Am´eliorations propos´ees

Plusieurs am´eliorations de la d´ecomposition lin´eaire ont ´et´e propos´ees pour pallier la sous-estimation de l’amplitude de la crˆete principale. Des minima locaux sont attendus lors de la r´esolution du syst`eme non lin´eaire par les moindres carr´es. L’utilisation d’une unique solution initiale peut donc nous conduire `a un de ces minima locaux et non au minimum global. De mani`ere `a mieux approcher ce dernier, le syst`eme est r´esolu avec plusieurs solutions initiales (plusieurs tirages al´eatoires) et on choisit la solution la plus proche de la cible. Pour cela, on compare l’´el´evation cible ηp et l’´el´evation ηbp reconstruite lin´eairement `a partir de chaque solution obtenue b ηp(t) = Re " _N X n=1

anexp i (ωnt − kn(x cos θn+ y sin θn) + ϕn) #

Parmi l’ensemble des solutions, la solution retenue est celle qui minimise une erreur globale, d´efinie comme la somme sur les cinq sondes de l’int´egrale en temps de l’erreur quadratique entre l’´el´evation cible η_p et l’´el´evation reconstruite ηb_p

E = P X p=1 Z T 0 wp(t) |ηp(t) − bηp(t)|²dt

Il reste `a choisir les solutions initiales ; on s’inspire pour cela de l’approche d´ecrite plus haut. Les amplitudes initiales les mˆeme pour toutes les solutions initiales, i.e. ´egales `a la moyenne des TF sur les cinq sondes. Les phases sont choisies avec un nouveau tirage al´eatoire pour chaque solution initiale. Enfin, pour les directions initiales, deux strat´egies ont ´et´e tent´ees.

La premi`ere strat´egie consiste simplement `a effectuer un nouveau tirage al´eatoire avec la loi normale d´ecrite plus haut, en conservant la mˆeme direction θ_m = 0 moyenne et le mˆeme ´ecart-type σθ = π/4 pour chaque tirage. La figure IV.1.37 montre les ´el´evations lin´eaires obtenues avec vingt solutions initiales diff´erentes, sur une des cinq sondes du r´eseau pour le spectre d’entr´ee B. On constate que les diff´erentes solutions initiales donnent bien des ´el´evations de surface libre diff´erentes sur la sonde. La variation d’amplitude sur la crˆete principale entre les diff´erentes solutions obtenues atteint 20 % de l’amplitude du pic central cible ; la meilleure des solutions obtenues reste cependant assez ´eloign´ee de la cible (sous-estimation de 30 % de l’amplitude du pic principal).

Cette strat´egie a ´et´e ´egalement appliqu´ee au paquet cible A, moins cambr´e (Hs = 4 cm) et plus ´etal´e (n = 10). La focalisation se produit `a 21.35 m du batteur, la sonde centrale du r´eseau ´etant fix´ee `a 20 m. Cinquante solutions initiales sont utilis´ees avec un ´ecart-type fixe de π/4 pour les directions de propagation. La figure IV.1.38 donne quatre vues de la surface libre aux instants t = 28, 33, 39 et 45 s. Elles sont `a comparer au paquet cible montr´e sur la figure IV.1.31. On constate que le pic focalis´e reproduit est plus ´etal´e et moins cambr´e que la cible.

La deuxi`eme strat´egie consiste `a autoriser une variation de l’´ecart-type du tirage al´eatoire des directions de propagation. La direction moyenne est gard´ee fixe (θ_m = 0) et l’´ecart-type σθ est tir´e al´eatoirement entre 0 et σ avec une r´epartition uniforme. Avec σ = π/4 (comme pr´ec´edemment pour l’´ecart-type fix´e), on autorise par exemple des solutions initiales moins ´etal´ees en direction que pr´ec´edemment.

IV.1.5. PAQUETS DE VAGUES 3D 65 70 75 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Temps en s. ´ E^l´e va ti on en m .

Fig. IV.1.37 – ´El´evations de surface libre cible et d´ecompos´ees pour 20 solutions initiales sur une sonde

Conclusion

L’´etude de la reproduction d´eterministe a d´ebut´e par l’emploi des m´ethodes de base de d´ecomposition lin´eaire et second ordre. Celles-ci ont mis en ´evidence des effets d’ordre sup´erieur qu’on a pris en compte ensuite. L’application de corrections it´eratives d´eduites d’une analyse de Fourier directe de l’´el´evation obtenue `a l’it´eration pr´ec´edente a apport´e une am´elioration certaine tout en montrant un contrˆole inadapt´e `a hautes fr´equences. Il est apparu n´ecessaire de s´eparer `a ces fr´equences, les effets lin´eaire et du second ordre, ce qui a ´et´e entrepris par la s´eparation des effets pairs/impairs `a l’aide d’une double g´en´eration en crˆete et en creux. Cette technique a rendu possible l’estimation correcte des vitesses de phase non lin´eaires `a l’aide d’un mod`ele simplifi´e au troisi`eme ordre. L’utilisation de ce mod`ele th´eorique int´egrant plus d’effets physiques que les mod`eles test´es au d´epart conduit `a une solution plus proche de la cible. On peut alors envisager d’utiliser une m´ethode d’optimisation pour se rapprocher encore de la solution. Une grande partie du chemin a ´et´e parcourue grˆace au mod`ele au troisi`eme ordre propos´e.

