3.5
Validation exp´erimentale
Pour valider le principe de l’imagerie passive de sources de bruit localis´ees, nous connectons des amplificateurs distincts, poss´edants une temp´erature de bruit ´elev´ee et termin´es par des charges de 50Ω, sur des antennes cornet pour ´emuler des sources de bruit thermique. Les an- tennes ´emettent donc des signaux de bruit ind´ependants g´en´er´es par les amplificateurs. Les signaux s1(t) et s2(t) aux ports sont convertis vers la bande de fr´equence [0-4] GHz `a l’aide
d’un m´elangeur et un oscillateur local dont la fr´equence est fix´ee `a 8 GHz. Pour rester en coh´erence de phase, l’OL utilis´e est commun entre les deux voies de r´eception. Ces signaux sont ensuite enregistr´es, sans amplification, avec un oscilloscope num´erique ultra-rapide11
avec une bande passante de 6 GHz et une fr´equence d’´echantillonnage de 10 GS/s.
L’´equation (3.16) est r´esolue en utilisant la r´egularisation de Tikhonov. Comme ´etudier dans le chapitre 1, c’est le cas de la norme l2, qui elle est connue pour am´eliorer le condi-
tionnement du probl`eme tout en fournissant une solution num´erique directe. Les r´esultats sont pr´esent´es `a la figure 3.11 pour une seule source et ensuite deux sources.
Fig 3.11: Reconstitution d’une (a) et de deux (b) sources de bruit `a une distance F = 50 cm de l’ouverture de la cavit´e.
Les images radar obtenues r´ev`elent clairement la capacit´e du syst`eme `a distinguer une cible et/ou deux cibles en utilisant un seul signal r´esultat de la corr´elation entres les signaux enregistr´es sur les deux ports de mesure attach´es `a la cavit´e.
La r´esolution δa est d´etermin´ee par l’ouverture de la cavit´e D. Comme dans l’imagerie radar `a synth`ese d’ouverture, elle peut ˆetre estim´ee par δa = λminF/D , o`u λmin est la longueur d’onde et F est la distance de l’ouverture de la cavit´e `a la cible. Pour F = 0, 5 m, cela donne δa= 0.05 m, ce qui est en accord avec la r´esolution obtenue exp´erimentalement.
3.5. VALIDATION EXP´ERIMENTALE
Fig 3.12: Amplitude normalis´ee trouv´ee `a partir de la solution de l’´equation 3.16 dans le plan de la source thermique pour diff´erentes distances focales F . (b) La r´esolution trouv´ee `
a partir de la demi-largeur des courbes montr´ees en (a) est trac´ee en fonction de F .
Pour explorer la r´esolution, nous reconstruisons une source ponctuelle. Dans la figure 3.12(gauche), la reconstruction dans le plan de la source est montr´ee pour diff´erentes dis- tances focales F. La largeur du lobe principal augmente avec F. La r´esolution en fonction F est montr´ee dans la figure 3.12(droite). Il est en bon accord avec la formule th´eorique donn´ee par λminF/D. Nous explorons ensuite le rapport signal `a bruit (SNR) en fonction du nombre M de fr´equences utilis´ees pour reconstruire l’image.
Fig 3.13: (gauche) SNR en fonction du nombre M de fr´equences utilis´ees pour reconstruire l’image. Les cercles sont des mesures, et la ligne rouge montre la d´ependance `a la √M
(droite) SNR en fonction du temps d’int´egration de la corr´elation crois´ee. Les r´esultats exp´erimentaux, points bleus, sont compar´es avec l’augmentation en √T .
Comme pour le ”Ghost Imaging” [153, 154] ou le Retournement temporel [26], ´etudi´es dans le chapitre 1, le SNR est vu dans la figure 3.13 comme la racine carr´ee du nombre d’illuminations al´eatoires, √M , pour M < Nω (On rappelle que Nω = 1137). Le SNR est satur´e pour M > Nω puisque les mod`eles de speckle deviennent l´eg`erement corr´el´es. La qualit´e de la reconstruction augmente ´egalement avec √T , o`u T est le temps d’int´egration de la corr´elation crois´ee, et atteint un plateau pour T ∼ 100 µs en cons´equence du nombre limit´e de degr´es de libert´e qui donnent le SNR maximum.
