Espaces vectoriels

Pour ^hhfabriquerⁱⁱ un espace vectoriel, il faut d’abord se donner un ensemble E (dont les ´el´ements seront appel´es vecteurs), puis donner deux op´erations, l’addition des vecteurs d’une part, et d’autre part la multiplication des vecteurs par des nombres appel´es scalaires; on suppose que ces donn´ees v´erifient les axiomes des espaces vectoriels, que nous ne rappellerons pas ici ; l’ensemble des scalaires doit ˆetre uncorps, appel´e le corps de basede l’espace vectoriel E ; ce corps sera not´eK. On se limitera le plus souvent dans ce cours au cas o`u K = R ou K = C; le corps K pourra ˆetre aussi un sous-corps de C, par exemple K = Q. Strictement parlant, on devrait dire ^hhl’espace vectoriel (E,+, .)ⁱⁱ mais l’usage courant est de dire simplement ^hhl’espace vectoriel Eⁱⁱ.

Pour tout entier n≥1, l’espace vectoriel Kⁿ est l’ensemble desn-uplets (a₁, . . . , a_n) d’´el´ements de K, muni des op´erations usuelles d’addition et de multiplication par les

´el´ements de K (les ^hhscalairesⁱⁱ). Nous associerons souvent `a un ´el´ement x de Kⁿ une matrice colonne X pour pouvoir appliquer le calcul matriciel,

x= (a₁, . . . , a_n)∈Kⁿ, X =







 a₁ a₂ ... a_n









(attention aux conventions : (a₁, . . . , a_n) est un n-uplet, pas une matrice ligne ; une matrice ligne ne contient pas de virgules).

Labase canoniquede l’espace vectoriel Kⁿest form´ee des vecteurse₁ = (1,0, . . . ,0), e2 = (0,1,0, . . . ,0), jusqu’`aen= (0, . . . ,0,1). Dans cette base le vecteurxci-dessus peut s’´ecrire x=a₁e₁+· · ·+a_ne_n.

Sous-espaces vectoriels et applications lin´eaires D´efinitions.

4.1.1. Sous-espace vectoriel. Soit E un espace vectoriel sur K; on dit qu’un sous-ensemble F de E est un sous-espace vectoriel de E si les trois conditions suivantes sont v´erifi´ees :

a. Le vecteur nul 0_E de E appartient `a F, c’est-`a-dire 0_E∈F b. Pour tous vecteurs x, y de F, on a x+y∈F

c. Pour tout vecteur x ∈F et tout λ∈K, on a λx∈F.

On peut r´esumer ces trois conditions en disant que F est non vide et que λx+y ∈ F pour tous x, y ∈F et toutλ ∈K.

4.1.2. Application lin´eaire. Soient E₁ et E₂ deux espaces vectoriels sur K; on dit qu’une application u: E₁ →E₂ est une application lin´eaire de E₁ dans E₂ si

a. Pour tous vecteurs x, y ∈E₁, on a u(x+y) =u(x) +u(y) b. Pour tout vecteur x ∈E₁ et toutλ ∈K, on au(λx) =λu(x).

On peut r´esumer en disant que u(λx+y) = λu(x) +u(y) pour tous x, y ∈ E₁ et tout λ∈K. On rappelle queu(0E1) = 0E2, etu(−x) =−u(x) pour tout vecteur x∈E1.

Exemples de sous-espaces vectoriels.

1. Les ensembles {0_E} et E sont des sous-espaces vectoriels de E.

2. Pour tout vecteur x∈E non nul, on peut consid´erer la droite vectorielle Kx={λx:λ ∈K}.

C’est un sous-espace vectoriel de E. Dans le cas o`u K = R, le sous-espace vectoriel Rx correspond vraiment `a une droite au sens usuel, de vecteur directeur x et passant par le point origine 0_E. Dans le cas complexe (si K =C), le lecteur devra bien comprendre qu’une^hhdroite complexeⁱⁱne correspond pas `a l’id´ee g´eom´etrique usuelle de droite. Une droite affine n’est pas en g´en´eral un sous-espace vectoriel (elle ne passe pas toujours par 0) ; c’est un ensemble de la forme a+Kx; une telle droite affine passe par le point a ∈ E, et elle admet le vecteur x 6= 0E comme vecteur directeur. Un plan vectoriel est un sous-espace vectoriel de la forme {λx+µy:λ, µ ∈K}, o`u x et y sont deux vecteurs non K-colin´eaires.

