Radiom` etre ` a synth` ese d’ouverture interf´ erom´ etrique

Le radiom`etre `a synth`ese d’ouverture interf´erom´etrique marque une rupture avec les sys- t`emes radiom´etriques d´ecrits plus haut. Pour des besoins d’imagerie, on parlera d’imagerie passive interf´erom´etrique. Le radiom`etre `a synth`ese d’ouverture interf´erom´etrique est bas´e sur l’inter-corr´elation5 des signaux re¸cus sur un r´eseau d’antennes.

Fig 3.4: Sch´ema g´eom´etrique fonctionnel 2D pour l’imagerie avec radiom`etre `a synth`ese d’ouverture [80]

L’inter-corr´elation ici ne fournit pas directement une tension proportionnelle `a la tem- p´erature de brillance de la sc`ene observ´ee mais une mesure de la coh´erence spatiale ou encore un fonction de visibilit´e de cette sc`ene, `a partir de laquelle la temp´erature de brillance TB est estim´ee dans un deuxi`eme temps [140, 141]. Comme vu dans le chapitre 1, cette tech- nique permet d’am´eliorer la r´esolution en synth´etisant un large r´eseau virtuel. Pour r´ealiser l’imagerie passive, les signaux collect´es par les antennes sont corr´el´es deux-`a-deux afin de mesurer des ´echantillons de la fonction de visibilit´e (spectre de l’image de la sc`ene).

3.3.3.1 Le th´eor`eme de Van Cittert-Zernike

Le principe d’un syst`eme d’imagerie `a synth`ese d’ouverture interf´erom´etrique est illustr´e sur la figure 3.4. On consid`ere deux antennes, Ak et Al observant la mˆeme sc`ene. Le th´eor`eme de Van Cittert-Zernike [142] d´emontre que la corr´elation des signaux re¸cus par ces deux antennes fournit un degr´e de coh´erence spatiale (visibilit´e) de la sc`ene observ´ee `a la

3.3. DIFF´ERENTES ARCHITECTURES

fr´equence spatiale d´etermin´ee par la distance entre les antennes. Ce th´eor`eme relie donc la visibilit´e6 Vkl(ukl, vkl) associ´ee au couple d’antenne Ak et Al `a la distribution spatiale d’intensit´e TB de la mani`ere suivante :

Vkl(ukl, vkl) = 1 √ ΩkΩl ZZ √ ξ2_+η2_≤1 TB_√ (ξ, η) − Tr 1 − ξ2_{− η}2Fk(ξ, η)F ∗ l (ξ, η)˜rkl(ξ, η)e−2π(uξ+vη)dξdη (3.7) o`u :

- le couple (ukl, vkl) = (xk − xl, yk − yl)/λ repr´esente la fr´equence spatiale angulaire (Ligne de base) d´efinie par la distance entre les antennes.

- (ξ, η) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ) sont les cosinus directeurs d´efinis sur les axes x et y

- TB(ξ, η) est la temp´erature de brillance du diffuseur et Tr est la temp´erature physique des r´ecepteurs.

- Fi(ξ, η) est le diagramme de rayonnement normalis´e(ou fonction de gain) de l’antenne

i et Ωi est son angle solide.

- La fonction ˜rkl(ξ, η) correspond au ph´enom`ene de fringe-washing li´ee `a d´ecorr´elation spatiale entre les deux chaˆınes de r´eception, pour les r´ecepteurs `a large bande. C’est un coefficient, dont le module est inf´erieur `a 1, qui vient att´enuer l’amplitude du signal mesur´e en d´egradant le rapport signal sur bruit [143, 144]. Des d´etails sur la fonction fringe-washing et son ´etalonnage sont donn´es dans la r´ef´erence [145].

L’´equation (3.7) est la forme la plus g´en´erale de cette expression car elle fait intervenir les caract´eristiques instrumentales mˆeme si la polarisation du champ est ignor´ee.

