Validations

Les validations du code au second ordre ont port´e sur diff´erents points : • comportement en fonction du nombre de modes,

• avance en temps,

• comparaisons `a des solutions de r´ef´erence dans le domaine fr´equentiel,

• contrˆole de la conservation du volume et de l’´energie au cours des simulations.

L’´etude de l’int´egration num´erique des ´equations temporelles sera reprise dans la description du code non lin´eaire complet, dans la section I.3.4.3. L’utilisation d’une rampe en temps au d´emarrage du batteur ´evite d’avoir `a employer des pas de temps faibles pour r´esoudre correc-tement les acc´el´erations importantes li´ees `a un d´emarrage sans rampe.

I.2.3.1 Lˆachers de surface libre

D. Le Touz´e a r´ealis´e une validation intensive du mod`ele second ordre dans des cas de lˆacher de surface libre dans des cuves fixes (sans potentiel additionnel) avec comparaison `a une solution analytique (Cointe et al. [35]) et `a r´esolution num´erique par ´el´ements fronti`eres de Stassen [117]. Cette comparaison a port´e sur les ´el´evations premier et second ordre en diff´erents points, ainsi que l’´etude de la convergence des modes et l’influence du repliement. Les d´etails de cette ´etude sont donn´ees dans [79] page 81.

I.2.3.2 Houle et nombre de modes

La g´en´eration de houle avec ce mod`ele a ´egalement ´et´e valid´e, en plusieurs ´etapes, en houle r´eguli`ere. Cette validation s’int´eresse au comportement de la solution en fonction des param`etres num´eriques de discr´etisation spatio-temporelle. La discr´etisation spatiale est g´er´ee par les nombres de modes utilis´es pour d´ecrire les solutions (cf. l’´equation (I.1.6)), N1 et N2

dans les directions x et y sur la surface libre, et N3 dans la direction z sur la surface du batteur. Tout d’abord, on a investigu´e l’influence du nombre de modes en distinguant la d´ecroissance des amplitudes modales en fonction du num´ero du mode et l’erreur commise sur une quantit´e locale (vitesse, ´el´evation de surface libre) en fonction du nombre total de modes. Cette erreur est relative `a la simulation lanc´ee avec le plus grand nombre de modes et consid´er´ee comme converg´ee (proche de la solution exacte).

Pour le potentiel additionnel, l’´etude est faite en 2D, au second ordre plus sensible. On constate ainsi que les amplitudes modales du potentiel additionnel d´ecroissent `a l’ordre 3.5.L’er-reur5 sur la vitesse horizontale (obtenue en multipliant chaque amplitude par le nombre d’onde du mode et en sommant sur les modes) d´ecroˆıt `a l’ordre 2.5 : on ne perd qu’un ordre alors que les deux op´erations pr´ec´edentes (multiplication et somme) pouvaient nous en faire perdre deux. Ce r´esultat tr`es positif est dˆu `a l’alternance des s´eries qui acc´el`ere leur convergence. La conclusion de ces tests est que la r´esolution du probl`eme additionnel n´ecessite peu de modes pour obtenir une bonne pr´ecision d’o`u un temps de calcul peu important.

I.2.3. VALIDATIONS

Pour le probl`eme spectral (surface libre), les amplitudes modales du potentiel d´ecroissent `a l’ordre 3 en lin´eaire et 2.5 au second ordre6. L’erreur7 sur l’´el´evation de surface libre diminue selon un ordre 2.2 au premier ordre et 2.4 au second ordre.

Hormis ces ordres de d´ecroissance satisfaisants, les niveaux d’erreur relev´es sont tr`es faibles, en dessous du pour cent en relatif d`es N1 = 128 modes en lin´eaire et N1 = 256 modes au second ordre.

Ces tests montrent l’efficacit´e du mod`ele num´erique qui n´ecessite peu de modes pour un niveau de pr´ecision suffisant et est tr`es rapide grˆace au coˆut de calcul r´eduit en N log N .

