Investir ou placer de l’argent relève d’un principe simple : renoncer à une somme d’ar-gent disponible aujourd’hui pour en retirer des sommes dans le futur. Tout l’enjeu de l’investissement ou du placement est de s’assurer que ces sommes futures sont consti-tutives d’une richesse supérieure à la somme à laquelle nous renonçons aujourd’hui.
Placerais-je aujourd’hui 1 000 E sur un livret A s’il n’était pas rémunéré ? Certainement pas, puisque je renoncerais à m’enrichir en utilisant cette somme.
CSi vous aviez à choisir entre recevoir 1 000 E aujourd’hui et recevoir cette même somme dans un an, vous opteriez évidemment pour la première solution. De fait, si vous placez vos 1 000 E aujourd’hui à 1,75 %, vous disposerez dans un an de 1 017,50 E, soit 17,50 E de plus !
Pour cette raison, on ne peut pas accorder la même valeur à des cash flows futurs qu’à des cash flows immédiats, même s’ils représentent le même montant (ce que l’on appelle le montant nominal des cash flows).
En étant schématique, la valeur d’un euro reçu aujourd’hui est supérieure à celle d’un euro reçu à une date ultérieure. On perd de fait l’opportunité de tirer un bénéfice de cette somme sur la période d’attente, comme le suggère la figure suivante.
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INVESTIR ET SE FINANCER
Investi tout de suite
Investi tout de suite Perdus si l’on investit plus
tard
1 € plus tard
CASH FLOWS
CASH FLOWS
Temps
Temps
Il faut donc trouver une méthode pour comparer la somme que nous investissons (c’est-à-dire à laquelle nous renonçons aujourd’hui) et les cash flows que nous tirerons de l’investissement. Pour ce faire, nous estimons la valeur future ou la valeur actuelle des cash flows futurs.
A • La valeur future d’un placement
La valeur future d’un placement est celle qu’aura atteinte la somme initiale au terme de la période de placement.
CReprenons l’exemple précédent ; les 1 017,50 E sont la valeur future d’une somme de 1 000 E placée à 1,75 % pendant un an.
Plus généralement, la valeur future (notée VF) d’un cash flow (CF) placé pendant un an au taux r se définit par la formule suivante :
VF(CF) = CF ¥ (1 + r)
CSupposons, à présent, que la somme est placée sur le livret A pendant deux années. De quelle somme l’épargnant dispose-t-il au terme de cette période ? Si l’on suppose qu’il replace l’inté-gralité de la somme disponible sur le livret en fin de première année, les intérêts courront sur 1 017,50 E pendant la deuxième année. En fin de deuxième année, il disposera de 1 017,50 × 1,0175 soit 1 035,31 E. On peut raisonner de même sur des placements de 3 ans, 4 ans, ainsi de suite.
Par conséquent, la formule générale pour calculer la valeur future d’un cash flow (CF) placé pendant n années au taux r s’établit ainsi :
VF(CF) = CF ¥ (1 + r)n
La valeur future s’utilise cependant assez peu pour évaluer les investissements à pro-prement parler. Son inconvénient est de prendre pour point de repère le terme de l’investissement, qui varie en fonction de la nature du projet (un remplacement de matériel sur cinq ans, un projet de R & D sur vingt ans…). L’usage de la valeur future est donc souvent réservé au particulier ou au conseiller clientèle en banque ou en assu-rance lorsqu’il s’agit d’établir la somme dont disposera l’épargnant au terme d’un pro-gramme de placement sur un produit particulier.
CMonsieur F. place 100 E par an en début d’année pendant 3 ans à un taux de 4 %. De quelle somme disposera-t-il en fin de troisième année ?
100 €
Année 1
100 €
Année 2
100 €
Année 3
? Pour répondre simplement à cette question, raisonnons en trois temps :
1°) Le placement de la première année lui permet de disposer d’une somme de 100 E sur 3 ans au taux de 4 %, soit :
VF(1) = 100 × 1,043.
2°) Le placement de la deuxième année lui permet de disposer d’une somme de 100 E sur 2 ans au taux de 4 %, soit :
VF(2) = 100 × 1,042.
3°) Le placement de la troisième année lui permet de disposer d’une somme de 100 E sur 1 an seulement au taux de 4 %, soit :
VF(3) = 100 × 1,04.
Le programme d’épargne de Monsieur F. lui permettra de disposer, en fin d’année 3, de : VF(1) + VF(2) + VF(3) = 100 × 1,04 + 100 × 1,042 + 100 × 1,043.
Soit :
VF(1) + VF(2) + VF(3) = 324,65 E.
Plus généralement, la valeur future d’une série de cash flows (CF1, CF2, etc.) épargnée en début d’année sur n années au taux r s’exprime de la manière suivante :
VF = (1 + r) × ∑ i=1n CFi (1 + r)n – i
CQue se passerait-il si Monsieur F. avait décidé de placer la somme en fin d’année ? Année 1
100 €
Année 2
100 € 100 €
Année 3
?
