9.2 Modification interactive de la géométrie des failles
9.2.2 Interpolation de l’intensité du déplacement
La figure9.4décrit les étapes de l’outil de modification. L’étape centrale est l’interpolation de l’intensité de déplacement sur le volume de contrôle, qui conditionne la transformation géo-métrique appliquée aux noeuds du maillage et permet la vérification de la validité du maillage déformé.
Trois contraintes sont appliquées à la propriété de déplacement ϕ, définies en chaque noeud α ou en chaque tétraèdre T du volume de contrôle Ω. Une contrainte ci appliquée à la propriété de déplacement ϕ se formule dans le cadre de MxDSI de la manière suivante (voir2.2.3) :
Atc
i · ϕ =X α∈Ω
Aci(α) · ϕ (α) ≃ bci . (9.1)
Contrainte de déplacement
Une contrainte de distance transfère le déplacement des points de contrôle au volume. Soit un point de contrôle P situé dans le tétraèdre T aux sommets {α0, α1, α2, α3}. Soient {g0, g1, g2, g3} ∈ [0, 1]4les coordonnées barycentriques de P dans T . Si ϕp représente la valeur de la propriété de déplacement ϕ au point P , la contrainte MxDSI associée au point de contrôle P s’écrit : Atc· ϕ ≃ bc : Ac(αi) = gi si i ∈ {0, 1, 2, 3} Ac(αi) = 0 si i /∈ {0, 1, 2, 3} bc = ϕp . (9.2)
Sur les bords du volume de contrôle, une contrainte dure fixe l’intensité du déplacement à zéro.
Contrainte de gradient constant
L’intensité du déplacement est contrainte à varier de manière lisse des valeurs données par les points de contrôle à zéro sur les bords du volume de contrôle par la contrainte de gradient constant. Cette contrainte est décrite dans Mallet [2003] et son implémentation est discutée dansMoyen[2005]. Elle est installée sur chaque paire de faces de tétraèdres en contact dans le volume de contrôle, y compris les tétraèdres se trouvant sur la surface de faille modifiée, afin d’assurer la continuité de la déformation à travers la faille.
Contrainte de non-inversion des tétraèdres
Afin de garantir que les tétraèdres ne s’inversent pas au cours de la déformation, ce qui pourrait conduire à un maillage invalide où des arêtes de tétraèdres traversent des faces et où des faces s’intersectent, une contrainte est imposée sur la variation de volume des tétraèdres. Elle impose au volume de chaque tétraèdre de ne pas changer de signe lorsque les tétraèdres sont poussés contre les bords du volume de contrôle ou contre des tétraèdres maintenus en place par d’autres points de contrôle.
Soit T le tétraèdre en cours de déformation, aux noeuds α0, α1, α2, α3se trouvant aux posi-tions x (α0) , x (α1) , x (α2) , x (α3). Les vecteurs x sont des vecteurs tridimensionnels stockant les coordonnées du point α dans le repère géométrique où est défini le modèle tétraédrique. ϕ est l’intensité du déplacement dans la direction W. Soit T∆ le tétraèdre après la déformation. Le but de la contrainte de non-inversion est d’empêcher tout sommet de tétraèdre de traverser la face opposée du tétraèdre. Ceci revient à empêcher le signe du volume algébrique du tétraèdre [Mäntylä,1988] de changer.
Après la déformation, le volume algébrique V (T∆) du tétraèdre T∆est : V (T∆) = 1
6[(x (α1) + ϕ (α1) · W − x (α0) − ϕ (α0) · W) × (x (α2) + ϕ (α2) · W − x (α0) − ϕ (α0) · W)]
· (x (α3) + ϕ (α3) · W − x (α0) − ϕ (α0) · W) .
