d´efinition de jE ne d´epend que de E et de la d´efinition du dual E^∗, et ne d´epend d’aucun choix auxiliaire).

D´emonstration. On sait d´ej`a que dim E<sup>∗∗</sup> = dim E<sup>∗</sup> = dim E d’apr`es la proposition 4.5.1.

Pour savoir que jE est un isomorphisme, il suffit donc de v´erifier que jE est injective, c’est-`a-dire de voir que pour tout vecteur x ∈ E non nul, l’image j_E(x) est non nulle.

Mais d’apr`es la proposition 4.5.3, six ∈E est non nul il existe une forme lin´eaire x^∗₀ telle que x^∗₀(x)6= 0, donc (j_E(x))(x^∗₀) = x^∗₀(x) 6= 0, ce qui montre que la fonction j_E(x) n’est pas identiquement nulle sur E^∗, ce qui signifie quej_E(x)6= 0_E^∗.

Remarque. Retrouvons le fait que toute base b = (x^∗₁, . . . , x^∗_n) de E^∗ est la base duale d’une baseede E. Consid´erons la base duale (x^∗∗₁ , . . . , x^∗∗_n ) de la baseb; c’est une base du bidual E^∗∗. Pour chaque i= 1, . . . , n il existe un vecteur xi ∈E tel que x^∗∗_i =jE(xi). On a alors pour tous i, j= 1, . . . , n

x^∗_i(xj) =x^∗∗_j (x^∗_i) =δi,j, donc la base best la base duale de la base (x1, . . . , xn) de E.

Chapitre 5. R´eduction des endomorphismes d’un espace vectoriel