Étude de suivi de particules

5.3 Étude de suivi de particules

En raison de la formation de zones de cisaillement macroscopiques dans l’échantillon, et ce, le long de la direction de la sollicitation extérieure, le mouvement de chaque particule est fortement anisotrope : le mouvement dans la direction de la sollicitation met principalement en évidence l’existence d’une zone centrale de cisaillement, tandis que le mouvement dans le direction transverse est nul en moyenne. Dans l’étude que nous présentons ici, nous allons donc nous attacher à décrire ces mouvements de particules, justement, dans la direction transverse à celle imposée par la sollicitation de cisaillement.

−4.0 −2.0 0.0 2.0 4.0 X non−affine −0.5 0.0 0.5 1.0 Y non−affine FIG. 5.13 – Trajectoire diffusive

du mouvement d’une particule témoin par rapport au dépla-cement affine, i.e. dépladépla-cement non-affine de la particule, au cours d’une simulation compor-tant 34000 incréments n de défor-mation. Les déplacements sont en unités du diamètre moyen σ des particules, et doivent être com-parés avec la taille de la

cel-lule de simulation L_x = 104σ

et L_y = 100σ. Le mouvement

semble aléatoire et nécessite une étude statistique spécifique. Sur la Fig. 5.13, le champ de déplacement non-affine caractérisant le mouvement d’une par-ticule individuelle dans le matériau est montré. Nous voyons sur cette figure, que le mouvement de cette particule témoin semble être aléatoire, et nécessite en tout cas une étude afin de déter-miner ses propriétés statistiques.

Le mouvement aléatoire d’une particule peut être entièrement caractérisé par la donnée de la distribution des tailles de ses sauts élémentaires, et par les corrélations temporelles existant entre sauts. Par exemple, si la variance des distributions de tailles n’est pas finie, les événements étudiés peuvent être décrits par une statistique de Lévy. Notons que les distributions de tels événements peuvent être tout aussi bien de moyenne finie comme infinie. En revanche, si la variance est finie, les événements en question peuvent être, par exemple, de type Brownien, ou Brownien fractionnaire. Dans notre cas, la distribution des tailles des composantes transverses

des sauts est symétrique, de moyenne nulle, et de variance finie δy ≈ 10−2 (non montré). En

revanche, l’étude des corrélations temporelles fournit une physique plus intéressante.

Dans le but d’effectuer une telle étude de corrélations temporelles entre sauts élémentaires de particules, nous nous donnons la distribution P(∆y,∆n) des distances transverses ∆y entre les positions d’une particule, après qu’un nombre ∆n de sollicitations ont été imposées par le

déplacement du mur mobile supérieur. Cette distribution P(∆y,∆n) est tracée sur la Fig. 5.14 partie gauche, mesurée sur 34000 incréments de déformations. Sur cette figure, les corrélations

temporelles sont étudiées pour des sauts élémentaires espacés par ∆n = 2p incréments, avec

p∈ [0;14]. Nous remarquons alors sur la Fig. 5.14 partie gauche, que la distribution P(∆y,∆n)

débute par un plateau pour chaque ∆n, ce plateau étant suivi par une décroissance en loi de puissance, la distribution aux grands ∆y se terminant par un cutoff exponentiel. La largeur de décroissance en loi de puissance dépend du nombre ∆n de sollicitations extérieures imposées. En fait, le début et la fin de ces comportements en loi de puissance ne sont pas auto-similaires, le début augmentant plus rapidement avec ∆n que la fin du régime de loi de puissance. Ainsi, l’amplitude du plateau initial, P(0,∆n) montre deux régimes distincts en fonction de ∆n : une décroissance rapide aux bas ∆n, suivi par une décroissance plus lente pour les grands “temps”.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 ∆y 10^-4 10^-2 10⁰ 10² 104 P( ∆ y, ∆ n)

∆n = 2

∆n = 2

FIG. 5.14 – Gauche : distribution P(∆y,∆n) des distances ∆y entre positions y d’une

parti-cule, séparées de ∆n = 2p incréments de déformation imposés par le mur mobile supérieur, où

p∈ [0;14] du haut vers le bas. Nous identifions trois régimes qui varient avec ∆n. Le premier

consiste en un plateau pour toutes les distributions P(∆y,∆n), suivi par un régime en loi de puis-sance et se terminant finalement par un cutoff exponentiel. Droite : même distribution que celle de la figure de gauche mais multipliée par la distance ∆y. Les fins des plateaux des distributions P(∆y, ∆n) sont alors apparents en termes de bosses, dont les positions varient plus ou moins lentement avec ∆n.

