7.3 Cas 2D d´eformation plane de chauss´ee fissur´ee
7.3.2 Cas 2D d´eformation plane du bicouche de chauss´ee fissur´ee
7.3.2.1 Validation du cas bicouche de d´eformation plane fissure en bas
Ici, nous examinons le cas d’un bicouche de chauss´ee fissur´e dans la couche en bas en d´eformation plane. Les param`etres du probl`eme sont :
La couche de chauss´ee sup´erieure a un module d’Young E1 = 9300M P a, un coefficient de Poissonυ1 = 0.35, une ´epaisseur e1 = 0,1m.
La couche de chauss´ee inf´erieure a un module d’Young E2 = 23000M P a, un coefficient de Poissonυ2 = 0.35, une ´epaisseur e2 = 0,3m.
Le sol a un module d’YoungE2 = 50M P a, un coefficient de Poissonυs= 0.35.
La charge est appliqu´ee infinie transversalement, sur une longueur 2a= 0.3m, avec une pression surfaciqueq= 0.662M P a.
Mod´elisation par ´el´ements finis
Le calcul par ´el´ements finis est fait en 2D d´eformation plane. Comme le calcul est tr`es l´eger, nous effectuons le calcul pour toute la structure sans utiliser la sym´etrie. La dimension transversale est choisie ´egale `a 10m pour toute la structure, la profondeur du massif de sol est choisie ´egale `a 9m (cf. figure 7.25).
Pour les conditions aux limites, nous supposons que tous les d´eplacements transversaux sont nuls aux limites transversales, les d´eplacements verticaux en bas du massif de sol sont nuls.
Le calcul par ´el´ements finis est fait avec 13419 ´el´ements carr´es `a 8 noeuds, le nombre total de noeuds est de 40810.
Figure 7.25.Maillage du calcul des ´el´ements finis
Mod´elisation par M4-Boussinesq
Le calcul du M4-Boussinesq est fait sur un espace unidimensionnel, pour toute la structure.
132 7. Application `a une chauss´ee fissur´ee soumise au chargement d’un poids lourd
Les conditions aux limites au bord sont choisies de telle mani`ere que les d´eplacements au bord soient nuls. C’est-`a-dire :
A ¯x=−∞ (k=1) :
U¯11(1) = 0, U¯12(1) = 0 (7.14) Φ¯11(1) = 0, Φ¯21(1) = 0 (7.15) Q¯11(1) = 0 ⇒ 20 E¯1
1 +υ1( ¯Φ11(1) + ¯U3101(1)) + ¯τ10,1(1) + ¯τ11,2(1) = 0 (7.16) Q¯21(1) = 0 ⇒ 20 E¯2
1 +υ2( ¯Φ21(1) + ¯U3201(1)) + ¯τ11,2(1) + ¯τ12,3(1) = 0 (7.17) A ¯x= +∞ (k=N+1) :
U¯11(N + 1) = 0, U¯12(N + 1) = 0 (7.18) Φ¯11(N+ 1) = 0, Φ¯21(N + 1) = 0 (7.19) Q¯11(N+ 1) = 0⇒20 E¯1
1 +υ1( ¯Φ11(N+ 1) + ¯U3101(N + 1)) + ¯τ10,1(N + 1) + ¯τ11,2(N + 1) = 0 (7.20) Q¯21(N+ 1) = 0⇒20 E¯2
1 +υ2( ¯Φ21(N+ 1) + ¯U3201(N + 1)) + ¯τ11,2(N + 1) + ¯τ12,3(N + 1) = 0 (7.21) Pour la fissure transversale dans la couche du bas, nous ajoutons des conditions limites et
´eliminons les ´equations de raideur entre les couples de points en vis-`a-vis sur les l`evres de la fissure.
Les conditions aux limites sur la fissure sont identiques aux conditions de bord libre, c’est-`a-dire que les efforts sont nuls. Dans le cas o`u la fissure se trouve dans la premi`ere couche de chauss´ee, nous avons les conditions limites :
N¯112(k) = 0 ⇒ U¯1201(k) = 0 (7.22) M¯112 (k) = 0 ⇒ Φ¯2101(k) = 0 (7.23) Q¯21(k) = 0 ⇒ 20 E¯2
1 +υ2( ¯Φ21(k) +U3201(k)) + ¯τ12,3(k) + ¯τ11,2(k) = 0 (7.24) o`u k = [c, c+ 1] est l’indice des points `a la fissure.
