Consid´erons un vecteur bpositif de R3 et d´efinissons les coordonn´ees spatiales com-plexes d’un point source comme :
r0 def= r0− j b (1.138)
7Les oscillations de plasma se comportent comme des particules quantifi´ees appel´ees plasmons. Les plasmons de surface sont des plasmons confin´es sur des interfaces vide/dielectrique particuli`eres. Ils peuvent int´eragir avec le champ ´electromagn´etique, modifiant l’aspect du champ rayonn´e (fr´equence, polarisation).
o`u r0 est la position du point source dans l’espace r´eel. Le champ rayonn´e au point r
par une source situ´ee enr0 peut ˆetre obtenu `a partir d’une solution de l’´equation d’onde scalaire dans l’espace r´eel par continuation analytique dans l’espace complexe[102] :
G(r) =e − j ks(r)
4πs(r) (1.139)
o`u s(r) = kr0− rkest la distance entre la positionr0 du point source complexe et un point
rde l’espace r´eel.G(r) est une solution exacte de l’´equation de propagation car la partie imaginaire rajout´ee n’a pas d’incidence dans le calcul des d´eriv´ees partielles.
Lorsque le vecteur b est nul, l’expression (1.139) correspond `a une source scalaire isotrope : G0(r) = b=0 e− j kkr00−rk 4πkr0 0− rk (1.140)
Sib est non nul, la source devient directive. Dans ce cas, G(r) a le comportement d’un faisceau `a sym´etrie circulaire se propageant dans la directionb = b/kbkˆ avec une d´ ecrois-sance exponentielle transverse `a l’axe du faisceau[51].
La distance complexe s(r) = kr0− rk est une fonction bi-valu´ee. Par cons´equent, il est n´ecessaire de d´efinir une branche de coupure permettant une ´evaluation unique de la fonction. Tandis qu’une source r´eelle est singuli`ere au point kr0− rk = 0, la source complexe est singuli`ere selon la courbe d’´equation kr0− rk = 0, c’est-`a-dire aux points satisfaisant `a :
(
kr0− rk2= b2
b · (r0− r) = 0 (1.141)
Ces conditions correspondent au cercle de centre r0 et de rayon b = kbk appartenant au plan perpendiculaire `a bˆ (cf. figure 1.39). Pour choisir la branche de coupure, deux conventions sont principalement utilis´ees pour d´eterminer le signe de la racine carr´ee[102,
103,71] :
– soitRe[s(r)]>0, convention ”source”; – soitIm[s(r)]≷0, convention ”faisceau”8.
IV. Point source complexe 67
Fig. 1.39: G´eom´etrie et notations. Le cercle rouge repr´esente la courbe de singularit´es correspondant `a kr0− rk = 0et le disque repr´esente la branche de
coupure choisie dans la convention ”source”.
La convention ”source” utilise la d´efinition usuelle de la racine carr´ee `a partie r´eelle positive tandis que la convention ”faisceau” utilise la convention(z)12 = ± jp−z o`u pest
la racine carr´ee usuelle. Dans le premier cas, la branche de coupure est situ´ee `a l’int´erieur du cercle de rayon b perpendiculaire `a bˆ (cf. figure 1.40). Le second correspond au cas dual, la branche de coupure ´etant alors situ´ee `a l’ext´erieur du cercle (cf. figure 1.41). Dans la premi`ere convention, la source du champ a pour origine le disque de centrer0. Dans la seconde, la source du champ est situ´ee `a l’infini dans la direction ant´erieure du faisceau. Dans le cadre d’une d´ecomposition d’un champ initial et d’une propagation dans une seule direction, le choix de l’une ou l’autre est avant tout conventionnel.
Fig. 1.40: Convention ”source” avecW0= λ, r0= (10, 0, 10)et
ˆ
Fig. 1.41: Convention ”faisceau”. Mˆeme param`etres que pour la figure1.40.
Dans le demi-espace d´efini par(r0−r)·b > 0et pour les points au voisinage de l’axe de propagation du faisceau, l’approximation paraxiale deG(r)permet d’obtenir l’expression d’un faisceau gaussien scalaire dont la ceinture est situ´ee en r0 avec la demi-largeur du faisceauW0 d´efinie par[71] :
W0=µ 2b
k
¶1 2
(1.142)
Enfin, des consid´erations similaires permettent de d´efinir un dipˆole de Hertz dont les coordonn´ees sont complexes ou bien un potentiel vecteur dont la fonction u(r) est l’une des composantes. Dans l’approximation paraxiale, on d´efinit alors de cette fa¸con un faisceau gaussien vectoriel[51]. Ces calculs ne seront pas d´etaill´es ici.
V. Conclusion du chapitre 69
V Conclusion du chapitre
Dans ce premier chapitre, nous avons fait la description de plusieurs types de fais-ceaux ´el´ementaires. Les faisceaux gaussiens g´en´eralis´es ainsi que les points sources com-plexes sont adapt´es `a la d´ecomposition de champs d´efinis sur des surfaces planes ou mod´er´ement courbes. Les faisceaux gaussiens conformes permettent de d´efinir un nou-veau type de faisceaux, particuli`erement adapt´es pour d´ecrire les champs issus de surfaces courbes avec une incidence oblique. Ces faisceaux ´el´ementaires sont utilis´es pour la d´ e-composition de champs, le calcul analytique de la propagation et de leurs interactions. Ils sont les briques essentielles d’un ”lancer de faisceaux” complet.
Une grande partie des travaux existants portent sur les faisceaux gaussiens g´en´ e-ralis´es, ce qui fait d’eux l’outil principalement utilis´e pour des applications pratiques. Leur domaine de validit´e est connu, tout comme les expressions analytiques permettant de calculer leurs interactions avec des objets conducteurs, di´electriques et di´electriques multicouches.
Plus r´ecent, les faisceaux gaussiens conformes permettent la d´ecomposition et la pro-pagation d’un champ connu sur une surface tr`es courbe. `A l’heure actuelle, l’´evaluation asymptotique des int´egrales spectrales de faisceaux gaussiens conformes en zone proche n’a pas ´et´e possible et limite le domaine d’application `a la seule d´ecomposition et propa-gation de champs. Une ´evaluation asymptotique correcte permettrait en plus de d´ecrire les champs transmis et r´efl´echis par des faisceaux gaussiens conformes et ainsi ´etendre leur domaine d’utilisation.
Enfin, bien que pr´esentant l’avantage de provenir d’une solution exacte de l’´ equa-tion de propagaequa-tion, les points sources complexes pr´esentent plusieurs restrictions. Tout d’abord, seuls des faisceaux gaussiens circulaires peuvent ˆetre exprim´es par ce forma-lisme. Mais surtout, le calcul des interactions, en particulier des r´eflexions, d’un point source complexe reste un sujet de recherche ouvert, o`u des algorithmes de recherche sont lourds et non g´en´eraux. Toutefois, ils permettent d’exprimer dans certains cas de figure canoniques, l’expression exacte du champ diffract´e par des faisceaux gaussiens.