I.2.3.3 Comparaison `a une solution analytique de r´ef´erence

La solution analytique de la g´en´eration de houle r´eguli`ere oblique dans le domaine fr´e-quentiel, d´evelopp´ee dans le cadre de la suppression des ondes libres, fournit une base de comparaison tr`es int´eressante. Cette solution8 est valable `a l’ordre deux dans un bassin tri-dimensionnel semi-infini dans la direction x, mod´elise le batteur en x = 0 et inclut les lois de commandes ´elabor´ees. On utilise alors le code instationnaire avec une plage tr`es performante et on compare le r´egime ´etabli apr`es le passage du front d’onde `a la solution fr´equentielle. Les r´esultats, pr´esent´es dans [79] page 148, montrent qu’on obtient facilement au premier ordre une erreur inf´erieur `a 0.2 % avec un nombre de modes suffisant (N = 513). Comme on le verra dans l’´etude des ondes libres parasites, le champ de vagues au second ordre est perturb´e par des ondes courtes de longueur d’onde environ un quart de celle de la houle premier ordre. Ces ondes courtes du second ordre n´ecessitent donc un nombre de modes plus ´elev´e pour que la cin´ematique soit pr´ecis´ement d´ecrite, que lorsque les ondes li´ees sont seules pr´esentes. L’´ecart `a la solution analytique stationnaire passe `a 2 % dans ce cas avec un nombre de modes double (N = 1024).

I.2.3.4 Volume et ´energie

Un d´eveloppement complet en s´erie de perturbations au second ordre a ´et´e effectu´e de mani`ere `a v´erifier s´epar´ement `a chaque ordre la conservation du volume et le bilan d’´energie. Des d´etails sur les expressions des volumes et ´energies sont donn´es dans l’Annexe D. On rappelle ici quelques r´esultats. Pour le volume au premier ordre, on s’attend `a ce que le d´eplacement d’eau par le batteur RLy

0

R0

−1 X1(y,z,t) dy dz soit compens´e par une variation du niveau moyen RLx

0

RLy

0 η1(x,y,t) dx dy. Cette variation, li´ee aux modes ´evanescents, intervient localement pr`es du batteur. Num´eriquement dans le cas d’une houle r´eguli`ere, on observe pour un nombre faible de modes que la diff´erence entre les volumes pr´ec´edents est non nulle. Elle oscille comme pr´evu `a la fr´equence du batteur. L’amplitude des oscillations tend vers z´ero comme N−2 lorsque le nombre de modes N augmente.

Au second ordre, on s’attend aussi `a une compensation entre la variation de volume dans le bassin et le d´eplacement de fluide dˆu au batteur, celui-ci se calculant avec un terme en plus, dit 6. On peut noter que cette valeur au second ordre est obtenue sans la suppression des ondes libres. Le champ de vagues est alors la superposition d’une onde li´ee de longueur d’onde λ/2 et d’une libre deux fois plus courte environ. Avec la suppression des ondes libres, la variation spatiale se fait seulement `a l’´echelle λ/2 et le nombre de modes n´ecessaires `a la description du champ de vague est plus faible. Autrement dit, les amplitudes modales d´ecroissent plus vite.

7. Relative au cas N1= 2048 avec toujours N3= N1/4.

8. Cette solution est d´ecrite dans la suite de la th`ese, en Annexe A au premier ordre et dans la partie III au second ordre.

de coin X1η1, ´egal au volume de fluide d´eplac´e par le batteur au dessus de la surface libre au repos. Num´eriquement, on observe cette fois que le volume total9 au second ordre a tendance `a croˆıtre lin´eairement avec une oscillation superpos´ee `a la fr´equence double. Lorsque N augmente, `a la fois la pente de la droite et l’amplitude des oscillations tendent vers z´ero comme N−2 `a nouveau. Cette ´etude des volumes premier et second ordre montre donc une bonne d´ecroissance de l’erreur sur le volume lorsque N augmente.

