Modélisation éléments finis du système balai-collecteur

La conclusion de la section précédente amène à une piste de réflexion quant à la prise en compte des phénomènes locaux. En effet, la géométrie du système ne peut pas être étudiée en 2D ou 3D avec l’approche usuelle. De plus, les interactions de phénomènes physiques, comme la circulation de courant au contact électrique, sont approximées par la mise en place d’interrup-teurs équivalents. Une formulation variationnelle électrocinétique en potentiel scalaire électrique serait plus appropriée pour observer et étudier ces phénomènes. Néanmoins, il faudrait pour cela développer un modèle éléments finis du système afin d’y implémenter la formulation adéquate. Le point important réside donc dans le choix de la modélisation du système.

Dans [And13], une première modélisation du commutateur mécanique a été réalisée à travers une résolution électrocinétique. L’ensemble balai-lame a été dessiné en 2D puis plusieurs posi-tions ont été simulées en résolution multi-statique. Le but était d’obtenir le signal de commande de l’interrupteur correspondant par la circulation de courant du balai vers la lame de manière multi-statique. Une fois la forme d’onde de conductance extraite et intégrée dans la partie cir-cuit, cela a donné lieu à des simulations magnétiques transitoires comme expliqué dans la partie précédente.

FIGURE3.19 – Modélisation électrocinétique du commutateur présentée dans [And13]

L’objectif du modèle présenté ici est tout autre mais dérive des travaux de [And13], puisqu’il s’agit de conserver la résolution électrocinétique et de l’inclure directement dans la simulation magnétique transitoire par couplage fort des formulations faibles. Ainsi dans le but de simuler la circulation de courant du balai vers la lame de manière transitoire, certaines techniques spé-ciales pour la méthode des EF deviennent nécessaires. La prise en compte du mouvement se fait généralement à l’aide d’une bande de roulement [Dav85]. Cette dernière est placée dans l’en-trefer de la machine et permet de réaffecter les nœuds de part et d’autre de la bande lors de la

Chapitre 3 : Étude du commutateur mécanique

prise en compte du mouvement. Afin que la réaffectation des nœuds ne pose aucun problème, on comprend bien que la région dans laquelle cette bande est placée, ne doit pas être découpée géométriquement. Autrement dit, la bande de roulement est habituellement implémentée dans une zone où les propriétés physiques sont homogènes. En effet, la MEF classique prévoit de dé-couper géométriquement les régions physiquesa minimaselon les hétérogénéités de propriétés physiques et la bande de roulement ne peut, géométriquement, chevaucher ces zones. Cela serait effectivement le cas dans la zone d’interface balai-collecteur où les régions physiques devraient être découpées selon les discontinuités de la conductivité. Cette dernière rendant l’interface hé-térogène, la mise en place d’une bande de roulement semble compromise.

L’utilisation de la méthode hybride de projection permettrait de détourner cette difficulté. La projection d’une fonction, par exemple la conductivitéσ(θ), sur un maillage fixe permettrait d’éviter le découpage problématique en différentes régions. Pour cela, il est nécessaire de consi-dérer une zone d’interface fine dans laquelle sera implémentée la formulation électrocinétique. Cette région finement maillée sert de support pour la mise en place de la méthode de projection hybride développée dans le Chapitre 2. Une fonctionσ(θ) dépendante de l’espace est utilisée pour décrire la conductivité. Dans notre cas, cette fonction peut être vue comme un simple signal carré évoluant entre un maximum de conductivité, correspondant au contact balai-lame, en rouge sur la FIGURE3.20, et un minimum de conductivité, correspondant au contact air-lame, en blanc sur la FIGURE3.20.