Ce comportement particulier de la distribution P(∆y,∆n) est d’autant plus apparent sur la Fig. 5.14 partie droite, sur laquelle la fonction ∆y.P(∆y,∆n) est tracée. Notons qu’une telle fonction est utilisée couramment pour caractériser les déplacements atomiques dans les verres

[142], en terme de fonction de Van Hove3. Sur cette figure partie droite, la fin du plateau

appa-raissant dans P(∆y,∆n) sur la Fig. 5.14 partie gauche, est remplacée par deux bosses, la première ayant une position augmentant rapidement avec ∆n, et la seconde plus lentement. Ce résultat

3Dans [142] notamment, l’auto-partie de la fonction de Van Hove Gs(r,t) = N⁻¹h∑^Ni=1δ(r− | ri(t) − ri(0) |)i est multipliée par un élément de volume sphérique à 3D, i.e. 4πr2_G

s(r,t). Cette définition pour l’auto-partie de la fonction de Van Hove est équivalente à la définition de la fonction ∆y.P(∆y,∆n), si l’on associe au temps t l’incrément n de déformation, et si l’on considère à 2D r.Gs(r,t).

5.3 Étude de suivi de particules 171

conforte l’idée selon laquelle deux différents mécanismes de relaxation apparaissent dans les verres amorphes, même à température nulle.

Pour caractériser la différence entre les deux régimes suscités, nous présentons sur la Fig. 5.15 la position du plateau P(0,∆n) pour différents ∆n imposés par la sollicitation extérieure.

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ ∆n 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ P(0, ∆ n)

~ ∆n

~ ∆n

FIG. 5.15 – Position du plateau P(0,∆n) de la fonction P(∆y,∆n) donnée sur la Fig. 5.14

par-tie gauche, en fonction du nombre ∆n d’incréments imposés par le mur supérieur mobile. Le comportement aux “temps” courts est décrit par une loi de puissance avec un exposant −1.4 cor-respondant à un régime hyper-diffusif, tandis qu’aux temps longs, le comportement est diffusif. Le “temps” de cross-over correspond aussi au temps séparant le comportement de régime li-néaire avec événements plastiques localisés sur la courbe contrainte-déformation de la Fig. 5.2, du comportement de type régime d’écoulement plastique avec ses bandes de cisaillements suc-cessives élémentaires.

Sur cette Fig. 5.15, nous distinguons deux comportements en loi de puissance, séparés par un

nombre caractéristique de sollicitations ∆n_c≈ 150, correspondant à un déplacement lc≈ 1.5σ

imposé par le mur mobile supérieur, soit à une déformation de cisaillement ε_xy≈ 0.75%. Ce taux

de déformation spécifique est précisément la moitié de la déformation de cisaillement séparant le comportement linéaire et le comportement d’écoulement plastique. La donnée des exposants apparaissant sur la Fig. 5.15 nous renseigne quant au type de mouvement que subit une particule témoin confinée dans des “défauts” de plasticité. En effet, une marche aléatoire, par exemple, ou

en d’autres terme un mouvement diffusif, correspond à une loi de puissance P(0,∆n) ∝ ∆n−0.5,

soit à une position de la bosse dans la fonction ∆y.P(∆y,∆n) de la Fig. 5.14 partie droite qui varie

comme ∆n0.5. Dans notre cas, aux petits ∆n, P(0,∆n) ∝ ∆n−1.4. Ceci implique un comportement

hyper-diffusifdes particules aux petites déformations de cisaillements. Notons que ceci est en

parfait accord avec la mesure (non montrée) du déplacement da la première bosse de la fonction

∆y.P(∆y, ∆n) de la Fig. 5.14 partie droite qui varie comme ∆n^1.4. Ce comportement

134], mousses [256]. Néanmoins, dans ces systèmes, l’exposant correspondant est différent. Ceci suggère que celui-ci soit dépendant du type de matériau, tandis que le caractère

hyper-diffusifdes mouvements de particules serait caractéristique du régime de petite déformation à

température nulle dans les systèmes désordonnés.