En ce qui concerne les ´energies, les simulations partent d’un ´etat de repos qu’on prend comme r´ef´erence d’´energie m´ecanique E = 0 `a t = 0. Ensuite, lorsque le batteur se met en route, on doit v´erifier que l’´energie m´ecanique est ´egale au travail des forces ext´erieures, `a savoir les forces de pression. Ce travail est nul sur les parois fixes ou de pression nulle. Il interviendra donc uniquement sur la surface du batteur et celle de la plage absorbante fonctionnant comme un patch de pression. Au premier ordre en cambrure, le bilan d’´energie est tr`es simple, l’´energie cin´etique ´etant nulle et le travail dˆu `a la pression hydrostatique :

E₁ = E_p¹ = − Z Ly 0 Z 0 −1 X₁(y,z,t) z dy dz = W₁ = − Z t 0 Z Ly 0 Z 0 −1 ∂X1 ∂t ^{z dy dz dt} (I.2.5) Les grandeurs X₁ et ∂X1

∂t ´etant connues, ce bilan permet de valider l’int´egration en temps intervenant dans le calcul du travail.

Au second ordre en cambrure, l’´energie m´ecanique `a l’instant t vaut : E2 = Ec2+ Ep2 = −<sup>1</sup> 2 Z 0 −1 φ1(0,z,t)<sup>∂φ1</sup> ∂x<sup>dz +</sup> 1 2 Z L 0 φ1(x,0,t)<sup>∂φ1</sup> ∂z <sup>dx</sup> +<sup>1</sup> 2 Z L 0 η2 1(x,t) dx − Z 0 −1 X<sub>2</sub>(z,t) z dz (I.2.6) et le travail W2 = − Z t 0 " Z 0 −1 ∂X1 ∂t ∂φ1 ∂t <sup>dz +</sup> Z 0 −1 ∂X2 ∂t <sup>z dz +</sup> Z L 0 ν(x) µ ∂φ1 ∂z ¶2 dx # dt (I.2.7) Cette fois apparaissent le potentiel et l’´el´evation de surface libre calcul´es durant la simulation et la comparaison de l’´energie E2 et du travail W2 permet de valider la pr´ecision du calcul. Sur la figure I.2.1, on a trac´e l’´evolution temporelle des ´energies et travail dans le cas d’une houle r´eguli`ere de longueur d’onde 5 m dans un bassin bi-dimensionnel de 50 m de longueur par 5 m de profondeur. Entre t = 0 et t = 30 s, le front d’onde se propage `a la vitesse de groupe constante du batteur `a la plage. Derri`ere le front d’onde, le champ de vague est ´etabli. Plus le front d’onde avance plus la surface de champ ´etabli augmente (lin´eairement) et plus les ´energies cin´etique Ec2 et potentielle Ep2 du champ ´etabli augmentent en restant ´egales conform´ement au comportement en milieu ouvert. Le travail des forces de pression sur le batteur, seul pr´esent avant que la houle n’atteigne la plage, augmente ´egalement et ´egale l’´energie m´ecanique E2 = Ec2+ Ep2. Le taux de croissance de l’´energie E2 est li´e `a la vitesse de groupe de l’onde g´en´er´ee :

E = ¹

2^{ρ g a}

2vgt

Apr`es l’arriv´ee du front sur la plage, l’´energie m´ecanique se stabilise si l’absorption est correcte ou augmente encore lorsque le front d’onde r´efl´echi se propage en direction du batteur ; dans

I.2.3. VALIDATIONS 0 10 20 30 40 50 60 0 5E-05 0.0001 0.00015 0.0002 Temps en s. ´ Eⁿ er gi e

Fig. I.2.1 – Bilan d’´energie au second ordre

ce cas on observe ´egalement un ´echange d’´energie entre ´energie cin´etique `a la surface libre et ´energie potentielle, t´emoin de l’onde partiellement stationnaire qui s’installe dans le bassin. En ´etudiant la diff´erence entre l’´energie m´ecanique dans le bassin et le travail des forces de pression, on observe lors des simulations num´eriques que cette diff´erence tend vers un r´esidu tr`es faible oscillant `a la fr´equence ω au cours de la simulation.

