Variation en pression des coefficients élastiques et champ non-affine

ce qui concerne la méthode de relaxation sous contrainte de tension uniaxiale. Cette élongation a été appliquée à tous les matériaux sous différentes densités à 2D avec une déformation uniaxiale

4.2 Propriétés mécaniques en réponse à une tension uniaxiale 135

d’amplitude ε_xx = 10⁻⁵, et à 3D ε_xx = 10⁻⁸. Nous avons vérifié que la réponse du système

u(r) se situait dans le régime élastique réversible, et ce quelle que soit la pression, notamment

par la donnée du taux de participation défini comme Pr = (∑iδu²_i)².(N ∑iδu⁴_i)⁻¹, où δu est

le bruit dans le champ de déplacement u(r), i.e. champ non-affine, nous y reviendrons plus loin. Ainsi, pour toutes les densités étudiées, à 2D comme à 3D, le taux de participation vérifie

15% < Pr < 30%, ce qui garantie que pour les taux de déformation εxx imposés, nous nous

situons dans le régime de déformation élastique (cf. Fig. 3.5 p. 59). À 2D, les coefficients élastiques mesurés ont été moyennés sur un ensemble de 10 configurations par densité, tandis qu’à 3D, une seule configuration par densité a été utilisée.

0 50 100 150 200 P 0 200 400 600 800 1000 λ_2D µ_2D λ_aff=µ_aff λ_3D µ_3D λ_aff=µ_aff 0 50 100 150 P 0 10 20 30 C_L C_T

FIG. 4.5 – Coefficients de Lamé λ (cercles) et µ (carrés) à 2D (symboles vides) et à 3D

(sym-boles pleins) en fonction de la pression, mesurés après application d’une déformation uniaxiale

d’amplitude ε_xx= 10⁻⁵ à 2D, et ε_xx= 10⁻⁸ à 3D. Les coefficients obtenus dans l’hypothèse

affine par la formule de Born (Éq. (3.34) p. 52) sont présentés ici avec l’extension (λa f f, µa f f)

dans le même code géométrique et de remplissage que les autres coefficients. Insert : vitesses

du son pour les ondes transverses C_T =p

µ/ρ et longitudinales CL=p

(λ + 2µ)/ρ en fonction de la pression à 2D (symboles vides) et à 3D (symboles pleins).

Les valeurs des coefficients élastiques pertinents dans nos systèmes, i.e. coefficients de Lamé λ et µ, sont données sur la Fig. 4.5. Sur cette figure, nous avons tracé les coefficients élastiques de Lamé en fonction de la pression à 2D et 3D, obtenus après relaxation des configurations ayant subi une élongation uniaxiale comme décrite précédemment. De même, les coefficients élastiques obtenus par la formule de Born (Éq. (3.34) p. 52) ont été tracés sur cette figure

(repérés par l’extension (λa f f, µa f f)). Nous remarquons alors, comme sur la Fig. 3.1 p. 55, que

la formule de Born sous-estime le coefficient λ et sur-estime le coefficient de cisaillement µ. En accord avec ce qui a été présenté auparavant dans la Section. 3.2 du précédent chapitre, nous déduisons là encore que le champ non-affine est responsable de l’écart à l’estimation des coefficients élastiques entre la formulation de Born, qui suppose un déplacement affine des

atomes à toutes les échelles, et la formulation macroscopique qui fournit les “vrais” coefficients élastiques.

D’autre part, nous pouvons noter que la compressibilité B = λ + 2µ/d, où d est la dimen-sion, semble ne pas être affectée par la présence du champ non-affine, ce qui nous pousse à penser que celui-ci affecte principalement la réponse en cisaillement (ceci justifiant la valeur plus faible de µ par rapport à la prédiction affine). Sur la Fig. 4.5, nous avons de plus reporté la

dépendance en pression des vitesses du son pour les ondes transverses C_T =p

µ/ρ et

longitu-dinales C_L=p

(λ + 2µ)/ρ à 2D et 3D. Le comportement qualitatif de celles-ci avec la pression est en relativement bon accord avec celui des vitesses du son pour les mêmes types d’ondes dans la silice sous pression [68]. Notons que dans cet article, Pilla et al. [68] ont mesuré les vitesses des ondes transverses et longitudinales pour de la silice simulée numériquement via l’utilisation du potentiel BKS [8], la pression hydrostatique étant contrôlée par la densité du matériau modélisé. Les vitesses des ondes transverses et longitudinales sont alors obtenues par la relation de dispersion de ces ondes.