Le maillage du M4-Boussinesq est fait avec 40 ´el´ements unidimensionnels du M4-Boussinesq pour toute la structure, les noeuds ont 8 degr´es de libert´e. Un tel calcul prend 1 `a 2 secondes avec un Pentium IV-1700Ghz.
Comparaison des r´esultats
Ci-dessous nous pr´esentons les r´esultats du mod`ele simplifi´e et leurs comparaisons avec un calcul par ´el´ements finis.
Comme dans le cas pr´ec´edent, nous obtenons, comme attendu, que dans ces calculs 2D les contraintes et les d´eplacements transversaux sont bien coh´erents avec ceux des ´el´ements finis, et que les d´eplacements verticaux ont la mˆeme forme que ceux des ´el´ements finis.
Nous avons obtenu ici encore un gain de temps de calcul tr`es important, car les ´el´ements finis sont faits avec des ´el´ements finis 2D, et le mod`ele simplifi´e M4-Boussinesq utilise des ´el´ements unidimensionnels.
7.3 Cas 2D d´eformation plane de chauss´ee fissur´ee 133
ν12(x) M4−Boussinesq σzz(x,−0.1) EF
Figure 7.26.Contraintes d’arrachement `a l’interface chauss´ee-chauss´ee
τ12(x) M4−Boussinesq σxz(x,−0.1) EF
Figure 7.27.Contraintes de cisaillement `a l’interface chauss´ee-chauss´ee
ν23(x) M4−Boussinesq σzz(x,−0.4) EF
Figure 7.28.Contraintes d’arrachement `a l’interface chauss´ee-sol
τ23(x) M4−Boussinesq σxz(x,−0.4) EF
Figure 7.29.Contraintes de cisaillement `a l’interface chauss´ee-sol
Figure 7.30.D´eplacements transversaux `a l’interface chauss´ee-chauss´ee
Figure 7.31.D´eplacements transversaux `a l’interface chauss´ee-sol
7.3.2.2 Validation du cas bicouche en d´eformation plane fissur´e en haut
Nous examinons maintenant le cas du bicouche de chauss´ee fissur´ee sup´erieurement en d´eformation plane. Les param`etres du probl`eme sont :
La couche de chauss´ee sup´erieure a un module d’Young E1 = 36500M P a, un coefficient de Poissonυ1 = 0.25, une ´epaisseur e1 = 0,08m.
La couche de chauss´ee inf´erieure a un module d’Young E2 = 9300M P a, un coefficient de Poissonυ2 = 0.35, une ´epaisseur e2 = 0,095m.
Le sol a un module d’YoungE2 = 50M P a, un coefficient de Poissonυs= 0.35.
134 7. Application `a une chauss´ee fissur´ee soumise au chargement d’un poids lourd
0 1 2 3 4 5
−0.01
−0.008
−0.006
−0.004
−0.002 0
a
x (m)
m
U3(x) M4−Boussinesq uz(x,−0.1) EF
Figure 7.32.D´eplacements verticaux `a l’in-terface chauss´ee-chauss´ee
0 1 2 3 4 5
−0.01
−0.008
−0.006
−0.004
−0.002 0
a
x (m)
m
U3(x) M4−Boussinesq uz(x,−0.4) EF
Figure 7.33.D´eplacements verticaux `a l’in-terface chauss´ee-sol
La charge est appliqu´ee infinie transversalement, sur une longueur 2a= 0.3m, avec une pression surfaciqueq = 0.662M P a.
Mod´elisation par ´el´ements finis
Les donn´ees de ce calcul sont similaires `a celles du calcul pr´ec´edent. Le calcul par ´el´ements finis est fait avec 13419 ´el´ements carr´es `a 8 noeuds. Le nombre total de noeuds est de 40810 (cf. figure 7.34).