Les essais exp´erimentaux effectu´es ont permis de mettre en lumi`ere les param`etres ca-ract´eristiques du batteur qui interviennent lors de son mouvement (r´esolution angulaire pour les faibles amplitudes, intervalle de fr´equence avec la TF utilis´e, d´ecalage en temps au d´emarrage) et fournissent des id´ees int´eressantes `a mettre ou d´ej`a mises en œuvre pour am´eliorer son contrˆole (trigger au d´emarrage du batteur, r´esolution sur 16 bits au lieu de 12).

Perspectives

La reproduction d´eterministe par estimation des vitesse de phase non lin´eaires doit ˆetre appliqu´ee `a d’autres paquets de vagues cibles. Au vu des r´esultats tr`es encourageants obtenus avec les cibles simples test´ees, on peut envisager avec confiance l’application `a des cibles plus complexes, comme la vague Draupner ou d’autres enregistrements r´ealis´es en mer dans des conditions extrˆemes.

(a) `a t = 28 s (b) `a t = 33 s

(c) `a t = 39 s (d) `a t = 45 s

IV.1.5. PAQUETS DE VAGUES 3D

La technique de s´eparation des termes pairs/impairs en non-lin´earit´es s’applique non seule-ment `a un paquet focalis´e mais `a tout type de houle. On a d´ej`a ´evoqu´e pr´ec´edemseule-ment l’utilit´e d’une telle s´eparation pour l’analyse des ondes libres par exemple. De mˆeme pour l’estimation des vitesse de phase non lin´eaires au troisi`eme ordre ´egalement. Ces vitesses pourront ˆetre uti-lis´ees lors de la s´eparation houle incidente/houle r´efl´echie. Ces deux techniques ont bien sˆur un coup, celui de doubler le nombre d’essais n´ecessaires.

La technique de reproduction d´eterministe d´evelopp´ee dans ce chapitre pourra ˆetre as-soci´ee avec les calculs de vitesses en cours de d´eveloppement (Guillaume Ducrozet, en th`ese) de mani`ere `a estimer la cin´ematique du fluide sous les crˆetes de forte cambrure et `a servir d’entr´ee pour les mod`eles de chargement hydrodynamiques.

Cinqui`eme partie

G´en´eration et analyse de houles

Chapitre V.1

Houle irr´eguli`ere bi-dimensionnelle

Cette partie traite de g´en´eration et d’analyse de houle irr´eguli`ere droite (en 2D). Les objectifs sont d’une part de v´erifier la qualit´e des champs de vagues g´en´er´es au moyen de l’estimation des spectres de houle et des param`etres associ´es `a la houle irr´eguli`ere. D’autre part, on cherche `a mettre en ´evidence les ph´enom`enes parasites, analyse de la r´eflexion sur la plage, ´etude d´etaill´ee de l’excitation des modes propres du bassin au cours des essais. Enfin, cette ´etude permet d’illustrer les capacit´es des mod`eles num´eriques de g´en´eration et propagation de houle. Ce type d’essais bien qu’´etant bi-dimensionnel dans un chapitre d´edi´e au multi-directionnel, est tr`es riche d’enseignement. Il n´ecessite de mettre en place les m´ethodes d’analyse fr´equentielle et statistique vague par vague, fournit des informations sur le comportement de la plage absor-bante.

D’un point de vue exp´erimental, les essais effectu´es font partie des premi`eres tentatives de qualification des houles irr´eguli`eres bi-dimensionnelles que l’on peut obtenir simplement dans le bassin de houle. Il s’agit donc en partie de tester les outils d’une part de g´en´eration `a disposition `a la date des essais (`a savoir le logiciel OCEAN pour g´en´erer les s´equences de houle et l’asservissement (ou pilotage) du batteur en position), et d’autre part d’absorption (plage passive m´etallique). On cherche `a savoir si cet ensemble permet de reproduire des ´etats de mer al´eatoires corrects.

Au niveau num´erique, ces essais correspondent `a des simulations de longs temps physiques, ce qui met en valeur la rapidit´e des codes spectraux utilis´es. Les simulations offrent un regard simple sur l’influence des non-lin´earit´es en fournissant des r´esultats lin´eaire, second ordre et non lin´eaire complet facilement comparables. Ces observations sont valid´ees par les comparaisons avec les exp´eriences.

