2.2.1 Notions sur la méthode des éléments finis
Dans la méthode des éléments finis utilisée de manière usuelle, chaque partie élémentaire de la géométrie initiale est implémentée dans un logiciel par CAO. Cette discrétisation, a mi-nimapar matériaux, va servir de support pour construire un maillage adapté dans lequel toutes les frontières supportent les nœuds, les arêtes voire les faces en 3D. Les propriétés physiques de tous les matériaux sont définies sur la base de ce maillage. Par conséquent, les éléments finis permettent de rendre compte du système réel dans lequel les propriétés physiques macro-scopiques sont bel et bien discontinues. À titre d’exemple, si nous considérons la réluctivitéν, nous pouvons justement la décrire comme une fonction continue par morceaux définie comme νi avecicorrespondant aux différentes régions matériellesΩi. Le même constat peut également s’appliquer aux sources de champs magnétiques, densité de courant jou induction rémanente des aimantsbr, dans les problèmes usuels de l’électrotechnique. Cela est appliqué au cas d’une machine synchrone à aimants permanents en surface (MSAP) représentée sur la FIGURE2.4.
Discrétisation selon les propriétés
physiques
FIGURE2.4 – Utilisation usuelle de la méthode des éléments finis
La formulation faible est appliquée à l’ensemble du domaine en utilisant toutes les proprié-tés physiques et sources continues par morceaux comme expliqué dans [Bas13]. Par exemple,
Chapitre 2 : Une modélisation adaptée à la conception des machines tournantes
l’étude d’une machine synchrone à aimants permanents peut s’appuyer sur la formulation faible en potentiel vecteur (2.32) qui n’est qu’un cas spécifique de l’équation (2.11). Cela se résume à trouveratel que∀a0 ∈H0(rot,Ω),
X
k
Z Z Z
Ωk
νk(krot ak)rot a·rot a0dΩk
−X l Z Z Z Ωl νl(krot ak)brl·rot a0dΩl −X m Z Z Z Ωm jm·a0dΩm = 0 (2.32)
OùΩest le domaine complet (∪iΩi),Ωlles domaines magnétiques etΩkles domaines sources. La formulation faible est fortement liée à la discrétisation spatiale de la géométrie initiale. Cer-tains processus itératifs comme la modélisation du mouvement ou les problèmes d’optimisation nécessitent de modifier la géométrie et par conséquent le support des propriétés physiques uti-lisées dans la formulation faible. Les processus itératifs nécessitant un grand nombre de résolu-tions, toutes ces réévaluations du prétraitement représentent une perte de temps non négligeable, et bien entendu cela est encore plus marqué lorsqu’on aborde la 3D.
2.2.2 Principe d’un modèle sans remaillage
Dans la littérature, il existe plusieurs méthodes afin d’éviter l’étape de déconstruction et de reconstruction de la géométrie lors de la prise en compte d’un mouvement de rotation, les plus connues étant la bande de roulement et la surface de glissement. Ces méthodes sont très efficaces et permettent un gain de temps important. Néanmoins, lors du passage à la 3D, ces méthodes sont souvent lourdes à mettre en place et peu de logiciels les ont implémentées à l’heure actuelle. De plus, dans le cas de processus d’optimisation paramétrique, il n’existe que peu de méthodes pour réduire le temps de chaque évaluation [Fon07]. La méthode proposée dans cette thèse a été développée suite à une réflexion sur l’implémentation des propriétés physiques des matériaux en éléments finis. Comme évoqué précédemment, les systèmes macroscopiques sont discontinus et la MEF permet de rendre compte de ces discontinuités à travers un découpage géométrique des frontières des matériaux. L’idée est de rendre continue dans le logiciel les discontinuités du système réel et d’utiliser les interpolations linéaires des éléments à la base de la MEF afin de définir les frontières.
Autrement dit, les propriétés physiques nécessaires à la résolution du problème seront défi-nies comme des fonctions continues par morceaux. Ces fonctions seront ensuite projetées sur un maillage fixe pour représenter la géométrie. L’étape de projection induira une certaine impréci-sion par le fait que les arêtes et nœuds ne correspondent plus aux frontières des matériaux. Les imprécisions générées seront étudiées et quantifiées. En pratique, la première étape consiste à définir uniquement les frontières extérieures du système à étudier. En se basant sur ces bords de domaine, un maillage fixe peut être créé et utilisé comme support pour les fonctions définissant les propriétés physiques. Les propriétés physiques ne sont plus implémentées dans des régions discrètes, comme on le voit sur la FIGURE2.4. Elles sont projetées sur l’ensemble du domaine maillé en utilisant nos fonctions continues par morceaux dépendantes des coordonnées spatiales comme présentées sur la FIGURE2.5. L’ensemble de la géométrie et de l’alimentation peut être
défini grâce à cette méthode. Par exemple, dans le cas d’une MSAP, une propriété physique ν(x(t), y(t), z(t),kbk), et deux sourcesbr(x(t), y(t), z(t))etj(x(t), y(t), z(t)), représentant respectivement la reluctivité, l’induction rémanente et la densité de courant, sont nécessaires pour décrire le système complet en magnétostatique.
br(x(t),y(t),z(t))
j(x(t),y(t),z(t)) ν(║b║,x(t),y(t),z(t))
FIGURE2.5 – Principe de la méthode de projection
En résumé, nous pouvons donc nous attendre aux avantages suivants :
— l’étape de maillage n’est exécutée qu’une seule fois pour toutes les itérationsN biterations de tout processus itératif ;
— le maillage est plus facile à construire et plus régulier. En effet, l’étape de maillage d’un disque simple est moins complexe que le maillage des nombreux sous-domaines d’une MSAP habituelle. Le gain de temps sera représenté par un coefficientεm(∈]0; 1]) dans la suite. Évidemment le gain de temps dépend du type de maillage (libre ou structuré) ; — le processus itératif de résolution non linéaire (méthode de Newton-Raphson par exemple)
est mieux initialisé. En effet, comme le maillage reste inchangé, la solution de l’instantn peut facilement être utilisée comme initialisation de l’instantn+ 1.
