Chapitre 2 Diffraction d’un faisceau gaussien 69
II.2 Expressions des champs rayonn´ es
II.2.4 Validit´ e de la solution non uniforme
−1 pour(X+, Y+), (X−, Y−) +1 pour(X−, Y+), (X+, Y−) (2.148)
II.2.4 Validit´e de la solution non uniforme
II.2.4.a Contributions des points critiques
Dans cette section nous appliquons les solutions d´evelopp´ees pr´ec´edemment. Notre m´ethode de r´ef´erence sera l’´evaluation num´erique de l’int´egrale (2.110). Afin de mettre en valeur le rˆole de chacune des contributions (premier, second et troisi`eme ordre), nous allons pr´esenter un ensemble de cas de figure particuliers.
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Le champ rayonn´e dans la direction sp´eculaire de r´eflexion est associ´e aux points critiques du premier ordre. Pour mettre en ´evidence la contribution de ces points (2.134), on ´eclaire une surface carr´ee de20λ de cˆot´e par un faisceau gaussien paraxial de demi-largeur kW0= 4π situ´e `a une hauteur de 10λ de la plaque (cf figure 2.28). Avec cette configuration, l’amplitude du champ ´eclairant les arˆetes de la surface est faible devant l’amplitude incidente au centre de la surface, et ainsi, seule la contribution des points critiques du premier ordre sera mise en ´evidence.
Fig. 2.28: G´eom´etrie du calcul.
La polarisation principale du champ incident est dirig´ee selon la direction ex du rep`ere absolu. La visualisation des composantes Eθ des champs rayonn´es se fait `a une distance r = 1000λ de l’origine (courbe en noir illustr´ee sur la g´eom´etrie). L’amplitude et la phase de l’´evaluation num´erique de l’int´egrale (2.110) et la solution asymptotique sont repr´esent´ees sur la figure (2.29). L’erreur repr´esent´ee sur cette figure correspond `a la valeur absolue de la diff´erence des deux composantes, soit ∆ = |Eθ;num− Eθ;asympt|.
Fig. 2.29: Mise en ´evidence de la contribution du point critique du premier ordre. `
A gauche : amplitude en dB de la composanteEθ. `A droite : phase en degr´es. En
bleu : OP num´erique ; en vert : OP analytique. En rouge : diff´erence.
Comme on peut le constater sur la figure (2.29), le champ rayonn´e par l’expression analytique correspond bien avec l’´evaluation num´erique de l’int´egrale de rayonnement dans l’hypoth`ese de l’optique physique. La contribution du point critique du premier ordre correspond principalement `a la composante sp´eculaire du champ rayonn´e.
Afin de mettre en ´evidence la contribution des points critiques du second ordre (2.136 -2.141), on ´eclaire la plaque avec un faisceau d´ecal´e, de sorte que la majorit´e du faisceau se propage en dehors de la plaque (cf figure (2.30)). Ainsi, la contribution sp´eculaire sera n´egligeable par rapport `a la contribution des champs rayonn´es par l’arˆete ´eclair´ee.
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Le faisceau incident a les mˆemes propri´et´es que pr´ec´edemment, mais son origine est situ´ee cette fois au pointOfg(14λ,0,10λ). L’amplitude et la phase des champs rayonn´es sont repr´esent´ees sur la figure (2.31).
Fig. 2.31: Mise en ´evidence de la contribution des points critiques du second ordre. `A gauche : amplitude en dB de la composanteEθ. `A droite : phase en
degr´es. En bleu : OP num´erique ; en vert : OP analytique. En rouge : diff´erence.
Comme on peut le constater sur la figure (2.31), le rayonnement de l’arˆete est mod´elis´e de fa¸con satisfaisante par la contribution des points critiques du second ordre. On note que l’amplitude globale du champ rayonn´e par l’arˆete est inf´erieure `a l’amplitude de la composante sp´eculaire dans le cas pr´ec´edent, c’est-`a-dire de la contribution du point critique du premier ordre.
Afin de mettre en ´evidence la contribution des points critiques du troisi`eme ordre (2.145), on place le faisceau de telle sorte qu’il n’´eclaire principalement qu’un coin de la surface (cf. figure2.32).
Fig. 2.32: G´eom´etrie du calcul.
Le faisceau incident a les mˆemes propri´et´es que pr´ec´edemment, mais son origine est situ´ee cette fois au pointOfg(14λ,14λ,10λ). L’amplitude et la phase des champs rayonn´es sont repr´esent´ees sur la figure (2.33).
Fig. 2.33: Mise en ´evidence de la contribution des points critiques du troisi`eme ordre. `A gauche : amplitude en dB de la composanteEθ. `A droite : phase en
degr´es. En bleu : OP num´erique ; en vert : OP analytique. En rouge : diff´erence.
On constate sur la figure (2.33) que le rayonnement du coin de la plaque est correcte-ment mod´elis´e par la contribution des points critiques du troisi`eme ordre. On remarque de plus que l’amplitude globale du champ rayonn´ee est inf´erieure `a l’amplitude du champ rayonn´e par une arˆete, c’est-`a-dire par la contribution des points critiques du second ordre.
