7.2 Application `a une chauss´ee fissur´ee tridimensionnelle
7.2.2 Bicouche tridimensionnel de chauss´ee fissur´ee : cas fissur´e inf´erieurement
transversale est suppos´ee d´ej`a exister dans la couche inf´erieure, avec une ouverture de 5mm, sur toute la longueur transversale (cf. figure 7.10).
x
y z O
q Couche 1
Sol
Figure 7.10.Sch´ema de calcul du bicouche tridimensionnel fissur´ee
Les param`etres du probl`eme sont :
La chauss´ee : couche 1 : module d’Young E1 = 9300M P a, coefficient de Poisson ν1 = 0.35,
´epaisseure1 = 0.1m, couche 2 : module d’YoungE2 = 23000M P a, coefficient de Poissonν2= 0.35,
´epaisseur de e2 = 0.3m
Le sol a un module d’YoungEs= 50M P a, et un coefficient de Poissonνs= 0.35.
126 7. Application `a une chauss´ee fissur´ee soumise au chargement d’un poids lourd
La charge correspondant `a une roue de camion est repr´esent´ee par une pression de q = 0.662M P a sur une surface rectangulaire de longueur a = 0.3m (dans le sens de circulation) et de largeurb= 0.22m. Elle est suppos´ee sym´etrique par rapport `a la fissure.
La chauss´ee est suppos´ee infinie dans le plan, nous consid´erons donc que les bords de la chauss´ee sont bloqu´es `a une distance tr`es grande.
Ci-dessous nous pr´esentons successivement la mod´elisation du probl`eme par la m´ethode des
´el´ements finis (effectu´ee sous C´esar-LCPC), la mod´elisation du probl`eme par M4-Boussinesq, puis la comparaison des r´esultats de ces deux mod´elisations.
Mod´elisation par ´el´ements finis
La structure de chauss´ee est examin´ee sur un parall´el´epip`ede-rectangle, qui se compose de deux couches de chauss´ee et du massif de sol (cf.figure 8.8). Nous utilisons des conditions aux limites telles que les d´eplacements transversaux soient nuls aux limites transversales et que le d´eplacement vertical soit nul `a la base du massif de sol. Grˆace `a la sym´etrie, nous effectuons le calcul pour un quart de la structure.
Nous avons constat´e sur plusieurs calculs que les dimensions transversales suffisantes sont de 5mpour un quart de la structure et que la dimension verticale suffisante est de 10men profondeur (cf. 8.8).
Figure 7.11.Maillage de calcul EF du bicouche tridimensionnel fissur´e
Le maillage est fait avec 1965 ´el´ements cubiques `a 20 noeuds et 7080 ´el´ements trap´ezo¨ıdaux `a 15 noeuds. Le nombre total de noeuds est de 29561. Le calcul prend 2h temps de calcul CPU sur un P4-1.7Ghz.
Mod´elisation par M4-Boussinesq
La mod´elisation du mod`ele M4-Boussinesq est effectu´ee pour toute la structure sans utiliser la sym´etrie, donc sur un plan rectangulaire de dimension 10mx10m.
Les conditions aux limites au bord sont choisies de telle mani`ere que les d´eplacements longitu-dinaux au bord soient nuls et qu’il n’y ait pas d’efforts de cisaillements transversaux (voir chapitre 3) aux bords. Nous utilisons dans ce cas les conditions aux limites du bord bloqu´e, c’est-`a-dire les conditions 3.80 `a 3.84 pour le bord dex et les conditions 3.85 `a 3.89 pour le bord de y, pour les deux couches. Nous obtenons les mˆemes ´equations que dans le cas bicouche de chauss´ee sans fissure (voir chapitre 6).
Sur les l`evres de la fissure, nous ajoutons des conditions limites et ´eliminons les ´equations de raideur entre les points en vis-`a-vis sur les l`evres de la fissure. Les conditions limites sur la fissure sont identiques aux conditions de bord libre, c’est-`a-dire que les efforts sont nuls. Dans le cas o`u la fissure se trouve dans la premi`ere couche de chauss´ee, nous avons les conditions limites :
- ¯N112 (k, l) = 0⇒U¯1201(k, l) +υ1U¯2202(k, l) = 0
7.2 Application `a une chauss´ee fissur´ee tridimensionnelle 127
Le maillage du M4-Boussinesq est fait avec 24x32 mailles dans le plan. Chaque noeud a treize degr´es de libert´e. Le calcul prend 15 minutes temps de calcul de CPU sur un P4-1.7Ghz.
Comparaison des r´esultats des calculs par ´el´ements finis et par M4-Boussinesq
Ci-dessous nous avons les comparaisons des d´eplacements et des contraintes d’interface (cf.
figure 7.12 `a 7.19).
0 1 2 3 4 5
νx12(x,0) M4−Boussinesq σzz(x,0,−0.1) Cesar−LCPC
Figure 7.12.Comparaison des contraintes d’arrachement d’interface
νx23(x,0) M4−Boussinesq σzz(x,0,−0.4) Cesar−LCPC
Figure 7.13.Comparaison des contraintes d’arrachement d’interface
τx12(x,0) M4−Boussinesq σxz(x,0,−0.1) Cesar−LCPC
Figure 7.14.Comparaison des contraintes de cisaillement d’interface
τx23(x,0) M4−Boussinesq σxz(x,0,−0.4) Cesar−LCPC
Figure 7.15.Comparaison des contraintes de cisaillement d’interface chauss´ee-sol
Nous constatons que les r´esultats du mod`ele simplifi´e M4-Boussinesq sont tr`es coh´erents avec ceux des ´el´ements finis. Les d´eplacements verticaux du M4-Boussinesq ont la mˆeme forme, mais sont plus grands que ceux obtenus par la m´ethode des ´el´ements finis. Nous pouvons voir que la profondeur du sol prise dans la m´ethode des ´el´ements finis n’est pas encore suffisante. Tandis que dans le mod`ele M4-B, le sol est vraiment de profondeur infinie.
Dans ce calcul, nous obtenons un gain important de temps : 2h pour le calcul par ´el´ements finis pour un quart de la structure, et 15 minutes pour le calcul par le M4-Boussinesq sous Matlab pour toute la structure. Si le mod`ele M4-Boussinesq ´etait programm´e sous Fortran ou C++, le temps
128 7. Application `a une chauss´ee fissur´ee soumise au chargement d’un poids lourd uz(x,0,−0.1) Cesar−LCPC
Figure 7.16.Comparaison des d´eplacements verticaux de la couche de chauss´ee sup´erieure uz(x,0,−0.4) Cesar−LCPC
Figure 7.17.Comparaison des d´eplacements verticaux de la couche de chauss´ee inf´erieure ux(x,0,−0.1) Cesar−LCPC
Figure 7.18.Comparaison des d´eplacements transversaux de la couche de chauss´ee sup´erieure ux(x,0,−0.4) Cesar−LCPC
Figure 7.19.Comparaison des d´eplacements transversaux de la couche de chauss´ee inf´erieure
de calcul pourrait diminuer beaucoup. Dans un tel cas, nous pourrions obtenir un calcul 100 fois plus rapide qu’avec la programmation sous Matlab.