Une plus grande classe de feedback stabilisant

Pour d´emontrer le Th´eor`eme 2.1, nous avons propos´e deux lois de commande qui r´ealisent statiquement ou dynamiquement :

G(x1, x2, y, u)u ≤ 0, (2.73)

G(x₁, x₂,0,0) = 0 =⇒ G(x₁, x₂,0, u)u < 0 . (2.74) En fait d’autres lois de commande sont possibles. Pour les mettre en ´evidence, il faut en premier lieu remarquer qu’il est trop restrictif d’imposer (2.73). En effet, pareil choix ne tire pas profit de la n´egativit´e apport´ee par le terme −¹₄κ(V(y))W(y), i.e. de la marge de stabilit´e du sous syst`eme en y.

Pour montrer comment ceci peut-ˆetre fait, reprenons le syst`eme (2.1) mais dans un contexte plus r´egulier que celui du Th´eor`eme 2.1. Ainsi, introduisons des versions plus r´eguli`eres des hypoth`eses B0, B1 et B3.2 :

Hypoth`ese B0’ : Les fonctions f0, f1, e1 et h1 sont continues, les fonctionsf2, e0, e2, h0 et h<sub>2</sub> sont de classeC<sup>1</sup> et h<sub>0</sub>, e<sub>0</sub> etf<sub>0</sub> sont z´ero `a l’origine.

Hypoth`ese B1’ : Les fonctionsQ, S et V satisfont l’hypoth`ese B1 et sont de classe C².

Hypoth`ese B3.2’ : La fonction κ(V(y))^∂V_∂y(y)f2(x1, x2, y, u) est de classeC¹ sur Rⁿ×R^m1× R^m2 ×R^q.

Nous allons employer les notations suivantes :

⎧⎪

⎨

⎪⎩

Γ_v(x₁, x₂, y) = ⁷₃^∂V_∂y(y)f₂(x₁, x₂, y,0), Γ(x1, x2, y) = l(Q(x1) +S(x2))

∂Q

∂x1(x1)h2(x1, x2, y,0) +_∂x^∂S

2(x2)e2(x1, x2, y,0)

. (2.75) Remarquons que Γ_v d´epend deV et que

Γ_v(x₁, x₂,0) = 0. (2.76)

La fonction Γ, en revanche, ne d´epend pas de V mais d´epend de l, fonction qui peut ˆetre d´etermin´ee, au moyen de (2.67), `a partir de la seule donn´ee du sous syst`eme en (x₁, x₂). Avec nos nouvelles hypoth`eses qui imposent plus de r´egularit´e, la fonctionG d´efinie en (2.70) est de classeC<sup>1</sup> par rapport `au, pour tout (x1, x2, y). Plus pr´ecis´ement, il existe une fonction continue G(v´erifiant :

<G((x₁, x₂, y, u), u >= G(x₁, x₂, y, u)− G(x₁, x₂, y,0). (2.77) Avec de telles notations, (2.70) devient simplement :

G(x1, x2, y, u) = κ(V(y))Γv(x1, x2, y) + Γ(x1, x2, y)+<G(x( 1, x2, y, u), u > (2.78) et (2.71) :

U˙(x1, x2, y)_(2.1) ≤ −¹₂ l(Q(x1) +S(x2))T(x2) − ¹₄κ(V(y))W(y) (2.79) +

κ(V(y))Γ_v(x₁, x₂, y) + Γ(x₁, x₂, y)+<G((x₁, x₂, y, u), u >

u .

Donc on peut obtenir la stabilit´e asymptotique globale comme dans la preuve du Th´eor`eme 2.1 lorsque on peut d´eterminer une fonction u continue satisfaisant :

|y| = 0 =⇒ −¹₂l(Q(x₁) +S(x₂))T(x₂) − ¹₄κ(V(y))W(y) (2.80) +

κ(V(y))Γv(x1, x2, y) + Γ(x1, x2, y)+<G((x1, x2, y, u), u >

u <0 Γ(x₁, x₂,0)= 0 =⇒

Γ(x₁, x₂,0)+<G((x₁, x₂,0, u), u >

u(x₁, x₂,0)<0 (2.81)

Γ(x₁, x₂,0) = 0 =⇒ u = 0 . (2.82)

Nous avons :

Proposition 2.8 Supposons que le syst`eme (2.1) satisfait les hypoth`eses B0’ B1’, B2 et B3.1 et B3.2’. Alors pour tout u appartenant `a (0,+∞], l’origine peut ˆetre rendue globalement asymp-totiquement stable par un feedback d’´etat born´e par u et de la forme :

u(x1, x2, y) = −β(x1, x2, y) [α(x1, x2, y)κ(V(y))Γv(x1, x2, y) + Γ(x1, x2, y)] (2.83) o`uα et β sont des fonctions continues satisfaisant, lorsque cela est possible,

β(x₁, x₂, y) ≥ 0 , (2.84)

Γ(x1, x2,0) = 0 =⇒ β(x1, x2,0) > 0 , (2.85) W(y) ≥ 3β(x1, x2, y) [α(x1, x2, y)−1]²κ(V(y))|Γv(x1, x2, y)|² , (2.86)

|G((x₁, x₂, y, u(x₁, x₂, y))|β(x₁, x₂, y) ≤ 1

3 , (2.87)

et β est tel que |u(x₁, x₂, y)| est born´ee par u.