3.5. VALIDATION EXP´ERIMENTALE
Pour am´eliorer davantage le SNR, une autre strat´egie consiste `a tirer parti du caract`ere parcimonieux inh´erent de la plupart des sc`enes naturelles `a imager. En effet, les sources sont g´en´eralement situ´ees dans une zone particuli`ere, dans des directions bien sp´ecifiques. Comme d´ej`a montr´e dans les chapitres pr´ec´edents, un moyen pratique de favoriser des solutions parci- monieuses est d’utiliser un r´egularisateur l1-norm, kxk1, tel qu’il est maintenant largement
utilis´e depuis les travaux fondateurs de Donoho, Cand`es, Tao et Romberg [23, 155, 156]. Ils ont d´emontr´e qu’une reconstruction parfaite peut ˆetre r´ealis´ee avec une probabilit´e ´elev´ee `a partir d’un petit nombre de mesures lorsque la matrice de d´etection A est une matrice al´ea- toire avec des ´el´ements tir´es d’une distribution gaussienne. Dans le cadre de la d´etection par compression avec une cavit´e chaotique, cela signifie qu’une sc`ene sparse peut ˆetre correcte- ment imag´ee `a partir de la mesure de C12(ω) sur seulement un petit nombre de fr´equences
en utilisant la minimisation l1.
Dans la figure 3.14(a), nous pr´esentons la reconstruction des deux sources `a l’aide de cette r´egularisation qui favorise la solution parcimonieuse. Les sources apparaissent `a deux pixels en accord avec le r´esultat de la r´egularisation de Tikhonov.
Fig 3.14: (a) Reconstitution de deux sources de bruit en r´esolvant l’´equation (3.17) `a l’aide d’une approche de reconstruction favorisant la solution sparse (r´egularisation l1). (b) Prob-
abilit´e de r´eussite entre 0 et 1 pour K sources de bruit (K entre 1 et 10) pour N = 676 pixels. L’´echelle indique le pourcentage de reconstitution r´eussie `a partir de M mesures de la sc`ene sparse. Une reconstruction parfaite de la sc`ene est obtenue dans la r´egion blanche.
Dans la figure 3.14(b), nous montrons la probabilit´e de r´eussite d’une reconstruction sur 20 exp´eriences en fonction du nombre de sources K et du nombre de fr´equences M choisies au hasard dans l’ensemble des fr´equences ind´ependantes Nω. Pour ce faire, nous enregistrons d’abord individuellement la corr´elation crois´ee pour 16 positions de l’antenne cornet. C12(ω)
pour un K donn´e est ensuite calcul´e de mani`ere synth´etique en additionnant K signaux. La solution de l’´equation (3.17) avec le r´egularisateur de la norme l1 est compar´ee `a l’image de
r´ef´erence trouv´ee pour M = Nω. La reconstruction est suppos´ee r´eussie lorsque le coeffi- cient de corr´elation entre l’image reconstruite et l’image de r´ef´erence de N = 676 pixels est sup´erieur `a 0.8.
On observe une transition brutale entre une reconstruction r´eussie et une reconstruction insatisfaisante. Cette transition rappelle la transition de phase introduite par Donoho et Tanner dans la d´etection par compression [157]. Lorsque les entr´ees de la matrice de d´e- tection A sont des variables statistiquement ind´ependantes avec une distribution gaussienne
3.5. VALIDATION EXP´ERIMENTALE
identique, une reconstruction parfaite `a partir de mesures sous-´echantillonn´ees peut en effet ˆ
etre r´ealis´ee avec seulement des mesures O(Klog(N/K)), o`u K est le nombre de coefficients non nuls dans une base donn´ee. Pour K = 12, la transition se trouve exp´erimentalement `a
M ∼ 400, ce qui est plus ´elev´e que le niveau th´eorique. Nous expliquons cette augmentation par les erreurs inh´erentes `a la construction de la matrice de d´etection A `a partir du scan du champ proche de l’ouverture. En effet, des simulations avec une exacte connaissance de
A donnant une correspondance parfaite de Ax et C12 conduit `a une transition `a M ∼ 100
comme pr´evu en th´eorie.
Enfin, pour prouver la capacit´e de notre syst`eme `a imager des radiations thermiques ´eten- dues, nous utilisons deux lampes fluorescentes (LFs) du commerce (60 cm de long) comme sources thermiques situ´ees `a une distance F = 0, 4 m de l’ouverture de la cavit´e. Les LFs sont connues pour se comporter comme une source de bruit micro-ondes large bande [1] avec une temp´erature qui correspond approximativement `a la temp´erature des ´electrons de la d´echarge gazeuse [158, 159]. Cette temp´erature est beaucoup plus ´elev´ee que la temp´erature ambiante dans une pi`ece standard. Ces sources thermiques sont principalement polaris´ees perpendiculairement `a leur axe. Les LFs qui sont allum´ees se comportent en effet comme des r´eflecteurs m´etalliques pour une onde incidente polaris´ee le long de leur axe [160]. Ceci est confirm´e en mesurant l’intensit´e transmise et r´efl´echie par quatre LFs verticaux activ´es et d´esactiv´es pour les deux polarisations. La loi de Kirchhoff sur les rayonnements thermiques stipule que le l’´emissivit´e d’un objet est ´egale `a son absorptivit´e α. Nous estimons exp´eri- mentalement, en mesurant les coefficients de transmission et de r´eflection `a travers un r´eseau de LFs, ∼ 0.2 et ∼ 0.75 pour les polarisations verticales et horizontales, respectivement.
