Modèles analytiques usuels de la commutation

Le contact électrique, présenté sur la FIGURE3.15, rend cruciale la modélisation du système balai-collecteur des machines à courant continu. Nous aborderons dans cette partie le phénomène de la commutation à travers les modèles analytiques les plus répandus.

FIGURE3.15 – Balai appuyant sur les lames d’un collecteur de démarreur automobile

Pour ce faire, considérons une machine à courant continu classique avecppaires de pôles etN_e encoches. Il est évident que le rotor peut être divisé en2p secteurs chacun composé de Ne

2p encoches alimentées par un courant +I ou −I. Cependant, à l’interface de deux secteurs spatiaux, le courant dans l’encoche correspondante passe soudainement d’une valeur à l’autre grâce au commutateur, comme présenté sur la FIGURE3.19. En d’autres termes, le phénomène de commutation représente l’inversion du signe du courant lorsqu’un balai quitte une lame et arrive sur une autre. C’est ce phénomène qui assure la bonne répartition du courant à chaque instant.

La commutation est généralement considérée comme un point crucial de l’étude sur les ma-chines à collecteurs, car la qualité de la commutation a un impact considérable sur les

mances et la durée de vie du système. C’est pourquoi il est essentiel de modéliser au mieux les phénomènes associés. Les modèles analytiques existants, présentés dans [And13] [Lap07], donnent une bonne approximation du courant d’encoches. Trois modèles sont largement répan-dus et correspondent à trois niveaux d’approximation différents :

• la commutation simple ; • la commutation résistive ; • et la commutation inductive.

Afin de simplifier l’explication, on suppose que l’angle d’ouverture du balai est égal à l’angle d’ouverture de la lame. Un simple enroulement imbriqué est également considéré. Une représen-tation du phénomène de commureprésen-tation est schématisée sur la FIGURE3.19. Dans ce cas, le courant icommute de+Ià−Ien raison du mouvement du balai de la lame 1 vers la lame 2. L’équation générale est présentée en (3.5).

E+r.i(t) +l.^di(t) dt ^{= [I+i(t)].r2−[I−i(t)].r1 (3.5)} 1 2 3 4 + Lames Bobinage Balai 2I I I i I+i I-i

FIGURE3.16 – Schéma d’une commutation en cours

La commutation simple

Ce modèle représente le premier niveau de modélisation. On suppose dans ce cas que l’im-pact des flux et des inductances est négligeable. Seules les résistances de contact sont prises en compte pour les contacts balai-lame 1 et balai-lame 2, respectivementr1 etr2.

[I+i(t)].r2−[I−i(t)].r1= 0

Il est plus pratique de définirr1(t)etr2(t)comme fraction d’une résistance de contactrc, qui représente la résistance totale d’un contact complet balai-lame 1. Ce contact complet équivaut à

Chapitre 3 : Étude du commutateur mécanique

définir une surface de contact complèteS_clorsque le balai est complètement et seulement au-dessus de la lame 1.r1etr2 sont donc des fractions dercqui dépendent des surfaces de contact S₁(t)etS₂(t)dont la somme est égale àS_c, lorsque l’interlame est négligé. L’équation devient alors :

[I+i(t)].r_c. ^Sc

S2(t) ^{−[I−i(t)].rc.} S_c S2(t) ^{= 0}

Selon les hypothèses de ce modèle, le courant lors de la commutation est purement linéaire et sa forme d’onde est présentée en bleu sur la synthèse représentée sur la FIGURE3.17.

i(t) =I. 1−^2.S2(t) S_c =I. 1−^2.t T (3.6) La commutation résistive

Le prochain niveau d’approximation réside dans l’inclusion de la résistance des bobinagesr. L’équation devient alors :

[I+i(t)].r_c. ^Sc

S₂(t)^{−[I−i(t)].rc.} S_c(t)

S₂ ^{+r.i(t) = 0}

Selon les hypothèses de ce modèle, le courant va avoir un point d’inflexion lors de la com-mutation. Il devient pour une vitesse constante :

i(t) =I. ¹⁻ 2.S2(t) Sc 1 +_r^r c.^S2(t) Sc .1−^S2(t) Sc =I. ¹⁻ 2.t T 1 +_r^r c._T^t. 1− t T (3.7)

Sa forme d’onde lors de la commutation est présentée en rouge sur la FIGURE3.17.

La commutation inductive

Dans ce troisième niveau de modélisation, seuls les termes d’enroulement en r et l sont conservés. Nous négligeons les résistances de contact balai-lame pour des raisons de simplifica-tions car les considérer rendraient le modèle bien plus complexe.

l.^di(t)

dt ^{+r.i(t) = 0}

On retrouve ici la décharge d’un circuit RL dont la solution est une exponentielle décroissante classique avec une constante de tempsτ = _r^l. La forme d’onde du courant lors de la commutation est présentée en noir sur la FIGURE3.17.

i(t) =−I∗1−e⁻τ^t

(3.8) Dans ce cas, le courant n’atteint sa valeur finale que siτ est suffisamment inférieur àT, où T est la durée de commutation qui dépend des ouvertures angulaires mais aussi de la vitesse de rotation. Dans le cas contraire, un arc électrique va se former afin d’imposer la valeur finale du courant. Ce modèle nous permet de conclure quant au fait que l’inductance désavantage et perturbe la commutation. Par conséquent, en dynamique l’effet des flux devra être considéré si l’on veut espérer modéliser la commutation.

Temps

Courant

Commutation simple Commutation résistive Commutation inductive

FIGURE3.17 – Forme d’onde des courants d’encoches lors de la commutation

Les trois modèles précédemment présentés permettent d’obtenir rapidement et simplement une tendance des formes d’ondes lors de la commutation. Néanmoins, les hypothèses simplifica-trices dans ce cadre semblent relativement restrictives. Tout d’abord, le courant notéI n’est pas constant aux bornes d’une MCC. Il est soumis à des ondulations qui peuvent être plus ou moins importantes en fonction de la variation de résistance vue par la source. Dans le cadre de cette thèse, la tension délivrée sera considérée comme constante et le courant une simple conséquence de la résistance de la machine vue de la batterie. De plus, le fait de négliger les résistances de contact dans le modèle inductif ne repose que sur une volonté de simplification. En effet, la ré-sistance de contact vue par la source varie de manière inversement proportionnelle à la surface de contact balai-lame. Elle finira donc forcément par rattraper la valeur de la résistance de phase lorsque la surface de contact tendra vers 0. Cependant, il est vrai que considérer une équation différentielle ordinaire à coefficients non constants complexifie la résolution et un exemple sera présenté ultérieurement.