Au troisi`eme ordre en cambrure, les expressions sont plus complexes et donn´ees en annexe D.2. On observe lors des simulations que la diff´erence entre l’´energie m´ecanique du volume fluide et le travail des forces de pression croˆıt lin´eairement avec le temps. Comme pour le volume au second ordre, le taux d’accroissement est tr`es faible mˆeme avec un nombre faible de modes et diminue selon N−2 lorsqu’on augmente le nombre N de modes.

I.2.3.5 Modes longs

L’´etude r´ealis´ee par Molin et al. [101] montre que les modes longs sont excit´es lors de la g´en´eration de houle r´eguli`ere par un effet du second ordre. L’excitation lin´eaire lors du d´emarrage du batteur (ou de l’arrˆet) est beaucoup plus faible, moyennant l’emploi d’une rampe efficace.

On se place dans les mˆemes conditions que les essais r´ealis´es [101] (ancienne g´eom´etrie du bassin de traction de l’ECN de dimensions 63×2.8 m ; p´eriode de houle T = 2.4 s soit kh = 2 et amplitude a = 0.22 m ; g´en´eration pendant 90 s avec des rampes de deux p´eriodes `a la mise en route et `a l’arrˆet du batteur). La figure I.2.2 montre l’amplitude modale A⁽²⁾mo(t) des trois premiers modes propres (m = 1, 2 et 3) du bassin au second ordre. On observe une excitation des modes `a la p´eriode propre. Le premier mode est le plus excit´e. La p´eriode d’oscillation de ce mode, mesur´ee sur les 12 derni`eres p´eriodes, est de 24.2 s ce qui correspond bien `a la p´eriode th´eorique de 24.19 s. L’amplitude de l’´el´evation correspondante vaut a⁽²⁾mo = ωm_Ad(2)

moh o`u dA⁽²⁾mo

d´esigne l’amplitude de A⁽²⁾mo(t). Pour le premier mode, on trouve a⁽²⁾mo ≃ 3.8 mm. Cette valeur est proche de la valeur exp´erimentale, 4 mm, mesur´ee par un capteur de pression en bout de

0 100 200 300 400 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Temps en s. Am p li tu d e m o d al e

Fig. I.2.2 – ´Evolution temporelle des trois premiers modes propres au second ordre

bassin.

La comparaison de la d´ecroissance du premier mode propre avec la mesure exp´erimentale (figure 2 dans [101]) montre que la plage num´erique utilis´ee est moins efficace que la plage exp´erimentale. La d´ecroissance observ´ee dans la simulation est plus faible que dans le bassin de traction. Les param`etres caract´eristiques de la plage ont ´et´e d´etermin´ees pour assurer un coefficient de r´eflexion proche du coefficient exp´erimental (environ 5 %) pour la longueur d’onde λ = 3.1 m g´en´er´ee. Contrairement `a l’absorption en νφ utilis´ee par Stassen qui semble absorber trop les modes longs, il s’av`ere que la plage en νφn ne les absorbe pas assez par rapport aux exp´eriences.

L’´el´evation sur une sonde `a 9.95 m du batteur, sur la figure I.2.3, donne bien une amplitude d’oscillation similaire `a celle pr´esent´ee sur la figure 9 de Molin et al. .

Enfin, dans le bassin de houle, la profondeur plus importante que dans le bassin de traction amoindrit l’excitation des modes longs. La limite kh = 2 donne dans ce bassin une longueur d’onde de 15 m et on g´en`ere rarement des houles r´eguli`eres plus longues compte tenu des dimensions du bassin.