7.2 Application `a une chauss´ee fissur´ee tridimensionnelle
7.2.1 Cas d’une couche de chauss´ee 3D fissur´ee
La chauss´ee se compose d’une couche de chauss´ee reposant sur un massif de sol semi-infini. La fissure est suppos´ee exister transversalement sur toute l’´epaisseur de la couche de chauss´ee, avec une ouverture de 5mm (cf. figure 7.2). Les param`etres du probl`eme sont :
La chauss´ee a un module d’Young E1 = 5400M P a, un coefficient de Poisson ν1 = 0.35, une
´epaisseur de 0.08m.
Le sol a un module d’YoungEs= 50M P a, un coefficient de Poisson νs= 0.35.
7.2 Application `a une chauss´ee fissur´ee tridimensionnelle 123
x
y z O
Couche 1
Sol
q
Figure 7.2.Maillage du calcul EF du monocouche tridimensionnel fissur´e
La charge de roue de camion est suppos´ee ˆetre une pression deq= 0.662M P asur une surface rectangulaire de longueura= 0.3m (dans le sens de circulation) et de largeurb= 0.22m. Elle est suppos´ee sym´etrique par rapport `a la fissure.
La chauss´ee est suppos´ee infinie dans le plan, nous consid´erons donc que les bords de la chauss´ee sont bloqu´es `a une distance tr`es grande.
Ci-dessous nous pr´esentons successivement la mod´elisation du probl`eme par la m´ethode des
´el´ements finis (effectu´ee sous C´esar-LCPC), la mod´elisation du probl`eme par M4-Boussinesq, puis la comparaison des r´esultats de ces deux mod´elisations.
Mod´elisation par ´el´ements finis
La structure de la chauss´ee est ´etudi´ee sur un parall´el´epip`ede-rectangle, qui se compose d’une couche de chauss´ee et du massif de sol (cf.figure 7.3). Nous utilisons des conditions aux limites telles que des d´eplacements transversaux nuls aux limites transversales et un d´eplacement vertical nul en bas du massif de sol. Grˆace `a la sym´etrie du calcul, nous n’´etudions qu’un quart de la structure.
Nous avons constat´e en effectuant plusieurs calculs que les dimensions transversales suffisantes sont de 3m pour un quart de la structure et que la dimension verticale suffisante est de 8m en profondeur (cf. 7.3).
Le maillage d’un quart du massif est fait avec 5296 ´el´ements cubiques `a 20 noeuds. Le nombre total de noeuds est de 24060. Le temps de calcul sur un P4-1.7Ghz est de 1h30’ temps CPU.
Figure 7.3.Maillage de calcul EF du monocouche tridimensionel fissur´e
Mod´elisation par M4-Boussinesq
La mod´elisation M4-Boussinesq est effectu´ee pour toute la structure sans utiliser la sym´etrie, donc sur un plan rectangulaire de dimension 6mx6m.
124 7. Application `a une chauss´ee fissur´ee soumise au chargement d’un poids lourd
Les conditions limites au bord sont choisies de telle mani`ere que les d´eplacements longitudinaux au bord soient nuls et qu’il n’y ait pas d’efforts de cisaillements transversaux (voir chapitre 3). Nous utilisons dans ce cas les conditions aux limites du bord bloqu´e, c’est-`a-dire les conditions 3.80 `a 3.84 pour le bord x = ∞ et les conditions 3.85 `a 3.89 pour le bord y = ∞. Nous obtenons les mˆemes ´equations que dans le cas monocouche de chauss´ee sans fissure (voir chapitre 6).
Pour prendre en compte la fissure transversale, nous ajoutons des conditions limites et ´eliminons les ´equations de raideur entre les points en vis-`a-vis les l`evres de la fissure, comme cela a ´et´e indiqu´e dans la partie pr´ec´edente. Les conditions aux limites sur les l`evres de la fissure sont identiques `a des conditions de bord libre, c’est-`a-dire que les efforts sont nuls :
- ¯N11(k, l) = 0⇒U¯101(k, l) +υ1U¯202(k, l) = 0
Un maillage de 24x18 mailles sur la surface est r´ealis´e avec des ´el´ements plans du M4-Boussinesq.
Chaque noeud a 8 degr´es de libert´e. Le temps d’un tel calcul est de 0,5minsur un P4-1.7Ghz.
Comparaison des r´esultats des calculs par ´el´ements finis et par M4-Boussinesq
Ci-dessous nous pr´esentons les contraintes d’interface du M4-Boussinesq (cf figure 7.4 et 7.5) :
0
Figure 7.4.Contraintes de cisaillement d’in-terface chauss´ee-sol du mono-couche tridimensionnel fissur´e
Figure 7.5.Contraintes d’arrachement d’in-terface chauss´ee-sol du mono-couche tridimensionnel fissur´e Et leurs comparaisons avec les r´esultats du calcul par ´el´ements finis (cf. figures 7.6 `a 7.9).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
τx12(x,0) M4−Boussinesq σxz(x,0,−0.08) Cesar−LCPC
Figure 7.6.Contrainte de cisaillement d’in-terface chauss´ee-sol du mono-couche tridimensionnel fissur´e
ν12(x,0) M4−Boussinesq σzz(x,0,−0.08) Cesar−LCPC
Figure 7.7.Contrainte d’arrachement d’in-terface chauss´ee-sol du mono-couche tridimensionnel fissur´e
7.2 Application `a une chauss´ee fissur´ee tridimensionnelle 125
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−1.5
−1
−0.5 0x 10−3
a
x (m)
Deflexion (m)
U3(x,0) M4−Boussinesq uz(x,0,−0.08) Cesar−LCPC
Figure 7.8.D´eplacement vertical d’interface chauss´ee-sol du monocouche tri-dimensionnel fissur´e
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−2 0 2 4 6 8 10x 10−5
x (m)
Deplacement transversal (m)
U2 2+e
1/2P 2
2(x,0) M4−Boussinesq ux(x,0,−0.08) Cesar−LCPC
Figure 7.9.D´eplacement transversal d’inter-face chauss´ee-sol du monocouche tridimensionnel fissur´e
Nous constatons une tr`es bonne coh´erence des contraintes d’interface d´etermin´ees par le mod`ele simplifi´e et par le calcul aux ´el´ements finis. Le d´eplacement pr´evu par le mod`ele simplifi´e est plus important que celui pr´evu par les ´el´ements finis, mais la forme reste la mˆeme. Ceci peut ˆetre expliqu´e car le mod`ele simplifi´e est calcul´e pour un massif vraiment infini selon la profondeur, tandis que le calcul par ´el´ements finis est calcul´e pour un massif de 8m de profondeur.
Nous remarquons que dans ce calcul, nous obtenons un gain important de temps : 1h30 pour le calcul par ´el´ements finis et 0,8 minutes pour le calcul par le M4-Boussinesq sous Matlab. Si le mod`ele M4-Boussinesq est programm´e sous Fortran ou C++, le temps de calcul peut diminuer consid´erablement. Dans un tel cas, nous pourrions obtenir un calcul 20 `a 30 fois plus rapide que celui avec la programmation sous Matlab.
7.2.2 Bicouche tridimensionnel de chauss´ee fissur´ee : cas fissur´e inf´erieurement