Variation du coefficient de multiplication avec la densit´ e de courant

a 10. L’utilisation de l’´equation 4.13 n’a donc pas d’influence dans la r´egion correspondant aux r´egimes o`u le composant est repli´e.

Le choix du nombre de termes (N b) repose sur un compromis entre la pr´ecision et la bonne convergence des calculs au moment du claquage par avalanche. PlusN best ´elev´e, plus la pr´ecision est grande mais plus la pente de la courbe au voisinage de la tension de claquage est importante et p´enalise la convergence. Une valeur de 100 pourN b assure un excellent compromis.

L’expression utilis´ee pour le calcul de l’int´egrale d’ionisation =_n est particuli`erement im-portant pour d´eterminer avec pr´ecision la tension de maintien du transistor. Nous avons utilis´e l’´equation 2.29 ´etablie au chapitre 2 et que nous rappelons ici :

=_n= ^Ap A_p−A_n " exp 2(Ap−An) qCef f ε_Si 3 VCB⁴ ! −1 # (4.14) avec V_CB la tension entre le collecteur et la base du mod`ele SPICE du transistor. Cette ´ equa-tion, obtenue par une approche purement analytique et physique, constitue la plus pr´ecise des expressions de l’int´egrale d’ionisation des ´electrons dans une jonction plane abrupte. Bien que le claquage des jonctions soit g´en´eralement initialis´e dans une jonction cylindrique, la jonction collecteur-base qui est le si`ege de le g´en´eration par avalanche `a fort courant peut ˆetre assimil´ee `

a une jonction plane [61].

4.3.3 Variation du coefficient de multiplication avec la densit´e de courant

Nous avons d´emontr´e que la concentration effective Cef f de la jonction collecteur-base, est une fonction du courant qui circule au travers du collecteur. La prise en compte de la variation deC_{ef f} va permettre de mod´eliser la variation de la tension de claquage de la jonction collecteur-base en fonction du courant dans le composant.

L’effet de la densit´e des porteurs libres dans la jonction collecteur-base devient significatif lorsque la densit´e de courant atteint des valeurs proches de la densit´e de courant critique. La densit´e n d’´electrons dans la r´egion de fort champ ´electrique du collecteur est donn´ee par la relation : n= ^I int C S q vln (4.15) avec S la section totale offerte au passage du courant,q la charge ´el´ementaire et v_ln la vitesse limite des ´electrons `a fort champ ´electrique. En effet, le courant d’´electrons `a l’entr´ee de cette r´ e-gion du cot´e de la base, correspond au courant circulant dans le transistor NPN du macromod`ele (I<sub>C</sub><sup>int</sup>, Fig. 4.3). La densit´e d’´electrons n’est cependant pas constante sur l’ensemble de la r´egion. Elle varie d’une quantit´e approximativement ´egale `a celle des trous g´en´er´es par avalanche. Or, nous avons montr´e que la densit´e du courant de trous, ne peut d´epasser le tiers du courant total circulant dans le composant. Aussi, nous avons choisi d’approximer la densit´e d’´electrons par une densit´e constante sur toute la r´egion ´electrique de collecteur. Ce choix permet de calcu-ler facilement l’impact de la densit´e de porteurs sur la tension de claquage et ne p´enalise pas trop la pr´ecision des calculs car l’aspect essentiel est d’obtenir l’ordre de grandeur de la densit´e d’´electrons en fonction la densit´e de courant.

Trois r´egimes de fonctionnement, correspondants au calcul de trois tensions de claquage, peuvent ˆetre distingu´es en fonction de la densit´e de porteurs libres. Ces trois r´egimes sont repr´esent´es sur la figure 4.5 en termes de distribution du champ ´electrique en fonction de la densit´e de porteurs libres.

1. Figure 4.5(a). Pour une densit´e d’´electrons plus faible que le dopage Nd de la r´egion faiblement dop´ee de collecteur, la tension de claquage de la jonction collecteur-base est une fonction croissante de la densit´e de porteurs. La densit´e des ´electrons vient en effet se soustraire `a la densit´e de charge d’espace dans la r´egion faiblement dop´ee. Tout se passe comme si le dopage de cette r´egion diminuait, ce qui correspond `a une augmentation de la tension de claquage.

N⁺⁺ (c) - - ++ P N⁻ N⁺⁺ N++ - - ++ (b) ^{P N} − N++ + - - + (a) ^{P N} − N++ N++ N_d N_D N_A

Fig. 4.5 – Repr´esentation des profils de champs ´electriques pour les trois r´egimes de calcul de la tension de claquage de la jonction collecteur-base. La densit´e de charge (n´egative) due au courant d’´electron est repr´esent´ee en traits pointill´es courts dans la zone de charge d’espace. La position de la jonction (lieu de changement de signe de la charge d’espace) est repr´esent´ee en traits pointill´es longs.