Enfin, comme on l’a dit plus haut, pour exploiter ces essais num´eriques et exp´erimentaux, des techniques d’analyse de houle irr´eguli`ere ont ´et´e mises en place, valid´ees sur des tests analytiques puis appliqu´ees `a ces essais.

Un des aspects tr`es enrichissant de cette ´etude est qu’on a pu ainsi aborder chaque ´etape, depuis la g´en´eration jusqu’`a l’analyse, `a la fois pour des simulations et des essais exp´erimentaux. Il convient de pr´eciser tout de suite l’approche choisie dans cette ´etude. Lors de la g´en´eration de houle al´eatoire en bassin, on passe g´en´eralement par une phase d’´etalonnage de la houle dans laquelle, `a partir du mouvement batteur calcul´e `a partir de la th´eorie lin´eaire, on effectue une s´erie d’it´erations {g´en´eration—mesure—correction} pour obtenir finalement le spectre d´esir´e dans le bassin (voir par exemple [66] et Daoud [40]). Les mesures lors des premi`eres it´erations peuvent en effet diff´erer de la cible en raison des non-lin´earit´es; la correction peut alors s’in-terpr´eter comme la modification de la fonction de transfert lin´eaire par exemple. Ici, on n’a pas

cherch´e `a corriger le mouvement du batteur pour obtenir le bon spectre dans le bassin. Mais partant du mouvement lin´eaire, on observe les diff´erences entre les mesures et la cible et on essaie de les reproduire dans les simulations.

On pr´esente en premi`ere partie V.1.1 les caract´eristiques des essais effectu´es, communes aux exp´eriences et simulations. On d´etaille ensuite s´epar´ement le dispositif exp´erimental V.1.2 et les param`etres propres aux simulations num´eriques V.1.3. Apr`es avoir d´ecrit les m´ethodes d’analyse statistique V.1.4 et fr´equentielle V.1.5 mises en œuvre , on s’attache `a deux aspects : l’influence de la longueur d’onde et de l’amplitude. On termine cette ´etude de la houle irr´eguli`ere bi-dimensionnelle par l’observation et l’analyse de l’excitation des modes propres au cours des essais.

V.1.1 Houles irr´eguli`eres g´en´er´ees

Exp´eriences et simulations ont ´et´e r´ealis´ees avec les mˆemes donn´ees d’entr´ee pour effectuer des comparaisons ais´ees entre les deux approches. Pour r´eduire le nombre de param`etres `a faire varier, le spectre g´en´er´e sera toujours du mˆeme type, un spectre de Bretschneider autrement appel´e de Pierson-Moskowitz modifi´e `a deux param`etres :

S(f ) = 5^mo fp µ f_p f ¶5 exp " −⁵₄ µ f_p f ¶4# (V.1.1) avec fp la fr´equence de pic et mo le moment d’ordre z´ero du spectre. Ces deux param`etres sont reli´es `a la p´eriode moyenne up-crossing TZ = 0.7104 Tp et `a la hauteur significative spectrale Hs= 4√mo qui sont plus usit´ees.

Les essais ´etudi´es dans ce chapitre proviennent de deux campagnes d’essais. Lors de la premi`ere (juin 2004), deux p´eriodes up-crossing ont ´et´e ´etudi´ees, TZ = 1.42 et 0.99 s, soit des longueurs d’ondes de pic de λp = 5 et 3 m respectivement. Pour chaque p´eriode, diff´erentes hauteurs significatives ont ´et´e test´ees (voir tableau V.1.1). La deuxi`eme campagne (septembre

TZ en s 1.42 1.42 1.42 0.99 0.99 Tp en s 2 2 2 1.4 1.4 fp en Hz 0.5 0.5 0.5 0.7 0.7 λp en m 5 5 5 3 3 Hs en m 0.08 0.16 0.32 0.08 0.16 Cambrure en % 1.6 3.2 6.4 2.7 5.3 mo en 10−4 m2 4 16 64 4 16 Smax en 10−3 m2s 1.14 4.57 18.3 1.14 4.57 Tab. V.1.1 – Valeurs caract´eristiques des essais effectu´es

2004) a permis de r´ealiser des ´etudes sur la stationnarit´e des houles obtenues pendant un long temps d’essai. Pour des raisons de clart´e, les donn´ees correspondantes seront fournies dans la partie V.1.9 d´edi´ee `a cette ´etude. On revient donc pour la suite `a la premi`ere campagne.

Le mouvement du batteur est synth´etis´e en discr´etisant le domaine fr´equentiel et en donnant `a chaque composante l’´energie pr´esente dans la bande de largeur ∆f centr´ee sur f , et une phase al´eatoire (Approche D´eterministe Spectrale ou DSA, cf. e.g. [65]). La p´eriode de r´ep´etition du