Sur la Fig. 4.6, nous avons fourni une représentation du champ non-affine δu, mesuré comme étant la différence entre le champ actuel u(r) de déplacement des atomes dans la configuration déformée après relaxation, avec ce que serait ce champ si ces mêmes atomes se déplaçaient de manière affine avec la déformation d’élongation imposée. Sur cette figure, le champ non-affine à 2D (figures (a) et (b)) et 3D (figures (c) et (d)) est présenté pour deux densités et configurations différentes, et ce pour chaque dimension. Celui-ci est généré par application d’une sollicitation

d’élongation ε_xx= 10⁻⁵à 2D et ε_xx= 10⁻⁸à 3D. Les flèches sont proportionnelles à l’intensité

du champ de déplacememt δu sur chaque atome et sont à la même échelle pour chaque dimen-sion, i.e. même échelle pour (a) et (b) et échelle identique pour (c) et (d), les échelles entre 2D et 3D n’étant pas forcément identiques. À 3D, le champ non-affine présenté est la projec-tion des champs de déplacement non-affines sur le plan (x,z) pour toutes les particules dont la position selon y est comprise entre y = ±2. Finalement, les tailles des configurations à 2D, et des plans (x,z) à 3D, sont proportionnelles à celles des snapshots présentés sur la Fig. 4.6, les configurations les plus denses étant celles figurant en (b) à 2D et (d) à 3D.

Sur l’ensemble de ces snapshots, nous remarquons la présence de structures tourbillonnaires dans les champ de déplacement non-affines, aussi bien dans les états à forte pression que dans ceux à pression hydrostatique négative (figures (a) et (c)). Notons que l’amplitude de ces champs ne semble pas être affectée par la pression, ce qui conforte le résultat selon lequel nous nous situons dans le régime élastique, i.e. la norme du champ non-affine est imposée par la déforma-tion imposée, avec un taux de participadéforma-tion Pr des particules au champ non-affine donné pour chaque figure par : (a) Pr ≃ 19%, (b) Pr ≃ 28.4%, (c) Pr ≃ 27.6%, et (d) Pr ≃ 19.6%. Ainsi, nous voyons que dans le régime de déformation imposé à 2D et 3D, seul un quart environ des particules participent à la déformation non-affine, quelle que soit la pression. En revanche, il nous est difficile à ce stade, de quantifier la taille de ces structures tourbillonnaires et notam-ment de percevoir une quelconque évolution de leur taille entre deux densités différentes à 2D comme à 3D.

Dès lors, afin de comprendre plus en détails comment se structure ce champ non-affine en fonction de la pression, nous allons utiliser les méthodes numériques développées dans le cha-pitre précédent. À savoir, la caractérisation des tailles des structures tourbillonnaires

apparais-4.2 Propriétés mécaniques en réponse à une tension uniaxiale 137

(a) (b)

(c) (d)

FIG. 4.6 – Champs de déplacements non-affine δu pour différentes pressions, générés par une

élongation uniaxiale d’amplitude ε_xx = 10⁻⁵ à 2D, et ε_xx= 10⁻⁸ à 3D. (a) et (b), à 2D pour

des densités ρ = 0.873 (P ∼ −1.2) et ρ = 1.384 (P ∼ 126.259) respectivement. (c) et (d), à 3D pour ρ = 0.95 (P ∼ −1) et ρ = 1.2 (P ∼ 26) respectivement. À 3D, les champs non-affines des particules dont la coordonnée y est comprise en y = ±2, sont projetés dans ces deux cas sur le plan (x,z) contenant la direction de déformation. Pour chaque dimension, la longueur des flèches est proportionnelle à l’intensité du champ de déplacement sur chaque particule avec le même facteur d’échelle. De même, les tailles des snapshots sont proportionnelles à la taille de la cellule de simulation à 2D, et du plan (x,z) à 3D.

sant sur les différents snapshots de la Fig. 4.6 en fonction de la pression.