Les gains de temps théoriques de la méthode proposée à nombre d’inconnues constant sont présentés dans TABLE2.1.
Notre méthode respecte mathématiquement la forme faible habituelle d’un problème de ma-gnétostatique en utilisant une formulation en potentiel vecteur magnétiqueaprésentée en (2.33). La méthode proposée n’étant, bien entendu, pas restreinte à ce cadre. Cela se résume à trouvera
Chapitre 2 : Une modélisation adaptée à la conception des machines tournantes
Méthode classique Méthode de projection Problème linéaire
Temps de maillage 1 εm∗1/N biteration
Temps de résolution 1 1
Problème non linéaire
Temps de maillage 1 εm∗1/N biteration
Temps de résolution 1 1/2
TABLE2.1 – Gain de temps théorique
tel que∀a0 ∈H0(rot,Ω),
Z
Ω
ν(x(t), y(t), z(t),krot ak)rot a·rot a0dΩ
−
Z
Ω
ν(x(t), y(t), z(t),krot ak)br(x(t), y(t), z(t))·rot a0dΩ
−
Z
Ω
j(x(t), y(t), z(t))·a0dΩ = 0 (2.33)
2.2.3 Inconvénient de la méthode de projection
L’inconvénient majeur de la méthode proposée réside dans l’évaluation approximative des frontières entre matériaux. La discrétisation de la géométrie dans la MEF classique permet aux arêtes du maillage d’être superposées aux sauts de propriétés physiques. Prenons un exemple électrotechnique : l’entrefer est une région cruciale pour les machines tournantes dont une faible variation d’épaisseur affectera l’ensemble des variables globales et locales. Il est primordial que l’épaisseur d’entrefer soit parfaitement implémentée dans le modèle. Le fait est que pour éviter le remaillage, la discrétisation spatiale est remplacée par la projection des propriétés physiques sur un maillage fixe. Dans ces conditions, le maillage n’est plus parfaitement accordé à la géométrie et, par conséquent, il devient difficile de mettre en place des frontières claires et précises. Dans la méthode proposée, dans chaque élément traversé par une discontinuité, cette dernière est définie par interpolation linéaire nodale. Cette situation conduit à des frontières non régulières comme on peut le voir sur la FIGURE2.6. Cette interpolation nodale peut entraîner une déviation de la frontière de la taille d’un élément. Il est intéressant de souligner le fait qu’un maillage structuré fournit des limites plus régulières comme on peut le voir sur la FIGURE2.7, l’interpolation li-néaire nodale étant toujours présente. La montée en ordre sur les éléments de maillage et/ou sur les espaces fonctionnels servant de support à la formulation faible ne permettent pas non plus de s’affranchir de l’interpolation linéaire dans le logiciel Onelab. En effet, cette montée en ordre impactera les inconnues du problème mais les propriétés physiques, quant à elles, continueront à être évaluées sur les nœuds puis interpolées le long des arêtes.
Une première solution pour diminuer l’impact de l’interpolation linéaire nodale serait de ré-duire la taille des éléments pour s’approcher au mieux de la frontière réelle. Autrement dit, un
Domaine 1 Domaine 2 Frontière réelle Interpolation linéaire nodale
FIGURE2.6 – Interpolation linéaire nodale de la frontière entre matériaux.
Domaine 1 Domaine 2 Frontière réelle Interpolation linéaire nodale
Chapitre 2 : Une modélisation adaptée à la conception des machines tournantes
maillage suffisamment fin pourrait être implémenté afin que l’écart dû à l’interpolation linéaire des propriétés physiques soit négligeable devant les dimensions caractéristiques du système. Néanmoins, l’adaptation de l’intégralité du maillage à la taille du plus petit élément est quelque peu un non-sens et aboutira à un temps CPU plus élevé que la méthode usuelle en raison du nombre élevé d’inconnues (Dofs). Une solution moins naïve consiste à s’inspirer des discrétisa-tions classiques dans le but d’adapter la grille de maillage. Ainsi, définir quelques discrétisadiscrétisa-tions spatiales, autres que les frontières extérieures, permettrait d’avoir un minimum de contrôle sur le maillage. Ces éléments géométriques fictifs (points et lignes) ne sont pas implémentés dans le but de décrire la géométrie réelle mais peuvent être placés là où les utilisateurs veulent définir un maillage fin comme on peut le voir sur la FIGURE2.8. Pour reprendre l’exemple précédent, la frontière au niveau de l’entrefer d’une MSAP est clairement importante, de sorte que le maillage doit être contrôlé.A contrarioune imprécision au niveau de la frontière extérieure de la culasse n’aura vraisemblablement pas un impact important sur les performances (hors cas particulier de saturation excessive) et l’interpolation nodale est acceptable à ces endroits.
Domaine 1 Domaine 2 Frontière réelle Interpolation linéaire nodale
FIGURE2.8 – Interpolation linéaire nodale avec un maillage contrôlé
En résumé, la méthode de projection permet de s’affranchir de la discrétisation géométrique mais induit par ce fait une déviation au niveau des frontières des matériaux. La méthode de projection rend continu, par interpolation linéaire nodale des propriétés physiques, un système en réalité discontinu. Cet inconvénient ne peut qu’être atténué par une expertise et un contrôle sur la construction du maillage.