Bande de roulement

Lames

Balai

FIGURE3.20 – Principe du modèle proposé pour le commutateur mécanique

Ainsi, lorsque géométriquement un balai se trouve en vis-à-vis d’une lame, la résolution élec-trocinétique, via la conductivitéσ(θ), détermine la circulation du courant du balai vers la lame correspondante. En résumé, l’interface du collecteur est représentée sous la forme d’une région finement maillée dans laquelle une résolution électrocinétique est implémentée. Il est évident que lors de simulations multistatiques, l’utilisation de la méthode de projection hybride n’est pas nécessaire puisque les balais et les lames pourraient être redessinés à chaque étape dans la bonne position. Mais l’intérêt de cette méthode est tout autre ici puisque l’implémentation d’une bande de roulement électrocinétique rend plus aisées les simulations transitoires. Le système complet se modélise à travers deux bandes de roulement : l’une magnétique et l’autre

nétique. Il est évident que la bande de roulement magnétique et la nouvelle bande de roulement électrocinétique sont liées pour suivre le même sens et le même pas de rotation.

Le couplage entre les trois parties du système (magnétique, électrocinétique et circuit) est as-suré par des contraintes de description de circuit mais aussi directement par la formulation faible. Les inconnues du modèle circuit ainsi que le potentiel scalaire électrique sont fortement couplés grâce à la formulation faible, dérivée du système (S₁) présenté dans le paragraphe 2.1.2.3. Il s’agit d’ajouter la formulation électrocinétique pour obtenir le nouveau système (S₁⁰) présenté en (3.9) (S₁⁰)                                                    Z Z Z Ω νrot a·rot a⁰ dΩ− Z Z Z Ωm νb_r·rot a⁰ dΩ_m − Z Z Z Ωs X k NtI ! ·a⁰ dΩ_s= 0 [U] = [R].[I] + [E] ek = Z Z Z Ωk da dt ^·NtdΩk Z Z Z Ωinterf ace

σ(θ)grad v_b·grad v⁰_b dΩ_{interf ace}

− Z Z Z Ωinterf ace X k N_tI ! ·n v⁰_b dΩ_{interf ace} = 0 (3.9)

avec σ(θ) la fonction conductivité projetée, Ω_{interf ace} le domaine d’interface du système balai-collecteur etv_b le potentiel scalaire électrique. En conclusion, lorsqu’une lame se trouve dans une zone de forte conductivité via la bande de roulement, le modèle permet la circulation du courant des balais vers les lames correspondantes. En d’autres termes, chaque lame peut être considérée comme un interrupteur avec une forme d’onde de conduction correspondant à l’ap-proche classique vue précédemment. Les deux méthodes semblent donc équivalentes en première approximation mais cela sera vérifiée ultérieurement.

Une question est restée en suspens. La résolution électrocinétique est permise par l’introduc-tion de la zone d’interface du collecteur. Cette zone restant relativement "fictive", son épaisseur doit être calculée de manière à ne pas parasiter le système. Pour cela, il faut prendre en compte la résistance de contact balai-lame. Dans la partie 3.1.3, il a été convenu que la résistance de contact n’est pas constante mais qu’elle serait implémentée comme telle en première approxi-mation. Cette valeur de résistanceRest associée à la zone de conductivité que le courant traverse à l’interface par la formule usuelle suivante :

R= l σ ^∗

1 S

La conductivitéσdoit être correctement calculée afin d’obtenir la résistance de contact ex-périmentale. En considérantRet la sectionSconstantes, cela fixe le rapport de la longueur sur la conductivité, comme on peut le voir dans 3.10. L’épaisseurldu domaine d’interface est donc déterminée de cette manière.

l

σ ^{=RS=cte (3.10)}

Chapitre 3 : Étude du commutateur mécanique

— la prise en compte de la géométrie du système. En effet, grâce à la méthode des éléments finis, il est possible de dessiner entièrement le collecteur en 3D en couplant par exemple avec un modèle magnétique 2D (ou inversement). Cela permet un processus d’optimi-sation complet incluant la géométrie des machines à courant continu et la géométrie du collecteur ;

— la prise en compte d’interactions de phénomènes physiques. La résolution électrocinétique et l’introduction d’une fonction projetée permettent de prendre en compte des phénomènes locaux et multiphysiques.