À l’inverse, pour les grandes déformations, le comportement diffusif des particules

indivi-duelles est retrouvé. Celui-ci correspond alors à P(0,∆n) ∝ ∆n−0.5 comme il apparaît sur la

Fig. 5.15, ou de manière équivalente à la position des secondes bosses sur la Fig. 5.14

par-tie droite qui varient comme ∆n0.5 (non montré). Notons que ceci correspond aussi à écrire

[(yi(∆n) − yi(0))²]^1/2∝ ∆n^0.5, où y_iest la coordonnée y de la particule i. Ces résultats montrent

alors que, même à température nulle, le désordre inhérent aux matériaux amorphes est suffisam-ment pertinent pour développer, sous de larges sollicitations extérieures produisant un compor-tement dissipatif (typiquement dans le régime d’écoulement plastique), un mouvement diffusif de particules témoin individuelles. Ce point encourage alors la définition d’une température effective dans nos systèmes, tout du moins dans le régime des grandes déformations [133, 134].

5.4 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons montré que le comportement dissipatif quasistatique de ma-tériaux amorphes modèles est dû à deux types d’événements microscopiques : premièrement, des réarrangement locaux quadripolaires entraînant seulement un faible nombre de particules, et deuxièmement, des alignements à 1D de structures rotationnelles. En raison de la distribu-tion large des amplitudes , particulièrement pour le second type d’événements, il n’apparaît pas de séparation nettement identifiable entre les distributions de pertes d’énergie dans chacun des cas (tandis qu’aux premiers types d’événements sont associés de petites pertes d’énergies). Néanmoins, chaque type d’événements peuvent être analysés séparéments. Nous avons alors montré, par exemple, que le premier type d’événements (réarrangements quadripolaires) est le seul présent dans la partie linéaire de la courbe de contrainte-déformation, tandis que les bandes de cisaillements (deuxième type d’événements) dominent le régime d’écoulement plastique.

De plus, l’analyse de suivi de particules témoins a mis en évidence deux mécanismes de re-laxation, même à température nulle : le premier est relié à un mouvement hyper-diffusif des particules, et le second à un comportement diffusif. Ce dernier régime est alors possible unique-ment dans le régime d’écouleunique-ment plastique, pour des charges de déformations suffisamunique-ment grandes, encourageant ainsi la définition d’une température effective dans ce régime.

C

HAPITRE

6

C

ONCLUSION

Au cours de cette thèse, nous nous sommes attachés à appréhender, à l’aide de méthodes numériques, les problèmes des vibrations et propriétés mécaniques de matériaux amorphes mo-dèles. Ces matériaux, nous l’avons vu, possèdent des propriétés mécaniques et vibrationnelles particulières, générant un champ de recherche dynamique, ce, depuis déjà une cinquantaine d’années.

Dans ce travail de thèse, nous avons abordé ces différentes problématiques en premier lieu par la définition d’un “bon” matériau amorphe modèle, c’est-à-dire, un matériau qui, malgré la simplification inhérente à l’état de modèle, soit capable de représenter une classe suffisamment large de matériaux amorphes réels. Dans ce but, nous avons opté pour une physique privilé-giant l’effet du désordre, au dépend de modéliser des systèmes réalistes comme des matériaux granulaires, par exemple, pour lesquels le modèle devrait inclure de l’humidité entre grains, de la friction... Les systèmes modélisés au cours de cette thèse, bien qu’initialement motivés par l’étude d’agrégats librements flottants à très basse température, sont plus à même de dé-crire les propriétés de matériaux tels que des verres métalliques, des verres de silice, ou encore des mousses. Pour cela, nous nous sommes intéressés à deux types de verres : des verres de Lennard-Jones faiblement polydisperses à température nulle constituant des verres dits “mous” au sens de la classification de C.A. Angel [29], et des verres de silice modélisés par un potentiel BKS [8], et condidérés selon la même classification comme des verres “durs”.

Ainsi, dans le Chap. 2 une fois la donnée des modèles, nous avons effectué une caractérisa-tion de l’état de température nulle de ces verres, qui, dans un premier temps, ont été étudiés sous une pression hydrostatique la plus proche possible de zéro, en maintenant la densité constante.