2. Figure 4.5(b). L’extension de la charge d’espace dans le collecteur faiblement dop´e est limit´ee par la couche fortement dop´ee. L’accroissement de la tension de claquage est donc limit´e. Au maximum, cette tension est ´egale `a la tension de claquage de la diode PIN (P N<sup>−</sup>N<sup>++</sup>). Ce r´egime sera atteint pour des densit´es d’´electrons de l’ordre de Nd. 3. Figure 4.5(c). Lorsque la densit´e des ´electrons est sup´erieure `aN_d, la nature de la jonction

collecteur-base est modifi´ee car elle d´etermine maintenant le dopage effectif de la jonction. La tension de claquage de la jonction effective form´ee `a la fronti`ere des r´egions faiblement (N_d) et fortement (N_D) dop´ees de collecteur est alors une fonction d´ecroissante de la densit´e de porteurs libres.

Pour le premier r´egime de fonctionnement (Fig. 4.5(a)), la concentration effective de la jonction collecteur-base est donn´ee par la relation :

C_{ef f}⁽¹⁾ = ^{(NA+n)(Nd−n)}

N_A+N_d ^(4.16)

avec N_A le dopage de la diffusion de base et N_d le dopage de la r´egion faiblement dop´ee du collecteur. Cette fonction est d´ecroissante pourn croissant et devient n´egative pourn > N_d.

La tension de claquage maximale que peut atteindre la jonction collecteur-base correspond `

a la tension de claquage de la diode PIN (BV_{P IN}). La valeur de la concentration effective correspondant `a ce second r´egime est obtenue en inversant la formule de Gharbi [140] :

C_{ef f}⁽²⁾ = 5,65 10¹³ BV_{P IN} 4 3 (4.17)

4.3. Mod´elisation des TBA `a collecteur faiblement dop´e Enfin, dans le troisi`eme r´egime (Fig. 4.5(c)), la concentration effective est donn´ee par :

C_{ef f}⁽³⁾ = ^{(n−Nd)(ND −n)}

N_D−N_d ^(4.18)

qui est une fonction croissante pour n croissant et n´egative tant que n < N_d et o`u ND est le dopage de la r´egion fortement dop´ee du collecteur. On peut ´egalement, dans le cas du transistor `

a collecteur graduel, calculer la tension de claquage de la jonction lin´eaire associ´ee aux forts courants (cf. section 3.5). Pour cela, quelques manipulations alg´ebriques permettent `a partir de l’expression analytique du profil de dopage gaussien, de calculer la valeur de la pente du profil de dopage au point o`u la valeur du dopage est ´egal `a la densit´e de porteurs libresn. L’expression 3.2 donn´ee dans le chapitre pr´ec´edent permet alors de calculer la tension de claquage en fonction de la pente. Enfin, l’utilisation de la formule de Gharbi donne une valeur pour C_{ef f} qui sera utilis´ee pour calculer l’int´egrale d’ionisation.

10

10

10

10

10

10

Densité de courant (A/cm

)

10

10

10

10

10

Concentration effective (1/cm

)

C

(1)

C

(2)

C

(3)

Fig. 4.6 – Variation des trois concentrations effectives (C_{ef f}⁽¹⁾, C_{ef f}⁽²⁾, C_{ef f}⁽³⁾) en fonction de la densit´e de courant (J =nqv_ln), pourN_A= 5 10¹⁶,N_d= 5 10¹⁵,N_D = 1 10²⁰etBV_{P IN} = 150V.

L’algorithme permettant de s´electionner, parmi les trois valeurs disponibles, la concentration effective `a utiliser pour le calcul de l’int´egrale d’ionisation est particuli`erement simple. Il consiste simplement `a donner `aCef f la valeur la plus grande des trois calcul´ees MAX(C_{ef f}⁽¹⁾,C_{ef f}⁽²⁾,C_{ef f}⁽³⁾). La figure 4.6 donne la variation de ces concentrations en fonction de la densit´e de courant qui est directement proportionnelle `an(n= ^J

q v_ln<sup>). Pournfaible, `a faible courant, la plus grande valeur</sup> de C<sub>ef f</sub> correspond `a C_{ef f}⁽¹⁾. Lorsque n augmente, pour un courant croissant dans la structure, la valeur de C_{ef f}⁽¹⁾ d´ecroˆıt jusqu’`a devenir inf´erieure `a C_{ef f}⁽²⁾ qui est ind´ependante de n. C_{ef f}⁽³⁾ ne prend des valeurs importantes que lorsque nest grand vis-`a-vis de N_d, soit en terme de densit´e de courant J > Jcrit =Nd q vln, et ne sera donc finalement utilis´ee qu’aux fortes densit´es de courant.

Cette approche permet donc de prendre en compte les modifications des caract´eristiques ´

electriques de la jonction collecteur-base d’une fa¸con relativement simple et efficace. Elle est ´

etroitement li´ee aux caract´eristiques physiques du composant et offre donc la possibilit´e d’ana-lyser l’impact des modifications de technologie et de dessin du composant. La section 4.5 donne

un exemple d’utilisation de cette approche pour mod´eliser le composant optimis´e d´evelopp´e dans la technologie 3.

4.4 Remarques pour la mod´elisation de transistors NMOS