Domaine de validit´ e

Afin de pr´esenter un domaine de validit´e pour chacune des deux hypoth`eses utili-s´ees pour le calcul des champs propag´es, nous nous int´eressons au rayonnement d’une distribution gaussienne d´efinie dans le planz = 0, c’est-`a-dire `a la propagation d’un fais-ceau gaussien dont l’expression exacte est donn´ee par la relation int´egrale (1.34). Cette expression est ´evalu´ee num´eriquement et est compar´ee avec les expressions analytiques (1.41) et (1.49). L’erreur entre la m´ethode de r´ef´erence num´erique et une formulation analytique est d´efinie par :

∆(r) = kEref(r) − Etest(r)k (1.58) On jugera que cette erreur est satisfaisante `a la distance r = r∆ <sup>lorsque</sup> ∆sera inf´erieur `

a−60 dB avecMaxkErefk = 0 dB :

r_∆ tel que ∆(r) < −60dB (1.59)

Afin de pr´esenter des conclusions ind´ependantes de la fr´equence, on normalise les r´esultats par rapport `a la longueur d’onde λ. Plusieurs types de faisceaux sont d´efinis par des ceintures circulaires ”´etroites” formant des faisceaux tr`es divergents (telles que kW₀< 2π) jusqu’`a des ceintures ”larges” et peu divergents (telles quekW<sub>0</sub>> 2π). Les cein-tures sont d´efinies sans perte de g´en´eralit´e sur le plan initial enz = 0parzW0,x= zW0,y= 0. Sur les figures (1.10 `a 1.16), nous avons repr´esent´e la composante principale d’un faisceau gaussien circulaire avec diff´erentes demi-largeurs de ceinture telles que kW0=

π,2π,4π,8πet introduites dans la matrice de courbure suivante :

Q(0) =   2 j kW2 0 0 0 _{j kW}² 2 0   (1.60)

On repr´esente pour chacune de ces figures les erreurs entre le calcul num´erique et les formulations analytiques paraxiale et champ lointain.

II. Faisceaux gaussiens g´en´eralis´es 35

Fig. 1.10: Amplitude d’un faisceau gaussien propag´^{e dans le plan}xOz. R´ef´erence calcul´ee num´eriquement `a partir de l’´equation int´egrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire,kW0= π.

Fig. 1.11: Diff´^{erence absolue (en dB) entre la r´ef´erence et la formulation paraxiale} (1.41) (`a gauche) et entre la r´ef´erence et la formulation champ lointain (1.49) (`a

droite). Faisceau circulaire,kW₀= π.

Lorsque la demi-largeur du faisceau est faible, on constate que le faisceau est tr`es divergent. La formulation analytique paraxiale donne de bons r´esultats uniquement dans le cˆone de paraxialit´e. La formulation analytique champ lointain correspond au champ exact `a quelques longueurs d’ondes du centre du faisceau.

Fig. 1.12: Amplitude d’un faisceau gaussien propag´e dans le planxOz. R´ef´erence calcul´ee num´eriquement `a partir de l’´equation int´egrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire,kW₀= 2π.

Fig. 1.13: Diff´erence absolue (en dB) entre la r´ef´erence et la formulation paraxiale (1.41) (`a gauche) et entre la r´ef´erence et la formulation champ lointain (1.49) (`a

droite). Faisceau circulaire,kW₀= 2π.

`

A mesure que l’on augmente la taille du faisceau, l’approximation paraxiale donne de meilleurs r´esultats, contrairement `a l’approximation champ lointain dont le domaine de validit´e s’´eloigne du centre du faisceau.

II. Faisceaux gaussiens g´en´eralis´es 37

Fig. 1.14: Amplitude d’un faisceau gaussien propag´e dans le planxOz. R´ef´erence calcul´ee num´eriquement `a partir de l’´equation int´egrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire,kW₀= 4π.

Fig. 1.15: Diff´^{erence absolue (en dB) entre la r´ef´erence et la formulation paraxiale} (1.41) (`a gauche) et entre la r´ef´erence et la formulation champ lointain (1.49) (`a

Fig. 1.16: Amplitude d’un faisceau gaussien propag´^{e dans le plan}xOz. R´ef´erence calcul´ee num´eriquement `a partir de l’´equation int´egrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire,kW0= 8π.

Fig. 1.17: Diff´^{erence absolue (en dB) entre la r´ef´erence et la formulation paraxiale} (1.41) (`a gauche) et entre la r´ef´erence et la formulation champ lointain (1.49) (`a

droite). Faisceau circulaire,kW₀= 8π.

Lorsque la demi-largeur du faisceau est grande, le faisceau est tr`es peu divergent. Dans ce cas de figure, l’erreur avec l’expression analytique paraxiale est tr`es faible. Au contraire, plus le faisceau est large, plus le domaine de validit´e de la formulation champ lointain est ´eloign´e.