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INVESTIR ET SE FINANCER
Il perdrait en définitive une année d’intérêt sur chacun de ses placements :
1°) Le placement de la fin de première année lui permet de disposer d’une somme de 100 E sur deux ans seulement au taux de 4 %, soit :
VF(1) = 100 × 1,042.
2°) Le placement de la deuxième année lui permet de disposer d’une somme de 100 E sur un an seulement au taux de 4 %, soit :
VF(2) = 100 × 1,04 .
3°) Le placement de la troisième année n’a pas le temps de lui rapporter quoi que ce soit : VF(3) = 100 .
Le programme d’épargne de Monsieur F. lui permettra de disposer, en fin d’année 3, de : VF(1) + VF(2) + VF(3) = 100 × 1,04 + 100 × 1,042 + 100 × 1,043.
Soit :
VF(1) + VF(2) + VF(3) = 312,16 E.
Plus généralement, la valeur future à l’année n d’une série de cash flows (CF1, CF2, etc.) épargnée en fin d’année sur n années au taux r s’exprime de la manière suivante :
VF = ∑ i=1n CF i ¥ (1 + r)n–i B • La valeur actuelle d’un investissement
Soit un cash flow que l’on doit recevoir dans n années. La valeur actuelle de ce cash flow est la somme que l’on devrait placer aujourd’hui sur les marchés, à risque et durée équivalents, pour obtenir le même cash flow dans n années.
CReprenons l’exemple du Livret A. Les 1 000 E reçus dans un an valent moins que 1 000 E reçus aujourd’hui, puisque vous perdez l’opportunité de placer la somme pendant un an à 1,75 %. En fait, recevoir 1 000 E dans un an revient au même que recevoir une somme inférieure aujourd’hui (S) et la placer au même taux pendant une année. On peut aisément estimer cette somme. Placer S à 1,75 % permet de récupérer, au bout d’un an :
S × (1 + 0,0175)
Mais cette somme disponible au bout d’un an représente 1 000 E. On résout donc l’équation suivante :
S × 1,0175 = 1 000 soit
S = 1 000 1,075 = 982,80 E.
On appelle S la valeur actuelle du cash flow de 1 000 E reçu dans un an, calculée à un taux de 1,75 %. On peut à présent comparer les deux solutions proposées initialement dans les termes suivants : recevoir aujourd’hui 1 000 E ou recevoir une somme équivalente à 982,80 E aujourd’hui. La dévalorisation du cash flow futur correspond au fait que l’on perd l’opportunité de placer la somme immédiatement.
Plus généralement, la valeur actuelle (notée VA) d’un cash flow (CF) reçu dans un an se définit par la formule suivante :
VA(CF) = 1 + r CF
La variable (r) désigne le taux auquel le cash flow aurait été placé s’il avait été reçu immédiatement. On l’appelle taux d’actualisation ou encore coût d’opportunité du capital, car il reflète une opportunité perdue : celle de placer la somme aujourd’hui pour la même durée.
CVous avez la possibilité d’investir 100 000 E dans une entreprise qui, selon les prévisions fournies par les analystes, devrait coter 2 % de plus l’année suivante, et vous rapporter 3 % de dividendes. Le cash flow reçu l’année suivante (en touchant les dividendes et en revendant l’ac-tion) devrait donc être :
CF = 100 000 × (1 + 0,02) × (1 + 0,03) = 105 060 E.
Or, un portefeuille de titres du marché propose aujourd’hui, à risque équivalent, un taux de rendement de 8,5 % par an. Vous pouvez retenir ce taux pour actualiser le cash flow que vous obtiendrez de l’investissement en action, puisqu’il rend compte d’une autre opportunité de pla-cement à durée et risque équivalents.
VA(CF) = CF 1 + r = 105 060 1,085 = 96 829 E.
La valeur actuelle de l’investissement est inférieure à la somme investie initialement. Il vaut mieux renoncer à cette option, et placer la somme dans le portefeuille de titres qui a servi de référence.
Si néanmoins vous souhaitiez investir dans ces actions, vous « perdriez » la différence entre la valeur actuelle du cash flow futur et la comme investie initialement, c’est-à-dire :
96 829 – 100 000 = – 3 171 E. Cette différence est appelée la valeur actuelle nette de l’investissement.
Plus généralement, la valeur actuelle nette d’un investissement (VAN) se définit par la formule suivante : VAN = – I0 + CF I + r où I0 désigne l’investissement initial.
Un investissement est dit profitable (et donc digne d’intérêt) lorsque la valeur actuelle nette (VAN) de celui-ci est positive. Cela signifie, en fait, que son rendement est plus élevé que le coût d’opportunité du capital.
The Opportunity Cost of Capital and Risk
A very basic principle of finance can be summed up as follows: “high returns imply high risk levels”. Conversely, risk avoidance does not pay. The “Livret A” rate in October 2010 reflected the average rate of inflation in Europe, namely 1.75 %. That is why the duration of projects and their risk have to be taken into account, to determine the opportunity cost of capital (OCC). The same company may use different OCC’s for different invest-ments. Replacing old equipment, for instance, does not imply the same risk as deve-loping new products. In the first case, the OCC will be much lower than the one used for R & D projects.
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