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II.2.4.b Superposition des contributions des points critiques
Comme on peut le constater sur les figures pr´ec´edentes, la contribution de chaque type de point critique est d’un ordre de grandeur diff´erent. La contribution des points critiques du premier ordre (2.134) est un d´eveloppement asymptotique d’ordre O(k−1). Les contributions des points critiques du second ordre (2.136,2.141) sont d’ordreO(k−3/2)
et enfin les contributions des points critiques du troisi`eme ordre sont d’ordreO(k−2). Afin de mettre en ´evidence l’int´erˆet de chacune des contributions dans un cas plus complexe, on ´eclaire la plaque par un faisceau situ´e en Ofg(−2λ;3λ;50λ)(cf. figure 2.34). De cette mani`ere, les 4 arˆetes et les 4 coins sont ´eclair´es avec une amplitude non n´egligeable par rapport au reste de la surface.
Fig. 2.34: G´eom´etrie du calcul et amplitude des composantesEθ du champ
lointain rayonn´e pourr = 1000λ. En bleu : OP num´erique ; en vert : OP analytique. En rouge : diff´erence.
Nous avons scind´e le champ rayonn´e de la figure (2.34) sur la figure suivante (2.35) afin de pouvoir visualiser la contribution de chaque type de points critiques. Il est clair que la contribution principale, celle du sp´eculaire, provient des points critiques du pre-mier ordre (en vert). Les lobes secondaires proviennent du rayonnement des arˆetes, c’est-`
a-dire des contributions des points critiques du second ordre (en rouge). D’un niveau inf´erieur, la contribution des 4 points critiques du troisi`eme ordre, correspondant au rayonnement des 4 coins de la surface, est n´egligeable dans le cas pr´esent.
Fig. 2.35: Champ r´ef´erence (en bleu) et contribution globale de chaque type de points critiques.
On remarquera de plus que la seule contribution du point critique de premier ordre ne donne pas exactement l’allure du lobe principal. C’est la somme des contributions du premier et du second ordre qui permet de d´ecrire le champ rayonn´e, mˆeme pour le premier lobe. Aussi, il apparaˆıt que la contribution des points critiques du second ordre est n´ecessaire `a la description du champs rayonn´e, non seulement pour les lobes secondaires, mais ´egalement pour la direction principale.
Enfin, la contribution des coins peut g´en´eralement ˆetre n´eglig´ee, tout du moins lorsque l’amplitude du champ incident sur la surface est non n´egligeable sur la surface (ou les arˆetes). Lorsque un coin est la seule partie de la surface ´eclair´ee, la contribution du troisi`eme ordre devient alors essentielle au calcul des champs rayonn´es.
II.2.4.c Caract`ere non uniforme de la solution
Discontinuit´es. Les contributions des points critiques de premier et second ordre
doivent ˆetre prises en compte seulement si ces points appartiennent au domaine d’int´egration[116]. Or, lorsque le point d’observationP du champ rayonn´e varie, les points critiques varient
´egalement. On constate alors que le point critique du premier ordre ”traverse” la surface S.
Pour la configuration pr´ec´edente, le point critique du premier ordre ´evolue avec le point d’observation du champ. Pour des angles d’observation θ < 9.6◦ ou sup´erieur θ >
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14.5◦, le point critique du premier ordre n’appartient plus au domaine d’int´egration S. Par cons´equent, il convient alors ne pas prendre en compte la contribution (2.134) pour ces angles. Ce qui conduit `a des discontinuit´es dans le calcul du champ rayonn´e, lorsque par exemple une contribution ”disparaˆıt”. Ces discontinuit´es sont visibles sur la figure (2.34).
Singularit´es. On remarque que les expressions des contributions des points cri-tiques du second et du troisi`eme ordre (2.136-2.141), (2.145) peuvent ˆetre singuli`eres lorsque :
g1,2(2)→ 0 ⇒Er ;X ,Y(2) → ∞ (2.149) g1,2(3)→ 0 ⇒Er(3)→ ∞ (2.150) Si les d´eriv´ees premi`eres de la fonction g sont nulles aux points critiques de second et troisi`eme ordre, alors ces points sont ´egalement des points critiques du premier ordre. Aussi, on peut s’attendre `a obtenir des champs singuliers lorsque le point critique du premier ordre sera proche des contours de la surface S, c’est-`a-dire lorsque l’axe de propagation du faisceau incident coupera la surface S au voisinage des bords.
Pour illustrer cette configuration, nous ´eclairons la plaque carr´ee avec un faisceau dont l’origine est en Ofg(X+, 0, 10λ), c’est-`a-dire juste au dessus de l’une des arˆetes (cf. figure (2.36)).
Fig. 2.36: G´eom´etrie.
sur cette figure, au voisinage de l’angle θ = 0◦, c’est-`a-dire dans la direction sp´eculaire, la contribution du point critique du second ordre devient singuli`ere. Ceci est dˆu au fait que le point critique du premier ordre est proche du point du second ordre. On parle alors de coalescence entre les points critiques de premier et de second ordre.
Fig. 2.37: `A gauche : amplitude des champs rayonn´es. `A droite : contribution de chaque type de points critiques.
La solution asymptotique propos´ee n’est donc valide que lorsque le point sp´eculaire est ´eloign´e des contours de la surface. Ce domaine de validit´e ´etant limit´e, notre objectif suivant est de formuler une expression uniforme, c’est-`a-dire d´epourvue de discontinuit´es et de singularit´es. C’est l’objet de la prochaine section.