Preuve de la proposition 2.8 : Remarquons tout d’abord qu’en raison de B0’ B1’ et B3.2’, la fonctionκ|Γ_v|² est continue et que (2.76), (2.85) et (2.87) impliquent (2.81) et (2.82). Donc reste `a ´etablir seulement (2.80). Puisque, pour tout r´eelsα,β,b etcnous avons :

−(b+c)(αb+c) = (α−1)² 4 b²−

α+ 1 2 b+c

₂

, (2.88)

avec (2.83) pour lois de commande, (2.80) est impliqu´ee par :

|y| = 0 =⇒ (2.89)

−¹₄κ(V)W +β

(α−1)²

4 |κ(V)Γ_v|²−^α+1

2 κ(V)Γ_v+ Γ²

+β²|G| |( ακ(V)Γ_v+ Γ|² <0 . La fonction κ(V)W ´etant d´efinie positive en y et (2.84) et (2.86) ´etant suppos´ees, (2.89) est v´erifi´ee si :

|y| = 0 =⇒ −¹₈[α−1]²κ(V)²|Γ_v|² − α+ 1

2 κ(V)Γ_v+ Γ

² + β|G| |( ακ(V)Γ_v+ Γ|² ≤ 0. (2.90) Puisque (2.87) implique que cette forme quadratique en κ(V)Γ_v et Γ est semi-d´efinie n´egative,

la conclusion s’en suit. 2

Une des caract´eristiques importantes de l’expression (2.83) est que, s’il est possible de prendre α≡0, la loi de commande devient simplement (voir (2.75)) :

u(x1, x2, y) = −β(x1, x2, y)l(Q(x1)+S(x2)) Il n’est donc pas n´ecessaire de connaˆıtre explicitement V pour obtenir une loi de commande s’il est possible d’obtenir une expression pour β ind´ependante de V. D’apr`es la proposition 2.8, cette fonction β doit satisfaire (2.84)-(2.87). Avec (2.85)-(2.86) et α = 0, une condition n´ecessaire pour qu’existe une telle fonctionβ est :

Γ(x1, x2,0) = 0 =⇒ lim inf

y→0

W(y)

κ(V(y))|Γv(x1, x2, y)|² > 0 (2.92) qui, avec la d´efinition (2.75), est garantie si :

lim inf

y−→0

W(y) κ(V(y))^∂V_∂y(y)²

> 0. (2.93)

En fait cette derni`ere condition est ´egalement suffisante lorsque f₂,h₂, e₂ sont Lipschitz en la variable u sur un voisinage de l’origine. Pour voir cela, prenons deux r´eelsR et u strictement positifs et introduisons deux fonctions ind´ependantes deV :

1. Soit ϕRune fonction continue positive `a valeur dans [0,1] telle que :

ϕR(0) = 1 , ϕR(|y|²) = 0 ∀y : |y| ≥ R . (2.94) 2. Soit ψ_R,uune fonction continue satisfaisant :

ψ_R,u(x₁, x₂) ≥ max

|u| . Une telle fonction existe car les fonctions f₂, h2,e2 sont de classe C¹.

Nous avons :

Proposition 2.9 Supposons que le syst`eme (2.1) satisfasse les hypoth`eses B0’, B1’, B2, B3.1 et B3.2’ et que f2, h2, e2 soient localement lipschitzienne `a l’origine en la variable u. Alors si de plus κ est telle que :

il existe pour tout uappartenant `a(0,+∞)un r´eel positifμ appartenant `a(0, u]tel que l’origine du syst`eme (2.1) est globalement asymptotiquement stabilis´e par un feedback d’´etat born´e par u et de la forme :

u(x₁, x₂, y) = − μ ϕ_R(|y|²) Γ(x₁, x₂, y)

ψR,u(x1, x2) (1 +|Γ(x1, x2, y)|) (1 +|f2(x1, x2, y,0)|²) (2.98) o`uμ est un r´eel appartenant `a (0, μ]et Γ est la fonction d´efinie en (2.75).

