Application aux simulations

e^iωt # = Reh f X1(y) e^iωti (II.2.3) Pratiquement, le facteur fX1(y) devant l’exponentielle temporelle est calcul´e pour l’ensemble des coordonn´ees y, une fois pour toutes en d´ebut de simulation. On stocke cette information et on ´evite de la r´e´evaluer au cours de la simulation. On ´evalue `a chaque pas de temps le mouvement du batteur en appliquant la formule X1(y,z,t) = gv(z) Reh

f X1eiωti

en chaque point (y,z) du batteur.

II.2.3 Application aux simulations

Les lois de commande serpent et Dalrymple ont ´et´e mises en œuvre dans les deux codes de calcul. Une premi`ere ´etude en houle r´eguli`ere oblique a permis de valider l’impl´ementation de la m´ethode Dalrymple et de mettre en avant ces avantages en terme de taille de zone utile par rapport au principe du serpent. Des ´etats de mer complexes ont ensuite ´et´e g´en´er´es et soulignent la n´ecessit´e de traiter des r´eflexions lat´erales, dans le cas d’une houle mono-fr´equence focalis´ee en direction (focalisation g´eom´etrique) et dans le cas d’une houle irr´eguli`ere multi-directionnelle focalis´ee.

II.2.3.1 Houle r´eguli`ere

La g´en´eration de houle r´eguli`ere oblique a permis de valider l’impl´ementation de la m´ethode de Dalrymple dans les codes de calcul. La validation a port´e sur la comparaison des zones utiles obtenues en simulation instationnaire avec les zones utiles th´eoriques en r´egime ´etabli pr´esentes dans la litt´erature (cf. e.g. Boudet et P´erois). Les champs de vagues ont ´et´e simul´es pour les lois de commande Dalrymple et principe du serpent pour une longueur d’onde de 5 m, une direction de 20 degr´es et une distance cible Xd = 20 m pour la m´ethode de Dalrymple. Les caract´eristiques de la houle oblique simul´ee est la mˆeme que celle utilis´ee pour les vues stationnaires 3D de la figure II.2.1. Dans un premier temps, ils ont ´et´e analys´es `a l’instant t = 19T o`u le front d’onde atteint le mur oppos´e (pas d’influence de la r´eflexion sur le mur oppos´e au batteur). La figure II.2.2 montre une carte de la surface du bassin o`u les niveaux de gris repr´esentent l’amplitude du fondamental, calcul´ee sur une p´eriode de houle par une Transform´ee de Fourier Discr`ete en chaque point du maillage de la surface libre et normalis´ee par l’amplitude cible. Le batteur est situ´e `a gauche des cartes, la zone absorbante `a droite, la direction de la houle ´etant dirig´ee vers le haut de la figure.

`

A gauche se trouve la carte d’amplitude pour le principe du serpent, dont la zone utile se r´eduit `a un triangle d´eform´e devant le batteur. Pr`es du mur y/h = 6, on observe tr`es rapidement la formation d’une onde stationnaire transverse due `a la r´eflexion de la houle g´en´er´ee sur ce mur. Pr`es du mur oppos´e, l’amplitude est faible, provenant de la diffraction par le bord de la zone utile triangulaire. `A droite, la carte d’amplitude pour la m´ethode de Dalrymple montre une zone utile beaucoup plus ´etendue, en forme de losange caract´eristique autour de la position

II.2.3. APPLICATION AUX SIMULATIONS 0 2 4 6 8 x/h 0 1 2 3 4 5 6 y / h 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 0 2 4 6 8 x/h 0 1 2 3 4 5 6 y / h 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6

Fig. II.2.2 – Qualit´e du champ de vague au premier ordre (gauche : serpent, droite : Dalrymple f = 0.56 Hz, θ = 20 degr´es et Xd/h=4, `a l’instant t = 19T )

x = Xd. On voit clairement l’avantage de cette m´ethode par rapport au principe du serpent. Il est n´ecessaire de l’utiliser pour g´en´erer de tels angles de propagation.

Le caract`ere instationnaire du code de calcul SWEET permet de s’int´eresser `a l’´evolution du champ de vague dans le temps. Les r´eflexions multiples, sur la plage et les murs lat´eraux sont cens´ees alt´erer la qualit´e de la houle g´en´er´ee. La figure II.2.3 montre la carte d’amplitude sur la surface du bassin apr`es un temps de 57 p´eriodes, ce qui correspond `a un aller-retour plus un aller du front d’onde dans le bassin. On observe effectivement la d´egradation de la houle due aux r´eflexions : un motif stationnaire transverse plus prononc´e apparaˆıt dans les coins en bas `a gauche et en haut `a droite, l`a o`u se produisent les r´eflexions contrˆol´ees. La zone utile pr´esente par cons´equent une dimension plus r´eduite dans la direction principale du bassin.

