2.3 Application à un exemple classique : la MSAP
2.3.2 Validation statistique
Les résultats sur les seuls précédents modèles ne suffisent pas à garantir la fiabilité et la ro-bustesse de la méthode de projection car il est possible de se trouver dans un cas particulier. Afin de pouvoir utiliser la méthode de projection dans un processus d’optimisation, une validation sta-tistique est nécessaire. Dans cette optique, 500 machines 3D sont générées. Quatre paramètres judicieusement choisis sont déterminés via une loi uniforme dans les intervalles présentés dans
0 20 40 60 80 0 0,5 1 1,5 2
Position en degrés mécanique◦
Couple ( p.u. ) Projection Complet
FIGURE 2.11 – Comparaison des couples multistatiques en 2D entre modèle par projection et modèle classique 0 20 40 60 80 0 0,5 1 1,5 2
Position en degrés mécanique◦
Couple ( p.u. ) Projection Complet
FIGURE 2.12 – Comparaison des couples multistatiques en 3D entre modèle par projection et modèle classique
Chapitre 2 : Une modélisation adaptée à la conception des machines tournantes
la TABLE2.2. L’entrefer, le rayon extérieur et le rayon d’alésage sont, quant à eux, maintenus constants.
Paramètres variables Intervalle
Ouverture des encoches [15 ; 85]% du pas d’encoche Épanouissement des aimants [15 ; 85]% du pas polaire
Profondeur des encoches [3 ; 11] mm Épaisseur des aimants [2 ; 8] mm
TABLE2.2 – Variations géométriques
Pour chaque machine, les couples électromagnétiques moyens calculés par les deux mé-thodes sont comparés. On ne s’intéresse qu’au couple moyen et non pas aux harmoniques car les règles de maillage permettant de retrouver les harmoniques du couple [Fon07] ne peuvent être respectées dans notre cas. Une étude précise réalisée au laboratoire sur une machine 3D sur laquelle les règles de maillage ne peuvent être mises en place [Gir20] porte à croire qu’au-cune information ne peut être obtenue sur les harmoniques autre que le fondamental. Il ne s’agit pas d’un réel inconvénient car la méthode par projection a pour but d’être un modèle utile à un pré-dimensionnement et non pas à un dimensionnement fin et complet. Le nombre d’inconnues de chaque modèle est maintenu autant que possible proche des 130 000 Dofs. L’écart relatifδΓ sur les couples moyensΓclassique et Γprojection (respectivement des modèles classique et par projection) est calculé de la manière suivante :
δΓ = Γclassique−Γprojection Γclassique
L’écart relatif moyen sur le couple moyen, présenté sur la FIGURE2.13, est d’environ 13% avec un écart-type de 17%. Les écarts sont centrés sur une valeur positive, cela signifie que la mé-thode proposée tend à sous-estimer le couple. Cela est bénéfique lorsque l’on sait que le couple sera certainement utilisé pour une contrainte d’inégalité dans un processus d’optimisation. Si l’on considère la moyenne et l’écart-type, cela signifie que 68% des machines simulées ont un écart relatif inférieur à 30% en valeur absolue. De plus, on peut observer que raffiner le maillage, en passant de 130 000 à 260 000 Dofs, tend à modifier l’histogramme comme on peut le voir sur la FIGURE2.14.
Les écarts importants que l’on observe sur les histogrammes précédents (de l’ordre de 60%) sont explicables par la forte amplitude des variations géométriques représentée sur la FI
-GURE2.15. Lorsqu’aléatoirement les dents statoriques implémentées sont trop fines pour avoir un nombre suffisant d’éléments de maillage sur la largeur, on obtient des écarts importants avec le modèle classique dans lequel le nombre d’éléments par ligne est fixé.
En connaissant la valeur moyenne, l’écart-type et la taille de la population, on peut esti-mer l’intervalle de confiance à 95% de la valeur moyenne. Cet intervalle est représenté sur la FIGURE2.16. Comme prévu, raffiner le maillage tend à réduire l’écart relatif entre les deux mé-thodes en améliorant l’évaluation des discontinuités.
En ce qui concerne la valeurεmmentionnée dans la TABLE2.1, la même analyse statistique peut être effectuée sur l’échantillon de 500 machines, pour 130 000 Dofs et pour 260 000 Dofs.
−40 −20 0 20 40 60 0
20 40
Écart relatif sur le couple moyen (%)
Nombre
de
machines
(%)
FIGURE2.13 – Histogramme des écarts relatifs sur le couple moyen du modèle par projection par rapport au modèle classique pour 500 machines à 130 000 Dofs
−40 −20 0 20 40 60
0 20 40
Écart relatif sur le couple moyen (%)
Nombre
de
machines
(%)
FIGURE2.14 – Histogramme des écarts relatifs sur le couple moyen du modèle par projection par rapport au modèle classique pour 500 machines à 260 000 Dofs
Chapitre 2 : Une modélisation adaptée à la conception des machines tournantes
FIGURE2.15 – Extremum des épaisseurs de dents pour le modèle complet (gauche) et le modèle projeté (droite) 0 5·10−2 0,1 0,15 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Écart relatif moyen sur le couple moyen
Densité
de
probabilité
130 000 Dofs 260 000 Dofs
FIGURE2.16 – Intervalle de confiance sur l’écart relatif moyen sur le couple moyen du modèle par projection par rapport au modèle classique
Pour rappel,εmest défini en (2.34).
εm = Tmaillage,projection
Tmaillage,classique (2.34) Pour 130 000 Dofs, on obtient une moyenne de 0,132 avec un écart-type de 0,003. Pour 260 000 Dofs, la moyenne est de 0,239 avec un écart-type de 0,005. Autrement dit, le temps de maillage peut être presque 10 fois plus rapide avec la méthode de projection qu’avec la méthode traditionnelle, mais ce gain semble diminuer avec l’augmentation du nombre de Dofs. Il faut tout de même noter que le gain de temps représenté parεmest fortement lié à la discrétisation de la géométrie (CAD). L’analyse deεm n’a de sens pour cette géométrie particulière qu’avec notre choix particulier de discrétisation.
D’après tous les résultats précédents, le modèle proposé semble convenir pour un processus d’optimisation 3D de pré-dimensionnement dans le but d’obtenir des tendances. Selon [Rai13], il y a quelques avantages supplémentaires à utiliser un maillage fixe dans un processus d’optimi-sation :
— La génération de maillage peut être difficile ou même échouer pour certaines configura-tions, ce qui ne sera pas le cas ici ;
— Changer le maillage influence l’erreur due à la discrétisation. Par exemple, si des algo-rithmes d’optimisation sont appliqués, la fonction cible sera potentiellement polluée par un bruit d’origine numérique.