Nous visons d’abord l’image de quatre LFs regroup´ees qui sont positionn´ees verticalement le long de l’axe des y. Le rayonnement thermique des lampes arrive jusqu’`a la cavit´e.
Fig 3.15: Photographie de la sc`ene constitu´ee de quatres LFs ´emettant du bruit thermique polaris´ee dans l’axe transverse. La reconstruction se fait par la m´ethode de retournement temporel et d’inversion par SVD de la matrice de d´etection.
En sortie des deux ports de mesure, les signaux sont amplifi´es par deux amplificateurs faible bruit(LNA - Low Noise Amplifier) avec un gain th´eorique de 51 dB dans la gamme de fr´equences [8 − 12] GHz et une temp´erature ´equivalente de 67 K. Comme le bruit ´emis par les LNA est ´egalement rayonn´e par les ports `a l’int´erieur de la cavit´e, cela donne une contribution coh´erente `a la fonction de corr´elation crois´ee finale. `A l’heure actuelle de la r´edaction, des circulateurs ont ´et´e achet´es pour r´esoudre ce probl`eme. Mais sans circulateur, nous att´enuons cette contribution en soustrayant la corr´elation crois´ee du bruit en l’absence des LFs. Les signaux amplifi´es, sont ramen´es en bande de base par un oscillateur local (OL) et ensuite enregistr´es avec l’oscilloscope num´erique.
3.5. VALIDATION EXP´ERIMENTALE
Fig 3.16: Photographie de la sc`ene constitu´ee de deux LFs ´emettant du bruit thermique polaris´e verticalement. La reconstruction se fait par la m´ethode de retournement temporel et d’inversion par SVD de la matrice de d´etection.
Nous r´esolvons l’´equation (3.16) avec une matrice de d´etection correspondant succes- sivement aux polarisations horizontale et verticale. Comme on peut le voir ais´ement sur les figures 3.15 et 3.16, le syst`eme est bien capable de reconstruire l’´emission de la source thermique.
Fig 3.17: Reconstruction en r´ealisant la r´egularisation de la norme l1avec l’algorithme SPGL1
de la sc`ene constitu´ee de lampes fluorescentes positionn´ees en verticale et horizontale.
La figure 3.17 est le r´esultat de la reconstruction lorsque l’algorithme it´eratif SPGL1 est utilis´e pour reconstruire la sc`ene. Bien que des art´efacts soient pr´esents, la reconstruction permet de distinguer le rayonnement de la source thermique dans les deux polarisations. Il est clair que lors de la phase de traitement des donn´ees, des erreurs sont introduites associ´ees `
a celles introduites lors de la mesure de la matrice de d´etection. Un moyen d’am´eliorer la reconstruction serait d’augmenter le nombre de degr´e de libert´e spatiaux (ici ´egal `a 1) en augmentant le nombre de ports de mesure attach´es `a la cavit´e. Toutefois, il faut s’attendre `
a voir ´egalement le facteur de qualit´e et Nω baisser.
Nous visons ensuite l’image de deux LFs positionn´ees verticalement le long de l’axe des
3.5. VALIDATION EXP´ERIMENTALE
Fig 3.18: Photographie des sc`enes `a imager. Deux lampes fluorescentes espac´ees de 11 cm. Le syst`eme passif est constitu´e de la cavit´e chaotique et d’un oscilloscope num´erique.
La reconstruction de deux LFs verticaux `a partir de la matrice de d´etection `a polarisation horizontale est illustr´ee `a la figure 3.19(a) pour un temps d’int´egration de T = 1 ms. La reconstruction se fait uniquement en r´ealisant la r´egularisation de la norme l1.
Fig 3.19: Reconstitution des radiations thermiques provenant de sources de bruit ´etendues `
a large bande, deux lampes fluorescentes droites espac´ees de 11 cm et situ´ees `a une distance
F = 0, 5 m de l’ouverture de la cavit´e. En (a) les tubes sont positionn´es le long de l’axe des y et l’image est calcul´ee `a partir de la polarisation horizontale. En (b) les tubes sont positionn´es le long de l’axe des x et l’image est calcul´ee `a partir de la polarisation verticale. En (c) et (d) Les tubes sont positionn´es le long de l’axe des x et l’image est calcul´ee `a partir des polarisations horizontale (c) et verticale (d).
Les deux LFs apparaissent clairement au positions horizontales 0.07 m et 0.018 m; on retrouve bien l’´ecart entre les deux lampes. En revanche, dans la figure 3.19(b), l’utilisation