3.3.3.2 Reconstruction d’image

La temp´erature de brillance de la sc`ene peut ˆetre discr´etis´ee en un ensemble de pixels espac´es `

a intervalles r´eguliers. On d´efinit un op´erateur de mod´elisation G qui relie l’espace E des temp´eratures de brillance vers F celui des visibilit´es complexes de la sc`ene observ´ee tel que [141]:

G : E −→ F

T 7−→ GT = V (3.8)

Pour chaque fr´equence spatiale q = (ukl, vkl) associ´ee `a une paire d’antenne Ak et Al et pour chaque pixel p = (ξp, ηp) de la sc`ene, la matrice G se construit en utilisant la relation suivante : G(p, q) = Fk(ξp, ηp)F ∗ l(ξp, ηp) q 1 − ξ2 p − ηp2 ˜ rkl(ξp, ηp)e−2π(uξ+vη)δξδη (3.9) 6_V

3.3. DIFF´ERENTES ARCHITECTURES

Le nombre de pixels qui ´echantillonne la carte de temp´erature de la sc`ene doit ˆetre choisi de telle sorte que le crit`ere de Shannon soit satisfait et que la quadrature num´erique7 soit suffisamment pr´ecise [146, 141]. La reconstruction de la temp´erature de brillance demande la r´esolution du probl`eme lin´eaire suivant :

V = GT (3.10)

Comme le syst`eme poss`ede bande passante limit´ee et du fait du crit`ere de Shannon, le nombre de pixels `a reconstruire est usuellement sup´erieur au nombre de visibilit´es mesur´ees. Ainsi la matrice G n’est pas inversible et plusieurs solutions existent pour T . Le probl`eme est alors mal-pos´e et doit ˆetre r´egularis´e pour fournir une solution unique et stable de T [146, 147, 148]. La r´esolution de ce probl`eme est la mˆeme que celle ´etudi´e dans les chapitres pr´ec´edents.

3.3.3.3 Quelques syst`emes radiom´etriques

Nous avons vu que la synth`ese d’ouverture est un moyen efficace pour am´eliorer la r´esolution spatiale dans les radiom`etres micro-ondes. Diff´erentes fr´equences spatiales sont ´echantillon- n´ees `a partir de la corr´elation crois´ee des signaux enregistr´es sur des paires d’antennes avec des s´eparations diff´erentes. Toutes les fr´equences spatiales ´echantillonn´ees peuvent ensuite ˆ

etre invers´ees pour estimer la distribution de la brillance originale d’une sc`ene.

Les syst`emes d’imagerie utilisant le principe de la synth`ese d’ouverture interf´erom´etrique sont bas´es le plus souvent sur une architecture multi-chaines. En effet `a chaque antenne est associ´ee une chaˆıne de r´eception8 RF ind´ependante des autres chaˆınes, rendant possible un traitement simultan´e des signaux re¸cus; et donc de produire une image temps-r´eel. La r´esolution spatiale de l’image ´etant li´ee au nombre d’antenne du r´ecepteur, son am´elioration reviendrait `a augmenter le nombre d’antennes. L’architecture du r´ecepteur peut rapidement devenir probl´ematique pour l’ensemble du syst`eme pour un grand r´eseau d’antennes, et le coˆut total devenant un gros inconv´enient pour des applications li´ees `a la s´ecurit´e des person- nes dans des lieux publics fr´equent´es. En mˆeme temps pour un tel syst`eme, plus le nombre de canaux augmente, plus le facteur de bruit du r´ecepteur augmente et moins bonne est la sensibilit´e radiom´etrique [140, 149].