Une première étude sur les verres de Lennard-Jones s’est interessée à la caractérisation du rôle des contraintes gelées dans cet état athermique, ainsi qu’à l’influence des vitesses de trempe sur les propriétés statiques de ces verres. Au cours de cette étude, nous avons montré que les contraintes gelées étaient d’autant plus importantes que le taux de refroidissement lors de la formation du verre était rapide. En revanche, nous avons mis en évidence le fait que celles-ci n’étaient pas uniquement responsables des propriétés propres aux solides amorphes.

Les propriétés dynamiques des verres de Lennard-Jones bidimensionnels obtenus, ont été approchées conjointement à une étude développée dans le cadre de la théorie de Couplage de

Modes. Ce travail nous a permis, tout d’abord, d’obtenir des quantités physiques nécessaires à la caractérisation de nos systèmes, et ensuite, d’éprouver la validité de cette théorie. Nous avons alors montré que celle-ci faillissait dans la description de la dépendance en température

de la constante de diffusion, proche de la température critique de brisure d’ergodicité T_c. Nous

avons alors attribué cet effet à l’existence d’hétérogénéités dynamiques, possibles entités qui contrôleraient le ralentissement critique caractéristique de la transition vitreuse dans nos verres. Finalement, les propriétés statiques d’un verre de silice que nous avons modélisé ont été étu-diées, dans le but de les comparer à de récents travaux numériques et expérimentaux sur le même type de verre. Cette étude a alors été motivée par la validation des verres de silice que nous modélisons.

Dans le Chap. 3, les verres modèles de Lennard-Jones et de silice ont été étudiés à tem-pérature nulle, sous une pression hydrostatique la plus proche de zéro, afin de caractériser leur propriétés mécaniques et vibrationnelles dans le regime élastique. Dès lors, les propriétés méca-niques de ces verres ont été abordées par l’application de déformations macroscopiques de type élongation, cisaillement et en réponse à une sollicitation ponctuelle (ces deux dernières sollici-tations ayant été effectuées uniquement pour le cas des verres de Lennard-Jones). Les propriétés vibrationnelles ont, quant à elles, été étudiées uniquement dans le cas des verres de Lennard-Jones par diagonalisation de la matrice dynamique dans le régime des basses fréquences à 2D et 3D, et pour l’obtention d’une grande partie de la densité d’états des modes de vibration à 2D. À 3D, une telle obtention du spectre vibrationnel a été réalisée par le calcul de la fonction d’autocorrélation des vitesses à très basse température, et en calculant consécutivement sa trans-formée de Fourier. Une étude spécifique à 2D dans le cas des mêmes verres de Lennard-Jones a été développée, afin d’obtenir un grand nombre de vecteurs propres de vibration, ce, dans le but d’étudier spécifiquement la nature des ondes constituant le régime de Pic Boson. Renvoyant à la conclusion détaillée concernant ces études dans le Chap. 3, nous résumons ici les résultats principaux émanants de ces diverses études.

Au cours des divers travaux effectués dans cette thèse, dans le but de caractériser les pro-priétés mécaniques et vibrationnelles de matériaux amorphes modèles dans le régime élastique, nous avons montré, qu’il existe une longueur caractéristique de plusieurs dizaines de distances atomiques, en-dessous de laquelle la théorie continue homogène de l’élasticité ne peut décrire correctement, et le spectre vibrationnel, et la réponse mécanique à diverses sollicitations, de ces matériaux amorphes. Cette longueur est réliée à l’existence d’hétérogénéités élastiques comme quantités inhérentes du désordre dans ces matériaux, et donne lieu à l’apparition de mouve-ments collectifs des particules suite à l’application de sollicitations macroscopiques d’élon-gation uniaxiale comme de cisaillement. Ces mouvements, sont alors corrélés sur une telle distance, et caractérisent la réponse non-affine du système à une telle sollicitation. En paral-lèle, une étude de réponse à une sollicitation ponctuelle de verres de Lennard-Jones à 2D et 3D, a montré que la réponse du système à ce type de sollicitation devient automoyennante, lorsque la distance au point d’application de la sollicitation est plus grande que la taille ca-ractéristique des hétérogénéités élastiques. Nous avons alors attribué à cette longueur le terme de “longueur d’automoyennance”, longueur mésoscopique en-dessous de laquelle le désordre dans les matériaux amorphes devient pertinent, et les propriétés mécaniques et vibrationnelles

