Dans la partie pr´ec´edente, nous avons montr´e que les fonctions rapports entre un calcul 3D et un calcul 2D de mˆemes param`etres, ne d´ependent alors que de 2n param`etres : ¯Ei, ¯ei (i∈[1, n])
6.4 Comparaison des r´esultats 3D et 2D en d´eformation plane pour le calcul de chauss´ees. 115
pour une structure de n couches de chauss´ee.
Pour le cas g´en´eral de n couches de chauss´ees, nous avons : F3D
F2D = F¯3D
F¯2D =RF( ¯E1,e¯1, ...E¯n,e¯n) (6.6) Cette fonction RF peut ˆetre construite de la mˆeme fa¸con que dans le cas monocouche. Dans ce cas le travail sera plus lourd car il nous faut faire varier 2n param`etres ¯Ei, ¯ei (i∈[1, n]). Dans la r´ealit´e, une structure bicouche de chauss´ee est souvent utilis´ee. Dans ce cas de bicouche de chauss´ee, les fonctions rapports peuvent ˆetre construites sans difficult´es avec la variation de quatre param`etres : ¯E1, ¯e1, ¯E2, ¯e2.
Conclusions
Dans ce chapitre, nous avons valid´e le mod`ele simplifi´e pour la structure de chauss´ee sans fissure, dans les deux cas 3D et 2D d´eformation plane. Nous avons constat´e une tr`es bonne coh´erence des r´esultats des calculs du mod`ele simplifi´e par rapport `a ceux des ´el´ements finis. Le temps de calcul du mod`ele simplifi´e est tr`es rapide par rapport `a celui des ´el´ements finis.
Nous avons montr´e aussi qu’il n’est pas possible d’approcher de fa¸con simple des r´esultats 3D
`a l’aide d’un calcul 2D d´eformation plane. Nous avons ainsi propos´e de calculer le rapport entre les champs calcul´es par un calcul 2D et ceux d’un calcul 3D, puis utiliser la fonction rapport pour obtenir les champs de calcul 3D.
Notons que nous avons construit les fonctions rapports `a partir de l’adimensionalisation des
´equations du mod`ele simplifi´e (avec hypoth`ese de plaque). Si maintenant nous consid´erons un multicouche reposant sur un massif de sol semi-infini (probl`eme 3D), avec la mˆeme fa¸con d’adi-mensionaliser, nous allons obtenir un r´esultat similaire. Le rapport d’un champ inconnu entre un calcul 3D et 2D ne d´epend toujours que de 2nparam`etres ¯Ei, ¯ei (i∈[1, n])
Conclusions de la deuxi` eme partie
Dans cette deuxi`eme partie, nous avons construit le mod`ele simplifi´e, nomm´e M4-Boussinesq, pour la structure dencouches de chauss´ee reposant sur un massif semi-infini de sol. Cette construc-tion se compose de deux parties, l’une pour la mod´elisaconstruc-tion du multicouche de chauss´ee, l’autre pour la mod´elisation du massif de sol. Au terme de la mod´elisation du multicouche de chauss´ee, nous avons choisi le mod`ele multiplaque M4-5n. Cette approche permet de r´eduire d’une dimen-sion le multicouche tridimendimen-sionnel en un multiplaque bidimendimen-sionnel. Par l’adimendimen-sionalisation et la simplification des ´equations, cette mod´elisation donne ensuite un syst`eme de 5n ´equations diff´erentielles du second ordre, selon deux variables de l’espace. Pour la mod´elisation du massif
´elastique semi-infini de sol, nous avons ainsi choisi la solution analytique de Boussinesq pour d´ecrire le comportement du massif. Ce choix nous a amen´e `a un syst`eme de trois ´equations int´egrales sur la surface du massif. Le syst`eme d’´equations final du mod`ele simplifi´e se compose de 5n´equations diff´erentielles surfaciques du second ordre et 3 ´equations int´egrales surfaciques, en fonction des deux variables du planOxy.
L’approximation num´erique a ´et´e pr´esent´ee dans le chapitre 5. Pour le syst`eme coupl´e de deux types d’´equations, nous avons choisi diff´erentes m´ethodes approch´ees. Pour le syst`eme de 5n´equations diff´erentielles, nous avons choisi la m´ethode des diff´erences finies de Newmark pour approcher les champs d’inconnues. Nous avons montr´e que cette m´ethode est aussi efficace que la m´ethode des ´el´ements finis avec interpolation lin´eaire. Pour le syst`eme d’´equations int´egrales, nous avons approch´e le calcul par une m´ethode d’int´egration semi-analytique. Nous avons montr´e que cette m´ethode est aussi efficace que l’int´egration num´erique de Gauss avec interpolation lin´eaire.