(9.3)
Si on définit les vecteurs d1, d2, d3 tels que :
d1 = x (α1) − x (α0) , d2 = x (α2) − x (α0) , d3 = x (α3) − x (α0) , (9.4) l’équation (9.3) devient : 6V (T∆) = [(d1+ (ϕ (α1) − ϕ (α0)) W) × (d2+ (ϕ (α2) − ϕ (α0)) W)] · [d3+ (ϕ (α3) − ϕ (α0)) W] . (9.5)
9.2. Modification interactive de la géométrie des failles En remarquant que d1 × d2· d3 = 6V (T ) et en ne conservant que les termes de premier ordre, on obtient : 6V (T∆) ≃ 6V (T ) + (ϕ (α2) − ϕ (α0)) · (d3× d1) · W + (ϕ (α1) − ϕ (α0)) · (d2× d3) · W + (ϕ (α3) − ϕ (α0)) · (d1× d2) · W . (9.6)
Le but de la contrainte est d’assurer que le signe de V (T∆) est le même que le signe de V (T ). Une manière d’y parvenir est de contraindre ϕ de manière à ce que :
V (T∆) · V (T ) ≥ 0 . (9.7) En utilisant l’équation (9.6) : 0 ≤ 6V2 (T ) + (ϕ (α2) − ϕ (α0)) V (T ) · (d3× d1) · W + (ϕ (α1) − ϕ (α0)) V (T ) · (d2× d3) · W + (ϕ (α3) − ϕ (α0)) V (T ) · (d1× d2) · W . (9.8)
En reformulant l’équation précédente en termes de contrainte MxDSI sur ϕ, on obtient :
Act· ϕ ≥ bc : Ac(α1) = V (T ) · (d2× d3) · W Ac(α2) = V (T ) · (d3× d1) · W Ac(α3) = V (T ) · (d1× d2) · W Ac(α0) = −Ac(α1) − Ac(α2) − Ac(α3) Ac(αi) = 0 si i /∈ {0, 1, 2, 3} bc = 6V2(T ) (ǫ − 1) avec ǫ ∈ [0, 1[ . (9.9)
Afin d’assurer l’efficacité de la contrainte de non-inversion, comme les termes de second ordre sont négligés, le terme bc de la contrainte est choisi comme 6V2(T ) (ǫ − 1) avec ǫ ≈ 0.1. La valeur choisie pour ǫ contrôle jusqu’où le maillage peut se rapprocher de l’inversion. Une faible valeur, comme par exemple ǫ = 0.05, autorise la formation de tétraèdres presque plats. Une valeur plus élevée, comme ǫ = 0.2, garantit que les tétraèdres conservent un certain volume au cours de la déformation mais la modification est interrompue plus près du point de départ.
Cette contrainte est installée sur tous les tétraèdres du volume de contrôle. Le mécanisme de respect des contraintes d’inégalité dans MxDSI implémenté au cours de ces travaux de thèse est décrit au paragraphe2.3.2. Ce mécanisme corrige la fonction ϕ de manière à ce que la contrainte soit respectée, modifiant le déplacement des noeuds pour qu’aucune inversion n’ait lieu. Si le déplacement dans une direction entraînerait une inversion du maillage et que la fonction ϕ ne peut pas être corrigée pour respecter la contrainte d’inégalité au cours du nombre limité d’ité-rations du gradient conjugué effectuées par MxDSI, l’impossibilité de fournir un déplacement
valide est signalée, ce qui permet à l’outil de modification s’interrompre avant le déplacement des noeuds.
La contrainte de non-inversion sur les tétraèdres est une sécurité non négligeable sur la rec-tification de volumes. En deux dimensions, par exemple en appliquant la même méthodologie à des surfaces triangulées, l’utilisateur peut facilement évaluer de lui-même le moment où les triangles vont s’inverser et stopper la modification [Tertois et al., 2005]. Sur un maillage tridi-mensionnel, il est beaucoup plus difficile d’estimer le moment où la déformation va trop loin et où les tétraèdres commencent à s’inverser. La contrainte de non-inversion permet de corriger la fonction de déplacement afin d’éviter les inversions et de stopper la modification si elle ne peut pas être corrigée.