175

de tels matériaux ne peuvent être correctement décrites par la théorie continue de l’élasticité. Une telle longueur a alors été obtenue dans des verres “mous” de Lennard-Jones, aussi bien que dans un verre “dur” comme la silice. Nous montrons que le Pic Boson, anomalie élastique dans le spectre à basse fréquence de nos matériaux amorphes, se situe au bord du régime vi-brationnel dominé par le champ non-affine. Ce Pic Boson marque alors un cross-over entre un régime où les vecteurs propres de vibration dont la longueur d’onde est supérieure à la lon-gueur d’automoyennance, subissent une diffusion Rayleigh par les hétérogénéités élastiques, et un autre régime où les vecteurs propres dont la longueur d’onde est inférieure à la longueur d’automoyennance sont fortement diffractés par le désordre.

Dans le Chap. 4, les verres de Lennard-Jones précédemments étudiés sous pression hydro-statique nulle, sont étudiés cette fois-ci sous des pressions non nulles. Nous montrons alors dans ce chapitre, que le champ non-affine discuté dans le Chap. 3 ne varie que très peu sous l’effet de la pression, les tailles caractéristiques des hétérogénéités élastiques diminuant légèrement avec l’augmentation de la pression. L’étude des modes de vibration à 2D par diagonalisation de la matrice dynamique, et à 3D par le calcul de la transformée de Fourier de la fonction d’auto-corrélation des vitesses, met en évidence un déplacement de la pulsation associée au Pic Boson vers les pulsations les plus grandes, avec l’augmentation de la pression. D’autre part, nous mon-trons que quelle que soit la pression, la position du Pic Boson se situe près du régime dominé par le champ non-affine. Finalement, nous mettons en évidence, dans cette partie, que le dépla-cement de la pulsation de Pic Boson est inhérent à l’augmentation des vitesses du son dans le matériau avec l’augmentation de la pression. Ainsi, nous montrons que l’inverse de la longueur d’onde associée au Pic Boson est indépendante de la pression, justifiant l’argument selon lequel la quantité pertinente dans l’étude des propriétés vibrationnelles des amorphes réside en terme de longueur d’onde et non de pulsation. Dans ce cadre, il faut alors voir le Pic Boson comme une “longueur” caractéristique.

Ce que suggèrent les résultats obtenus dans les Chap. 3 et Chap. 4, dans le domaine de l’élas-ticité des matériaux amorphes, est qu’il semblerait qu’il faille considérer les amorphes comme des matériaux effectifs, avec modules élastiques effectifs, longueurs d’hétérogénéités élastiques effectives... L’image du cristal et de son traitement de l’élasticité jusqu’à l’échelle atomique, n’a de sens, chez les amorphes, qu’au-delà d’une certaine échelle de longueur donnée par la taille caractéristique des hétérogénéités élastiques. Une théorie qui traite de l’élasticité dans les matériaux amorphes doit tenir compte de l’existence d’une telle longueur, et même plus gé-néralement d’une hiérarchie de longueurs. Partant de 2 − 3 distances interatomiques , taille à partir de laquelle le désordre peut provoquer l’existence de modules de cisaillements négatifs immergés dans une matrice de modules positifs [262], à l’échelle intermédiaire, le désordre donne naissance au champ non-affine et à sa longueur d’automoyennance, puis à une échelle plus grande que cette dernière longueur, le continuum élastique est atteint et le désordre devient non pertinent.

Finalement, dans le Chap. 5, la problématique de la plasticité dans les matériaux amorphes de type Lennard-Jones à 2D a été abordée, motivée par l’existence d’une longueur caractéristique

d’automoyennance dans le régime de réponse élastique de ces matériaux. Ainsi, un protocole de déformation quasi-statique athermique couramment utilisé expérimentalement pour l’étude des mousses, granulaires, et colloïdes, a permis de quantifier le rôle des hétérogénéités élastiques dans le régime d’écoulement plastique, montrant que celui-ci était spatialement hétérogène. Deux types d’évènements plastiques ont alors été isolés. En premier lieu, des réarrangements quadrupolaires localisés, existant pour la plupart dans le régime linéaire irréversible de la courbe contrainte-déformation. En deuxième lieu, des événements de type bandes de cisaillements qui dominent le régime d’écoulement plastique de cette même courbe. Une analyse de suivi de particule a alors montré deux régimes distincts : un régime hyper-diffusif aux temps courts, suivi d’un régime diffusif aux temps longs, même si le système est athermique. Ce dernier régime