3. L’intersection E₁∩E₂ de deux sous-espaces vectoriels E₁ et E₂ de E est un sous-espace vectoriel de E.

4. ´Etant donn´es deux sous-espaces vectoriels F₁ et F₂ de E, on d´efinit lasomme des deux sous-espaces par

F₁+ F₂ ={y₁+y₂ :y₁ ∈F₁, y₂ ∈F₂}.

Par exemple, la somme de deux droites vectorielles distinctes est un plan vectoriel. Cette op´eration est associative : (F1+ F2) + F3 = F1+ (F2+ F3). On d´efinit de mˆeme la somme F₁ +· · ·+ F_n d’une famille finie F₁, . . . ,F_n de sous-espaces vectoriels de E.

5. Produit fini d’espaces vectoriels

Si E1, . . . ,Ensont des espaces vectoriels sur K, l’espace produit E1×· · ·×En, qui est l’ensemble desn-uplets (x₁, . . . , x_n) o`u x_i ∈E_i pour chaquei= 1, . . . , n, est muni d’une structure naturelle d’espace vectoriel surK qui d´ecoule des structures de E1, . . . ,En : les op´erations de l’espace vectoriel E₁× · · · ×E_n sont d´efinies par

(x₁, . . . , x_n) + (y₁, . . . , y_n) = (x₁+y₁, . . . , x_n+y_n), a(x1, . . . , xn) = (ax1, . . . , axn)

pour touta ∈K. L’espace vectorielKⁿ est un cas particulier de cette op´eration produit, le cas o`u tous les facteurs E<sub>i</sub> sont ´egaux `a K. L’application de E₁ × · · · ×E_n dans E_i d´efinie par π_i(x₁, . . . , x_n) = x_i s’appelle la i-`eme projection de l’espace produit sur le i`eme facteur E_i.

Exemples d’applications lin´eaires.

1. L’application nulle, les projections d’un espace vectoriel produit sur les facteurs sont des applications lin´eaires. L’application identique de E ou identit´e de E, qui sera not´ee Id_E dans ces notes, et qui est d´efinie par Id_E(x) = x pour tout x ∈ E, est

´evidemment une application lin´eaire de E dans E. On appelle endomorphisme de E toute application lin´eaire de E dans lui-mˆeme.

2. La somme de deux applications lin´eaires est une application lin´eaire. L’ensemble de toutes les applications lin´eaires de E dans F est l’espace vectoriel L(E,F).

3. On appelle forme lin´eaire une application lin´eaire de E dans le corps K. Le dual de E est l’espaceL(E,K) de toutes les formes lin´eaires sur E. On le note en g´en´eral E^∗.

4. Quand elle est d´efinie, la composition v◦u de deux applications lin´eaires u et v est une application lin´eaire.

5. ´Etant donn´e un syst`eme x = (x₁, . . . , x_p) de vecteurs d’un espace vectoriel E, l’application deK^p dans E d´efinie par

ϕ^x(λ₁, . . . , λ_p) =

p

X

j=1

λ_jx_j

est une application lin´eaire.

Une application lin´eaire u de E dans F est un isomorphisme (d’espaces vectoriels) s’il existe une application lin´eaire v : F→ E telle que v◦u = Id_E et u◦v = Id_F. Dans ce cas l’application v est l’application r´eciproque de u (au sens ensembliste) ; pour que l’application lin´eaire u soit un isomorphisme, il suffit que u soit bijective de E sur F ; l’application r´eciproquev=u⁻¹ sera automatiquement lin´eaire.