Synth`ese. Les formulations des faisceaux gaussiens g´en´eralis´es offrent une ´ ecri-ture plus compacte des champs ainsi que la description de tous les faisceaux gaussiens classiques. La validit´e de chacune des deux formulations g´en´eralis´ees d´epend essentielle-ment de la demi-largeur du faisceau au niveau de la ceinture. Pour des faisceaux ´etroits (kW<sub>0</sub>< 2π), la formulation champ lointain donne de tr`es bons r´esultats au-del`a d’une vingtaine de longueur d’ondes. `A mesure que la largeur du faisceau augmente, la distance

II. Faisceaux gaussiens g´en´eralis´es 39

r_∆n´ecessaire pour que l’approximation champ lointain soit justifi´ee augmente ´egalement. En se basant sur le crit`ere de justification de l’approximation champ lointain pour des ouvertures (zone de Fraunhofer), la distance minimale d’observation doit ˆetre sup´e-rieure de2D<sup>2</sup>/λo`uD repr´esente le diam`etre de l’ouverture. Par cons´equent, la distance minimale pour un faisceau gaussien de demi-largeurW0 doit ˆetre sup´erieure `a5^kW

2 0

2 , soit

5z0.

La formulation paraxiale donne de meilleurs r´esultats `a mesure que la taille de la ceinture augmente. Il est g´en´eralement admis que la formulation paraxiale donne de bons r´esultats au voisinage de l’axe de propagation pourkW<sub>0</sub>> 2π (soit une largeurW<sub>0</sub>= λou angle de divergence d’environ20degr´es)[64]. D’une mani`ere g´en´erale, la zone de validit´e de l’approximation paraxiale est contenue dans le cˆone d’anglearctan(2/(kW0)).

Ces r´esultats sont illustr´es sch´ematiquement sous la forme d’une abaque sur la figure (1.18).

Fig. 1.18: Abaque sch´^{ematique des zones de validit´e des formulations paraxiales} (1.41) (rouge) et champ lointain (1.49) (bleu).

Enfin, les fronts d’onde des faisceaux ne sont pas ´equivalents selon les formulations utilis´ees. Le front d’onde d’un faisceau gaussien dans la formulation paraxiale est qua-dratique tandis qu’il est sph´erique pour la formulation champ lointain. Par cons´equent, `

a grande distance (zone en rose), l’utilisation de la formulation paraxiale peut engendrer des erreurs de phase importantes d`es que l’on s’´eloigne de l’axe de propagation.

III Faisceaux gaussiens conformes

Dans cette section, nous rappelons les principales caract´eristiques des faisceaux gaus-siens conformes introduit dans [64].

Comme nous le verrons au chapitre 3, il existe plusieurs techniques permettant de d´ecomposer une distribution de champ en un ensemble de faisceaux gaussiens. Parmi ces techniques, la d´ecomposition multi-faisceaux gaussiens introduite par [64] permet de d´ e-composer des champs ´electromagn´etiques d´efinis sur des surfaces mod´er´ement courbes `a l’aide des faisceaux gaussiens g´en´eralis´es de la section pr´ec´edente. Le domaine d’applica-tion de la d´ecomposition multi-faisceaux gaussiens est limit´e `a une incidence mod´er´ee du champ sur la surface courbe initiale, typiquement de l’ordre de 30 degr´es et ne convient ´egalement pas `a des surfaces trop courbes (cf. Figure1.19).

Fig. 1.19: Illustration d’une probl´^{ematique li´ee `a des radˆomes de pointe effil´es.}P

est le vecteur de Poynting du champ ´emis par l’antenne au pointM etnˆ la normale locale sortante `a la surface au point M. La d´ecomposition multi-faisceaux

gaussiens est valide lorsque l’angle entre ces deux vecteurs reste mod´er´e, c’est-`a-dire inf´erieur `a 30 degr´es.

Un nouveau type de faisceau gaussien a ´et´e d´efini pour surmonter cette limitation. Contrairement aux faisceaux gaussiens g´en´eralis´es qui sont d´efinis `a partir d’un champ gaussien sur un plan, les faisceaux gaussiens conformes sont d´efinis `a partir de densi-t´es surfaciques gaussiennes de courant circulant sur une surface courbe quadratique. Le rayonnement de ces courants est appel´e faisceau gaussien conforme. Grˆace `a cette d´ efi-nition, les faisceaux gaussiens conformes prennent en compte la courbure de la surface

III. Faisceaux gaussiens conformes 41

dont ils sont issus.

Une distribution de champ support´ee par une surface courbe peut alors ˆetre d´ ecom-pos´ee en une somme de faisceaux gaussiens conformes, `a partir de la d´ecomposition des courants ´equivalents sur la surface en un ensemble de courants ´el´ementaires gaussiens. On utilisera dans les sections qui suivent le terme de ”courant” pour d´esigner une densit´e surfacique de courant. Les courants ´electriques seront not´esJet les courants magn´etiques

M.