Utilisation des champs de potentiel en géologie

Les surfaces équipotentielles extraites de champs de potentiel sont lisses et ne peuvent pas s’interpénétrer [Bloomenthal,1988], ce qui représente un avantage certain dans la modélisation d’objets naturels et notamment de structures géologiques. Différentes applications en ont été proposées.

Construction de modèles géologiques

Ainsi, le logiciel l’Éditeur Géologique développé par le BRGM [Aug, 2004;Chilès et al.,

2004;Guillen et al., 2006] utilise la méthode des champs de potentiel pour construire des mo-dèles géologiques en domaine minier. Les champs de potentiel sont interpolés par cokrigeage des données sur une grille cartésienne en utilisant une tendance qui donne le gradient du po-tentiel. Des règles d’érosion dérivées d’une colonne stratigraphique permettent de définir des relations d’ordre entre les différentes surfaces équipotentielles de plusieurs champs. Les failles sont modélisées au préalable sous forme de potentiels particuliers et elles sont prises en compte dans l’interpolation des horizons sous forme de dérive du potentiel, ce qui introduit les discon-tinuités dans les surfaces équipotentielles. Les relations entre failles doivent être définies par l’utilisateur et sont stockées dans une table, ce qui permet d’arrêter les surfaces de faille les unes sur les autres en fonction de leurs relations.

Construction de surfaces complexes

Ledez [2003] utilise une fonction de distance signée aux données pour reconstruire des surfaces géologiques complexes comme les dômes de sel. Cette fonction est calculée sur une grille cartésienne et la surface reconstruite est extraite par un algorithme marching cubes.

Cette méthodologie a été adaptée à des volumes tétraédriques [Frank et al., 2005]. Le maillage tétraédrique sur lequel la fonction de distance signée est calculée peut être très grossier au départ et raffiné progressivement autour des données afin de fournir la meilleure approxima-tion possible. La méthode développée dansFrank et al.[2005] utilise MxDSI, ce qui implique que la complexité du calcul dépend du modèle linéaire sur lequel l’interpolation est réalisée, ici le maillage tétraédrique, et non pas des données. Celles-ci peuvent être très denses et bruitées

2.3. Méthodes basées sur des champs de potentiel ou même présenter de fortes hétérogénéités de densité, voire des discontinuités. La méthode utilisant MxDSI est très robuste vis-à-vis de la qualité des données d’entrée.

Afin de calculer la fonction distance signée sans faire intervenir les normales, qui peuvent s’avérer difficiles à estimer lorsque les données sont bruitées, Frank et al. [2005] imposent des contraintes d’inégalité à la propriété de distance. En effet, en plus des contraintes souples définies à l’équation2.1qui sont honorées au sens des moindres carrés, la méthode DSI prend également en compte des contraintes dures, qui sont respectées absolument par la solution. Ces contraintes sont de la forme :

At

ci · ϕ = bci (contrainte égalité), A^t_cj· ϕ ≥ b_cj (contrainte inégalité).

(2.7)

L’utilisation des contraintes d’inégalité dans le cadre du calcul de la fonction de distance signée se résume à définir quelques points, d’un côté de la surface à reconstruire, où la distance devra être positive, et quelques points de l’autre côté où la distance devra être négative. En utili-sant une contrainte de rugosité et une contrainte de valeur zéro sur les points du jeu de données, le résultat de l’interpolation est une fonction de distance signée. Cette méthode présente l’avan-tage de ne pas nécessiter de calcul de normales, ce qui peut s’avérer complexe pour les dômes de sel par exemple. De plus, l’interpolation a lieu sur le maillage tétraédrique, dont la densité peut être adaptée selon les données. Enfin, les contraintes inégalité imposent le signe de la pro-priété de distance, mais pas sa valeur [Frank et al.,2005], contrairement à l’approche proposée parTurk et O’Brien[1999]. Elles influent donc sur l’orientation du gradient de la propriété de distance, mais pas sur sa norme ni sur sa direction. La surface à reconstruire est ensuite extraite par marching tetrahedra.

Implémentation des contraintes dures dans MxDSI

L’implémentation itérative de DSI prend en compte les contraintes d’inégalité et d’égalité stricte, mais ces fonctionnalités n’existaient pas pour l’implémentation matricielle. La prise en charge de contraintes dures par MxDSI, décrite dansMuron et al.[2005], a constitué une partie des travaux de cette thèse.

Le problème DSI avec uniquement les contraintes souples revient à minimiser la rugosité de la fonction ϕ et la violation des contraintes souples par un algorithme de gradient conjugué. La somme de ces deux critères est appelée rugosité globale. Le problème est modifié lorsque des contraintes dures sont introduites : la solution doit à la fois minimiser la rugosité globale et respecter les contraintes dures (figure2.4(a)). Le gradient conjugué simple ne permet pas de trouver cette solution.

Le gradient conjugué minimise la fonction de rugosité globale en se déplaçant pas à pas vers le minimum en suivant des directions de recherche déduites du gradient de la fonction. Après chaque pas du gradient conjugué, si la solution ne respecte pas une contrainte dure, elle est projetée orthogonalement sur l’hyperplan qui la représente [Mallet, 2002a]. Le résultat de cette projection est le point le plus proche à la solution courante qui respecte la contrainte dure (figure2.4(b)).

(a) (b)

FIG. 2.4 : DSI : rugosité globale et contrainte dure.(a)L’ellipsoïde dans Rn·M représente la rugosité globale. H est un hyperplan représentant une contrainte dure. La solution à ce problème DSI se trouve au point le plus bas de l’intersection de l’ellipsoïde et de l’hyperplan, pour lequel la valeur de la rugosité globale est minimale.(b)L’ellipsoïde de rugosité globale est représentée sous forme de lignes de niveau. L’hyperplan H de la contrainte dure est une ligne. Après un pas du gradient conjugué, la solution ϕ peut se trouver du mauvais côté de l’hyperplan H. Afin de respecter la contrainte dure, la solution est projetée orthogonalement sur H.

FIG. 2.5 : DSI : projection sur l’hyperplan des contraintes.

En utilisant les notations définies à la figure2.5, la projection de la solution ϕ sur l’hyper-plan H peut s’écrire (voirMallet[2002a, Chapitre 4]) :

ϕ^∗ = ϕ− µAc ,

avec µ = 1

kAck2 [At

cϕ− bc] .

(2.8)

Le mécanisme des contraintes dures implémenté au cours de cette thèse détermine, à chaque itération du gradient conjugué, si chacune des contraintes dures est vérifiée. Si l’une d’entre elles n’est pas vérifiée, la solution est projetée sur l’hyperplan qui lui correspond, ce qui peut entraî-ner la violation d’une autre contrainte. Le processus de vérification-correction est répété jusqu’à

2.4. Construction de surfaces de faille par la méthode des champs de potentiel