Soit u∈ L(E,F) une application lin´eaire ; lenoyau de u est l’ensemble des vecteurs x∈E tels queu(x) = 0_F; c’est un sous-espace vectoriel de E et on le note keru.L’image de u est l’ensemble u(E) des ´el´ements de F qui sont l’image d’au moins un ´el´ement de l’espace E ; c’est un sous-espace vectoriel de F.

Rappel.Une application lin´eaireu∈ L(E,F)est injective si et seulement sikeru={0_E}. Exemple. La somme F1 + F2 de deux sous-espaces de E est l’image de F1 ×F2 par l’application lin´eaireude F1×F2 dans E d´efinie paru(x1, x2) =x1+x2. Le noyau deuest le sous-espace de F1×F2 form´e de tous les couples (x,−x) o`u x varie dans l’intersection F1∩F2. L’applicationuest donc injective si et seulement si F1∩F2 ={0}; dans ce cas u sera un isomorphisme de F1×F2 sur F1+ F2.

Exemples mettant en jeu des espaces vectoriels de dimension infinie L’ensemble S des s´eries convergentes, muni de la somme (P

un)+(P

vn) =P

(un+vn) et de l’op´erationλP

un =P

λun, est un espace vectoriel (de dimension infinie) ; l’espace des s´eries absolument convergentes est un sous-espace vectoriel de S, l’application qui associe `a chaque s´erie convergente la somme de la s´erie est une application lin´eaire de S dansK=R ou C (forme lin´eaire). La transformation d’Abel fournit des exemples d’endomorphismes de l’espace vectoriel S : si (λn) est une suite r´eelle d´ecroissante tendant vers 0, l’application Pvn→P

λnvn est lin´eaire de S dans S.

L’ensemble C(R) des fonctions r´eelles continues surRest muni d’une structure naturelle d’espace vectoriel sur Ro`u les op´erations sont la somme de deux fonctions et la multipli-cation d’une fonction par une constante r´eelle,

(f+g)(x) =f(x) +g(x), (a f)(x) =af(x).

Les fonctions de classe C¹surRforment un sous-espace vectoriel C¹(R) de l’espace vectoriel C(R). Les fonctions de classe C²forment un autre sous-espace C²(R), contenu dans C¹(R).

Etant donn´ees deux fonctions´ aet bsur R, les fonctions f de C²(R) telles que

∀x∈R, f⁰⁰(x) =a(x)f⁰(x) +b(x)f(x) forment un sous-espace vectoriel de C²(R).

L’application qui associe `a toute fonction f ∈ C(R) sa primitive F nulle en 0 est une application lin´eaire de C(R) dans C<sup>1</sup>(R). L’application qui associe `a toute fonctionf ∈C(R) la quantit´eR1

0 f(t)dtest une application lin´eaire de C(R) dans R(forme lin´eaire).

Combinaisons lin´eaires

Soit x₁, . . . , x_n une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E sur le corps K; on dit qu’un vecteur z ∈ E est une combinaison lin´eaire des vecteurs x1, . . . , xn s’il existe des coefficients λ₁, . . . , λ_n ∈K tels que

z =λ₁x₁+· · ·+λ_nx_n.

On notera (dans ces notes de cours) [x₁, . . . , x_n] l’ensemble des combinaisons lin´eaires des vecteurs x₁, . . . , x_n. Dans le cas d’un seul vecteur, on a [x] =Kx.

On voit que [x1, . . . , xn] est l’image de Kⁿ par l’application lin´eaire ϕ^x d´efinie dans l’exemple 5 ci-dessus. Par cons´equent [x₁, . . . , x_n] est un sous-espace vectoriel de E.

Inversement, tout sous-espace F de E qui contient les vecteurs x1, . . . , xn contiendra aussi toutes les combinaisons lin´eaires de ces vecteurs, donc [x₁, . . . , x_n]⊂F. Autrement dit, le sous-espace vectoriel [x1, . . . , xn] est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contienne les vecteurs x₁, . . . , x_n. On l’appelle le sous-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs x₁, . . . , x_n.

Remarque. Si u: E →F est lin´eaire, on a u([y1, . . . , yn]) = [u(y1), . . . , u(yn)].