Dans le chapitre 6, nous avons pr´esent´e la validation du mod`ele M4-Boussinesq pour la structure de chauss´ee sans fissure sous chargement de type roue de camion. Les validations pour les structures monocouche et bicouche de chauss´ees ont ´et´e faites avec succ`es. Nous avons constat´e de tr`es bonnes coh´erences entre les r´esultats du mod`ele M4-Boussinesq et ceux obtenus par ´el´ements finis.
Troisi` eme partie
Application du mod` ele simplifi´ e ` a l’´ etude de chauss´ ees fissur´ ees
verticalement
119
Dans la deuxi`eme partie, nous avons construit le mod`ele simplifi´e puis nous l’avons valid´e pour les structures de chauss´ees sans fissure. Dans cette partie, nous allons exploiter les applications du mod`ele simplifi´e pour la structure de chauss´ee fissur´ee, soumise aux diff´erents types de chargement.
Cette partie se compose de trois chapitres.
Le chapitre 7 pr´esente les applications du mod`ele simplifi´e pour un monocouche et un bicouche de chauss´ee fissur´ee, sous chargement de type roue de camion. Dans ce chapitre, nous pr´esentons tout d’abord la m´ethode pour introduire la fissure dans le mod`ele simplifi´e. Ensuite, nous allons effectuer des calculs de structure de chauss´ee fissur´ee en 3D et en d´eformation plane, `a l’aide du mod`ele M4-Boussinesq. Les r´esultats obtenus par le mod`ele simplifi´e seront compar´es avec ceux effectu´es par ´el´ements finis.
Avec les mˆemes structures de calcul en 3D, le chapitre 8 pr´esente les applications du mod`ele M4-Boussinesq soumises `a un autre type de chargement, le retrait thermique. Nous pr´esentons tout d’abord l’introduction des chargements thermiques dans le mod`ele simplifi´e. Ensuite, nous effectuons des calculs de chauss´ees monocouche et bicouche fissur´ees soumises au chargement du retrait thermique. Les r´esultats obtenus sont compar´es avec ceux obtenus par ´el´ements finis.
Le dernier chapitre effectue des applications du mod`ele simplifi´e sous chargement de gradient thermique. Les structures d’un monocouche et d’un bicouche de chauss´ee fissur´ee sont examin´ees.
Les r´esultats obtenus sont compar´es avec ceux obtenus par ´el´ements finis.
Chapitre 7
Application ` a une chauss´ ee fissur´ ee soumise au chargement d’un poids lourd
Le mod`ele simplifi´e M4-Boussinesq a ´et´e valid´e dans les cas de chauss´ees sans fissure. Nous allons continuer `a examiner le mod`ele pour la structure de chauss´ee dans le cas o`u il existe une fissure.
Dans ce chapitre, nous allons pr´esenter tout d’abord l’introduction de la fissure dans le mod`ele simplifi´e. Ensuite, nous effectuons les calculs de chauss´ee fissur´ee en 3D et en 2D d´eformation plane, pour une couche de chauss´ee et deux couches de chauss´ee, soumise au chargement d’un poids lourd.
Les r´esultats sont ensuite compar´es avec ceux obtenus `a l’aide de la m´ethode aux ´el´ements finis (Cesar-LCPC).
7.1 Mod´ elisation num´ erique de la fissuration dans la chauss´ ee
La fissure dans la chauss´ee est prise en compte comme un intervalle ´etroit, de dimension com-prise entre 2mm et 10mm. Dans la mod´elisation des fissures, nous consid´erons que les l`evres de la fissure constituent deux bords libres, et n’ont pas de contact entre elles sous les chargements d’un poids lourds ou les chargements thermiques.
Num´eriquement, dans le sch´ema discr´etis´e, la fissure est repr´esent´ee par une discontinuit´e entre deux points au bord de la fissure. Nous pr´esentons ici deux parties. La premi`ere partie consiste
`a supprimer les ´equations entre deux points de la fissure dans le syst`eme d’´equations de rigidit´e 5.79. La deuxi`eme partie pr´esente le remplacement des ´equations de conditions aux limites sur les l`evres de la fissure.
Ci-dessous, nous examinons l’introduction d’une fissure transversale dans une couche de chauss´ee dans le programme du mod`ele simplifi´e.
7.1.1 Modifications des ´equations de rigidit´e dues `a la pr´esence de la fissure