Chapitre 2 Diffraction d’un faisceau gaussien 69
II.3 Domaine de validit´ e de la solution uniforme
II.3.4 Configurations plus g´ en´ erales
Afin de mettre en ´evidence et de quantifier les limitations de la formulation uniforme, nous pr´esentons quelques cas de figure plus g´en´eraux.
Deux hypoth`eses limitent principalement la validit´e de l’expression asymptotique d´ e-velopp´ee par rapport `a une int´egration num´erique r´ealis´ee dans l’hypoth`ese de l’optique physique. D’une part, l’hypoth`ese de constance de la matrice de courbure d’un faisceau paraxial sur la surface16, limite l’angle d’incidence `a des angles non rasants par rap-port `a la surface. D’autre part, l’´evaluation asymptotique des int´egrales poss´edant deux bornes finies (Iij) est r´ealis´ee dans l’hypoth`ese o`u les termes anti diagonaux de la matrice Hessienne de la phase sont nuls.
Enfin, nous ´etudions ´egalement la validit´e de nos r´esultats lorsque les champs sont observ´es dans un plan quelconque.
II.3.4.a Influence de l’approximation r´ealis´ee sur les int´egrales doubles avec deux bornes
L’approximation (2.178) utilis´ee pour calculer un d´eveloppement asymptotique des int´egrales doubles poss´edant deux bornes finies est p´enalisante lorsque le faisceau inci-dent ´eclaire principalement les zones correspondantes au domaine d’int´egration de ces int´egrales17. Cette situation est illustr´ee sur la figure (2.64), o`u le centre d’un faisceau paraxial incident de largeur kW0= 4πest situ´e en (15λ,15λ,10λ), soit clairement en de-hors de la plaque. L’observation des champs rayonn´es se fait `a une distance de 1000λ. Dans ce cas, on observe que l’´evaluation asymptotique du champ rayonn´e est clairement erron´ee.
16Ou du d´eveloppement limit´e utilis´e pour simplifier l’expression d’un faisceau champ lointain. 17c’est-`a-dire les zones repr´esent´ees en rouge sur la figure (2.39)
Fig. 2.64: G´eom´etrie et amplitudes des champs Eθrayonn´es (en dB). Carr´e de
cˆot´e20λ,φ = 0◦. En bleu : OP num´erique. En vert : OP asymptotique uniforme. L’observation est r´ealis´ee `a une distance de1000λ
Lorsque l’on augmente la distance d’observation, par exemple pour r = 1000000λ, le r´esultat tend `a converger vers la r´ef´erence comme cela est illustr´e sur la figure (2.65).
Fig. 2.65: G´eom´etrie et amplitudes des champs Eθrayonn´es (en dB). Carr´e de
cˆot´e20λ,φ = 0◦. En bleu : OP num´erique. En vert : OP asymptotique uniforme. L’observation est r´ealis´ee `a une distance de1000000λ
De plus, lorsque l’amplitude du champ incident sur la surface est plus importante, par exemple en prenant un faisceau plus divergent ou plus proche de la surface, on retrouve une bonne correspondance avec la r´ef´erence. Nous avons illustr´e cette situation sur la figure (2.66), o`u le faisceau incident, toujours situ´e en(15λ,15λ,10λ), est plus divergent que pr´ecedemment (kW0= π/2). Par cons´equent, l’amplitude du champ incident sur la plaque est plus importante et on observe que le champ rayonn´e calcul´e avec l’expression
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analytique est beaucoup plus correct.
Fig. 2.66: G´eom´etrie et amplitudes des champsEθ rayonn´es (en dB). Carr´e de
cˆot´e20λ,φ = 0◦. En bleu : OP num´erique. En vert : OP asymptotique uniforme. L’observation est r´ealis´ee `a une distance de1000λ. Le faisceau incident est plus
divergent que sur la figure (2.64).