Des architectures ont alors ´et´e propos´ees pour r´eduire le coˆut des radiom`etres `a synth`ese d’ouverture interf´erom´etrique. Les premi`eres configurations propos´ees pr´esentent des r´eseaux d’antennes `a redondance minimale. L’id´ee est d’´eviter que les corr´elations entre plusieurs couples d’antennes pr´esentent la mˆeme visibilit´e (redondance). Pour cela il faut disposer in- telligemment les N antennes composant le premier ´etage du r´ecepteur afin d’obtenir un r´eseau non redondant permettant de mesurer le plus grand nombre de visibilit´e avec une haute r´e- solution spatiale. Le nombre de visibilit´e fourni par le radiom`etre est ´egal `a N (N − 1)/2. Parmi les configurations les plus utilis´ees, sont le maillage restangulaire ou hexagonal et sont bas´ees sur des r´eseaux en forme de U, T et Y. Un r´eseau en forme de U a ´et´e adopt´e pour l’imagerie de la Terre dans le syst`eme a´eroport´e HUT-2D [150] et un r´eseau en forme de Y est utilis´e pour construire le prototype GeoSTAR pr´esent´e dans la r´ef´erence [151]. Ces r´eseaux sont int´eressants dans les syst`emes d’imagerie car ils ´echantillonnent toutes les fr´equences spatiales `a travers une ouverture avec un nombre minimum de r´ecepteurs.

7_{La quadrature se r´ef`ere `a toute m´ethode d’approximation num´erique de la valeur d’une int´egrale d´efinie.}

L’objectif est d’atteindre un niveau de pr´ecision donn´e avec le moins d’´evaluations de fonctions possibles.

3.3. DIFF´ERENTES ARCHITECTURES

Une seconde solution, compl´ementaire, pour minimiser le nombre de voie RF n´ecessaire `

a assurer une acquisition des visibilit´es tout en maintenant une bonne r´esolution spatiale de l’image de temp´erature est d’utiliser des commutateurs. Le processus de commutation peut ˆ

etre adopt´e dans ce cas en utilisant deux canaux de r´eception et une matrice de commutation [N × 2] (N entr´ees vers 2 sorties), o`u N est le nombre d’antennes.

Fig 3.5: Architecture du radiom`etre `a synth`ese d’ouverture utilisant la strat´egie des sous- matrices de switchs(bande X). Les connexion entre les diff´erents modules sont indiqu´ees (image provenant de [80])

Dans les r´ef´erences [80, 152], la strat´egie de la matrice de commutation est optimis´ee afin de r´eduire le nombre de commutateurs et d’antennes. L’id´ee d´evelopp´ee ici comme le montre la figure 3.5, est de diviser la matrice de commutation en deux sous-matrices de commutation ind´ependantes, chacun connect´e `a un canal de r´eception. Cette solution revient `a r´esoudre un probl`eme multi-objectif : le premier cherche le r´eseau d’antennes optimal afin d’obtenir un facteur de redondance minimal (pour minimiser le nombre d’antennes), le second consiste `

a obtenir une couverture compl`ete des fr´equences spatiales (pour augmenter la r´esolution), et le troisi`eme associe chaque antenne `a une seule sous-matrice de commutation et ´evite les interconnexions (pour simplifier le processus de commutation).

3.3. DIFF´ERENTES ARCHITECTURES

Fig 3.6: Vue du d´emonstrateur en bande X pour la d´etection d’une source de bruit en chambre an´echo¨ıque (a) syst`eme et (b) source de bruit. (c) et (d) Temp´erature de brillance reconstruite de la source de bruit plac´ee dans deux positions diff´erentes (image provenant de [128]).

Comme le montre la figure 3.6, les r´esultats obtenus dans le cadre de l’imagerie passive d’une source de bruit localis´ee sont int´eressants.

La solution pr´esent´ee dans la r´ef´erence [103], vise `a minimiser le nombre de voies RF tout en gardant la mˆeme ouverture rayonnante et donc ainsi la r´esolution souhait´ee. Contraire- ment `a la strat´egie des sous-matrice de switchs, les antennes sont cette fois connect´ees `a un composant compressif passif qui code les signaux re¸cus par les antennes. Ces signaux sont alors retrouv´es au moyen de techniques de d´econvolution. Comme l’illustre la figure 3.7, le r´eseau d’antenne est con¸cu de tel sorte qu’il soit `a redondance minimale.