Preuve : Puisque (2.98) est obtenu `a partir de (2.83), en prenant :

α(x1, x2, y) = 0 , (2.99)

β(x1, x2, y) = μ ϕ_R(|y|²)

ψR,u(x1, x2) (1 +|Γ(x1, x2, y)|) (1 +|f2(x1, x2, y,0)|²) , (2.100) il suffit de v´erifier qu’on a (2.84)-(2.87). Les conditions (2.84)-(2.85) sont satisfaites, par d´efinition, et nous avons :

|u(x₁, x₂, y)| ≤ u . (2.101)

Pour voir que (2.86) est ´egalement v´erifi´ee, nous utilisons le lemme suivant :

Lemme 2.10 Si (2.97) est v´erifi´ee, il existe un r´eel strictement positiveξ_W tel que : W(y)

κ(V(y))|Γv(x1, x2, y)|² ≥ ξ_Wϕ_R(|y|²)

1 +|f2(x1, x2, y,0)|² . (2.102) Preuve : Nous d´eduisons imm´ediatement de (2.97) que :

|yinf|≤R

W(y) κ(V(y))^∂V_∂y(y)²

= ξ_W > 0. (2.103)

Donc :

|yinf|≤R

W(y)

κ(V(y))^∂V_∂y(y)f₂(x₁, x₂, y,0)² ≥ ξ_W

1 +|f₂(x₁, x₂, y,0)|² , ∀y : |y| ≤ R . (2.104) Grˆace `a la d´efinition deϕ_R, l’in´egalit´e (2.102) s’en suit. 3 Alors, puisque (2.100) implique que β(x₁, x₂, y) est nulle quand |y|est plus large que R, il s’en suit que :

3β(x₁, x₂, y)κ(V(y))|Γ_v(x₁, x₂, y)|² ≤ 3μ

ξ_W W(y) . (2.105)

Par cons´equent (2.86) est v´erifi´ee lorsqueμ < ¹₃ξW. Pour obtenir (2.87), un lemme est n´ecessaire :

Lemme 2.11 Il existe une constante strictement positive ξ_G(telle que :

|y| ≤ R =⇒ ψ_R,u(x₁, x₂) ≥ ξ_G(|G((x₁, x₂, y, u(x₁, x₂, y))| . (2.106)

Preuve : De la d´efinition de G(, de (2.77), (2.70), (2.67), (2.95) et de (2.101), nous d´eduisons que pour tout |y|plus petit que R :

|G((x₁, x₂, y, u(x₁, x₂, y))| ≤

κ(V(y)) ∂V

∂y(y) + 1

ψ_R,u(x₁, x₂) . (2.107) L’implication (2.106) est obtenue avec :

ξ_G( = min

|y|≤R

⎧⎨

⎩

1

κ(V(y))^∂V_∂y(y)+ 1

⎫⎬

⎭ (2.108)

3

Pout tout (x₁, x₂, y), nous avons donc maintenant :

ψR,u(x1, x2)β(x1, x2, y) ≥ ξ_G(|G(x( 1, x2, y, u((x1, x2, y)))|β(x1, x2, y). (2.109) Mais par (2.100), nous obtenons :

ψ_R,u(x₁, x₂)β(x₁, x₂, y) = μ ϕ_R(|y|²)

(1 +|Γ(x1, x2, y)|) (1 +|f2(x1, x2, y,0)|²) ≤ μ . (2.110) Par cons´equent, une constanteμ satisfaisant :

μ ≤ ¹₃ξ_G( (2.111)

est suffisante pour que (2.87) soit v´erifi´ee.

Finalement, en prenant :

0 < μ ≤ μ = min

$1

3ξW,¹₃ξ_G(, u

%

, (2.112)

les hypoth`eses de la proposition 2.8 sont toutes v´erifi´ees ce qui implique que la conclusion de la

proposition 2.9 l’est ´egalement. 2

Remarque 2.12 :

1. Comme nous l’avons d´ej`a pr´ecis´e, l’int´erˆet de la loi de commande (2.98) vient de ce qu’elle ne d´epend pas des fonctionsV et k. Par contre, elle fait intervenir le param`etreμ `a r´egler.

Nous savons qu’en le prenant suffisamment petit, nous aurons une solution •

2. Si l’approximation lin´eaire du sous syst`eme eny de (2.1), est asymptotiquement stable, alors V peut ˆetre choisie de fa¸con que^∂V_∂y soit du premier ordre et queW soit born´ee inf´erieurement par une forme quadratique d´efinie positive sur un voisinage de z´ero (voir Lemme 6.2 en Annexe G). En ce cas, la condition (2.97) est satisfaite •

3. Si les fonctions f₂,e₂ eth₂ ne d´ependent pas de u, alorsG(est 0 et (2.98) se simplifie en : u(x₁, x₂, y) = − μ ϕ_R(|y|²) Γ(x₁, x₂, y)

(1 +|Γ(x₁, x₂, y)|) (1 +|f₂(x₁, x₂, y)|²) • (2.113)

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