Finalement, cette limitation n’est pas trop restrictive, dans la mesure o`u un algo-rithme de lancer de faisceaux gaussiens peut trier les faisceaux incidents sur la plaque et ne conserver que ceux interceptant le voisinage de la surface. De cette mani`ere, seuls les faisceaux induisant un champ incident non n´egligeable sur la plaque serait conser-v´es. Les faisceaux ´eclairant peu la plaque peuvent ˆetre n´eglig´es, dans la mesure o`u ils contribueront peu au champ rayonn´e final.
II.3.4.b Observation dans un plan quelconque
Afin de quantifier l’erreur commise lorsque l’observation est r´ealis´ee dans un plan quelconque, on place un faisceau dont la polarisation est contenue dans le plan d’inci-dence, enOfg(50λ,0,50λ), avec un angle d’incidence deθi= 45◦. Nous avons repr´esent´e sur la figure (2.67) deux g´eom´etries, relatives `a des angles d’observation φ = 37◦ etφ = 112◦.
Fig. 2.67: G´eom´etries. `A gauche,φ = 37◦. `A droite,φ = 112◦.
Les composantesEθ des champs rayonn´es `a une distance de1000λde la surface sont repr´esent´ees sur la figure2.68. Les composantesEφdes champs rayonn´es sont repr´esent´ees sur la figure2.69. Comme on peut le constater sur ces figures, l’´evaluation asymptotique utilis´ee permet d’obtenir l’allure globale du champ, sans toutefois suivre exactement le calcul num´erique.
Fig. 2.68: ComposantesEθdes champs rayonn´es. `A gauche, pourφ = 37◦. `A droite, pourφ = 112◦.
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Fig. 2.69: ComposantesEφ des champs rayonn´es. `A gauche, pourφ = 37◦. `A droite, pourφ = 112◦.
Le cas dual, pour une polarisation du champ incident perpendiculaire au plan d’in-cidence, est repr´esent´e sur la figure (2.70).
Fig. 2.70: G´eom´etries. `A gauche,φ = 37◦. `A droite,φ = 112◦.
Les composantesEθ des champs rayonn´es `a une distance de1000λde la surface sont repr´esent´ees sur la figure2.71. Les composantesEφdes champs rayonn´es sont repr´esent´ees sur la figure2.72.
de l’optique physique. Toutefois, on constate que l’hypoth`ese de l’optique physique est particuli`erement mise en d´efaut dans ces conditions.
Fig. 2.71: ComposantesEθdes champs rayonn´es. `A gauche, pourφ = 37◦. `A droite, pourφ = 112◦.
Fig. 2.72: ComposantesEφ des champs rayonn´es. `A gauche, pourφ = 37◦. `A droite, pourφ = 112◦.
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Synth`ese. Les hypoth`eses utilis´ees pour obtenir un d´eveloppement asymptotique des int´egrales poss´edant deux bornes finies (Iij) restreignent le domaine de validit´e du calcul. Lorsqu’un faisceau intercepte tr`es faiblement la plaque, on obtiendra de meilleurs r´esultats pour des points d’observations situ´es `a grande distance de la surface.
Il serait n´ecessaire de trouver une meilleure approximation des int´egralesIij. On pour-rait par exemple penser `a deux d´eveloppements asymptotiques successifs. Toutefois, on se retrouve dans ce cas `a devoir traiter une int´egrale dont l’int´egrande contient une fonction d’erreur. On retrouve donc le mˆeme verrou math´ematique observ´e lors de l’´evaluation asymptotique de la solution exacte du champ diffract´e par un demi-plan (cf. section I.1.5). Dans cette situation, on observait que les fonctions d’erreur18 variaient trop rapi-dement pour ˆetre approch´ees dans un large domaine de validit´e avec un d´eveloppement asymptotique et on devait dans ce cas utiliser une int´egration num´erique.
Toutefois, cette limitation peut ˆetre contourn´ee lorsque la plaque est ´eclair´ee par plusieurs faisceaux. En ne conservant que les faisceaux ´energ´etiques par rapport `a la surface, un algorithme de lancer de faisceaux assurera ainsi un calcul correct du champ rayonn´e.