II.2.3.2 Houle irr´eguli`ere

Pour les houles plus complexes, multi-directionnelle et/ou multi fr´equences, une organisation rigoureuse de l’algorithme de mouvement batteur s’est r´ev´el´ee n´ecessaire au sein des codes de calculs pour minimiser le temps de calcul correspondant. En houle r´eguli`ere, on a vu au paragraphe II.2.2.4 qu’une partie des termes est ind´ependante du temps. Il s’agit d’une somme sur les modes transverses qui est `a calculer une fois pour toutes en d´ebut de simulation. En houle irr´eguli`ere, on applique le mˆeme principe `a chaque fr´equence, avec par exemple un regroupement pr´eliminaire des diff´erentes directions de propagation en un terme ind´ependants du temps. Pour simplifier, consid´erons le cas d’une seule fr´equence et deux directions θ1 et θ2. L’application de la formule (II.2.3) pour les deux directions conduit `a

f X1(y,t) = Reh f X1(y,θ1) e^iωti + Reh f X1(y,θ2) e^iωti

qu’on peut simplement factoriser par l’exponentielle temporelle ; la somme fX1(y,θ1) + fX1(y,θ2) est calcul´ee au d´ebut de la simulation.

Fig. II.2.3 – Qualit´e du champ de vague au premier ordre apr`es 57 p´eriodes (Dalrymple, f = 0.56 Hz, θ = 20 degr´es et Xd/h=4)

Le choix de la loi de commande tenant compte ou non des r´eflexions s’est pos´e dans le cas d’une focalisation en direction. Le but est de reproduire en bassin une focalisation de plusieurs ondes de directions diff´erentes. Un cas simple est la superposition d’ondes de mˆeme longueur d’onde qui convergent en un point du bassin. On parlera de focalisation g´eom´etrique. En lin´eaire la superposition suivante r´ealise cette focalisation g´eom´etrique :

η(x,t) =

N

X

n=−N

ancos(ωt − kn.x + ϕn)

o`u la direction de l’onde n est θn = n<sup>∆θ</sup><sub>N</sub> . Sa phase ϕn est ajust´ee pour qu’elle soit en phase au point xf de focalisation situ´e au milieu du bassin `a une distance xf = 25 m du batteur, soit ϕ_n = kn.xf. Ce champ de vague a ´et´e simul´e num´eriquement avec le mod`ele au second ordre pour une longueur d’onde de 5 m, un ´etalement angulaire ∆θ = 45 degr´es et N = 5, pour les deux lois de commande, serpent et Dalrymple. Les champs de vagues obtenus dans le bassin num´erique sont repr´esent´es sur la figure II.2.4. On constate que le principe du serpent produit une focalisation plus ´etal´ee en largeur et plus faible en amplitude que la m´ethode de Dalrymple. La figure II.2.5 compare l’´el´evation obtenue par les deux lois de commandes au point de foca-lisation. L’amplitude th´eorique est rep´er´ee par le long trait horizontal (5 cm) : elle correspond `a une cambrure caract´eristique4 au point de focalisation de 2 %. Les deux traits horizontaux plus courts rep`erent les amplitudes donn´ees par le principe du serpent (3.1 cm) et par la m´ethode de Dalrymple (5.1 cm, tr`es proche de la cible). Les r´eflexions parasites pr´esentes avec le prin-cipe du serpent diminuent fortement l’amplitude focalis´ee du fait de l’´elargissement de la crˆete focalis´ee observ´ee sur la figure II.2.4.

4. Cette cambrure ´etant d´efinie par le rapport de la hauteur crˆete `a creux maximale sur la longueur d’onde i.e.

ε = ^{(2N + 1)an}

II.2.3. APPLICATION AUX SIMULATIONS

Fig. II.2.4 – Focalisation g´eom´etrique, simulations au second ordre

0 10 20 30 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 ´ E^l´e va ti on (m ) Temps (s) M´ethode de Dalrymple Principe du serpent

Fig. II.2.5 – Comparaison de l’´el´evation au point de focalisation g´eom´etrique (∆θ = 45 degr´es, N = 5).

La g´en´eration avec la m´ethode de Dalrymple a ´et´e appliqu´ee `a un spectre directionnel focalis´e au centre du bassin. Le spectre est un spectre de Bretschneider de 2 s de p´eriode de pic et 4 cm de hauteur significative. L’´etalement directionnel est en cos2n avec n = 10. La focalisation a lieu `a 45 s, `a 25 m du batteur. La figure II.2.6 montre quatre vues successives de

(a) `a t = 28 s (b) `a t = 33 s

(c) `a t = 39 s (d) `a t = 45 s

Fig. II.2.6 – Focalisation d’un spectre directionnel

la surface libre au cours de la focalisation, r´ealis´ees avec le code HOS. Sur les deux premi`eres vues, on peut voir l’´etablissement de la houle irr´eguli`ere dans tout le bassin. Les ondes plus lentes sont g´en´er´ees en premier.

Un champ irr´egulier s’´etablit avant la focalisation, constitu´e des grandes longueurs d’onde plus rapides. Au point de focalisation, l’´el´evation est cens´ee ˆetre nulle de part et d’autre de l’instant de focalisation en milieu ouvert (ind´ependamment du fait que les composantes ne soient pas sym´etriques). En bassin, on observe le passage d’ondes avant le paquet focalis´e due