Figure 7.34.Maillage du calcul par ´el´ements finis
Mod´elisation par M4-Boussinesq
Ici nous adaptons le travail fait dans le paragraphe pr´ec´edent. Dans ce cas o`u la fissure se trouve dans la premi`ere couche de chauss´ee, nous avons les conditions limites `a la fissure :
N¯111(k) = 0 ⇒ U¯1101(k) = 0 (7.25) M¯111 (k) = 0 ⇒ Φ¯1101(k) = 0 (7.26) Q¯11(k) = 0 ⇒ 20 E¯1
1 +υ1( ¯Φ11(k) + ¯U3101(k)) + ¯τ1,2(k) = 0 (7.27) o`u k = [c, c+ 1] est l’indice des points `a la fissure.
Le maillage du M4-Boussinesq est fait avec 40 ´el´ements unidimensionnels du M4-Boussinesq pour toute la structure, les noeuds ont 8 degr´es de libert´e.
Comparaison des r´esultats
Ci-dessous nous avons les r´esultats du mod`ele simplifi´e et leurs comparaisons avec un calcul par ´el´ements finis.
7.3 Cas 2D d´eformation plane de chauss´ee fissur´ee 135
ν12(x) M4−Boussinesq σzz(x,−0.08) EF
Figure 7.35.Contraintes d’arrachement d’interface chauss´ee-chauss´ee
τ12(x) M4−Boussinesq σxz(x,−0.08) EF
Figure 7.36.Contraintes de cisaillement d’interface chauss´ee-chauss´ee
ν23(x) M4−Boussinesq σzz(x,−0.175) EF
Figure 7.37.Contraintes d’arrachement d’interface chauss´ee-sol
τ23(x) M4−Boussinesq σxz(x,−0.175) EF
Figure 7.38.Contraintes de cisaillement d’interface chauss´ee-sol
Figure 7.39.D´eplacements transversaux d’interface chauss´ee-chauss´ee
U3(x) M4−Boussinesq uz(x,−0.08) EF
Figure 7.40.D´eplacements verticaux d’inter-face chauss´ee-chauss´ee
Comme dans le cas pr´ec´edent, nous obtenons dans ces calculs 2D, des contraintes et des d´eplacements transversaux bien coh´erents avec ceux des ´el´ements finis. Les d´eplacements verti-caux ont la mˆeme allure que ceux des ´el´ements finis.
136 7. Application `a une chauss´ee fissur´ee soumise au chargement d’un poids lourd
0 1 2 3 4 5
0 2 4 6 8 10 12x 10−5
a
x (m)
m
U2x+e2/2P2x(x) M4−Boussinesq ux(x,−0.175) EF
Figure 7.41.D´eplacements transversaux d’interface chauss´ee-sol
0 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1 0x 10−3
a
x (m)
m
U3(x) M4−Boussinesq uz(x,−0.175) EF
Figure 7.42.D´eplacements verticaux d’inter-face chauss´ee-sol
Conclusions
Dans le chapitre 6, nous avons conclu que le mod`ele simplifi´e marche bien pour une structure de chauss´ee sans fissure. Dans ce chapitre, nous avons conclu que les r´esultats du mod`ele simplifi´e M4-Boussinesq sont bien coh´erents avec ceux des ´el´ements finis, dans tous les cas 3D et 2D d´eformation plane de la chauss´ee fissur´ee avec un chargement de type pneu poids lourd.
Dans le cadre de ce chapitre, nous n’avons examin´e que le cas de fissuration transversale de la chauss´ee. Le cas de fissure longitudinale n’est pas encore examin´e, mais avec la mˆeme m´ethode, nous pouvons introduire la fissure dans le mod`ele 3D. Nous pensons que le mod`ele marchera bien aussi dans ce cas.
Chapitre 8
Validation du cas fissur´ e sous
chargement de retrait thermique
Nous avons valid´e le mod`ele M4-Boussinesq pour une structure de chauss´ee dans tous les cas avec et sans fissure sous un chargement de type roue de poids lourds. Dans ce chapitre, nous allons pr´esenter tout d’abord un rappel sur la thermo´elasticit´e, puis l’introduire dans les ´equations du mod`ele simplifi´e. Ensuite, nous effectuons des calculs de chauss´ee fissur´ee tridimensionnelle, pour un monocouche de chauss´ee et un bicouche de chauss´ee sous un deuxi`eme type de chargement de la chauss´ee : le retrait thermique. Les r´esultats obtenus sont ensuite compar´es avec ceux obtenus
`a l’aide du logiciel Cesar-LCPC.