Cas g´ en´ eral

a des syst`emes de la forme (2.344). Toutefois, sous des hypoth`eses l´eg`erement plus restrictives, il est possible d’am´eliorer le r´esultat de ce th´eor`eme et d’obtenir l’uniforme asymptotique stabilit´e d´esir´ee pour la solution (X_r, Y_r).

6.4.1 Cas p´eriodique.

Traitons tout d’abord du cas o`u la trajectoire de r´ef´erence (X<sub>r</sub>(t), Y<sub>r</sub>(t)) et la loi de commande ur(t) sont des fonctions p´eriodiques en t et de p´eriode T. Ce cas particulier est important car dans la pratique des trajectoires de r´ef´erence p´eriodiques se pr´esentent fr´equemment. De plus, il est `a noter que le corollaire qui suit se combine parfaitement avec le Th´eor`eme 5.4 de la section 5 et que l’un et l’autre peuvent ˆetre appliqu´es de fa¸con r´ecursive `a des syst`emes de la forme (2.344).

Corollaire 6.4 Supposons que les hypoth`eses du Th´eor`eme 6.1 soient v´erifi´ees et que les fonc-tions (Xr(t), Yr(t), ur(t)) soient p´eriodiques en la variable t et de p´eriode T. Alors la solution (Xr, Yr) du syst`eme (6.1) boucl´e avec (6.44) est une solution globalement uniform´ement asymp-totiquement stable si λest choisie p´eriodique en temps et de p´eriodeT. ¹

Preuve : Supposer que les fonctions (X_r(t), Y_r(t), u_r(y, t)) sont p´eriodiques en temps et de p´eriode T et choisir λ(X, Y, .) p´eriodique et de p´eriode T implique que le syst`eme (6.24) est p´eriodique en temps. D’un autre cˆot´e, ce syst`eme boucl´e avec la loi de commande (6.44) admet z´ero comme solution localement asymptotiquement stable et toutes ses solutions tendent vers z´ero en +∞. Par cons´equent, grˆace `a [83, Theorem 11.3], nous savons que z´ero est solution globalement uniform´ement asymptotiquement stable du syst`eme (6.24) boucl´e avec la loi de

commande (6.44). Le r´esultat d´esir´e s’en suit. 2

6.4.2 Cas g´en´eral.

Le r´esultat que nous pr´esentons maintenant est une version non autonome du Corollaire 2.16 de la section 2.2.3.3. Il pr´esente l’avantage de pouvoir ˆetre appliqu´e de fa¸con r´ecursive `a des syst`emes de la forme (2.344).

Th´eor`eme 6.5 Si les hypoth`eses H0, H1, H2 sont v´erifi´ees et si la paire (M, D(t)Q), o`u D(t) est donn´ee en (6.11) et Q est une matrice sym´etrique d´efinie positive v´erifiant (6.37), est uniform´ement observable, alors pour tout uappartenant `a(0,+∞], la solution(X_r, Y_r)peut ˆetre rendue solution globalement uniform´ement asymptotiquement stable du syst`eme (6.1) au moyen d’un bouclage d’´etat u(X, Y, t)tel que :

|u(X, Y, t)− u_r(t)| ≤ u . (6.65)

1Cette derni`ere condition n’est pas restrictive, un tel choix ´etant toujours possible d`es que les fonctions (Xr(t), Yr(t), ur(y, t)) sont de p´eriode T.

Preuve. Pour le syst`eme (6.24), nous allons construire une fonction de Lyapuonv d´ependante du temps assign´ee strictement par une loi de commande de la forme (6.44). Pour obtenir ce r´esultat, nous allons proc´eder d’une fa¸con analogue `a celle employ´ee pour prouver le Corollaire 2.16.

Commen¸cons par remarquer que dans les hypoth`eses du Th´eor`eme 6.5 sont incluses celles du Th´eor`eme 6.1. Donc pour une fonctionU donn´ee en (6.38) et une loi de commandev donn´ee en (6.44), on a l’in´egalit´e (6.47).

Observons que la fonction λ qui intervient dans la formule (6.44) peut ˆetre choisie ind´ependante de x et de t puisque d’une part, d’apr`es H0, la solution (Xr(t), Yr(t), ur(t)) est born´ee sur [0,+∞) et que d’autre part <sub>λ(x,y,t)</sub><sup>|v|</sup> , o`u v est donn´ee en (6.44), peut ˆetre major´ee par une fonction d´ependante seulement de y. Pour voir cela, il suffit de d’adapter les calculs de l’annexe C, `a partir de (C.69).

Notons doncλ(x, y, t) parλ(y) et posons λ0=λ(0). Alors, on a : v(0, x, t) = −λ0

σ(|x|Q)

|x|Q

D(t)Qx . (6.66)

Choisissons pour σ est une saturation lin´eaire²born´ee par 1 et lin´eaire sur ]−¹₂,¹₂[.

Afin d’exploiter (6.66), commen¸cons par prouver le lemme suivant : Lemme 6.6 Consid´erons le syst`eme suivant :

˙

x = M x−λ₀σ(|x|Q)

|x|Q

D(t)D(t)Qx . (6.67)

o`uM est une matrice v´erifiant (6.37), avecQune matrice sym´etrique d´efinie positive, o`uλ0 est une constante strictement positive et o`u σ est une saturation lin´eaire born´ee par 1 et lin´eaire sur ]−<sup>1</sup><sub>2</sub>,<sup>1</sup><sub>2</sub>[. Supposons que la paire(M, D(t)Q) soit uniform´ement observable. Alors, il existe une fonction Oappartenant `a la famille d´efinie en (2.152) telle que :

O˙_(6.67)(x) ≤ −1

2|x|² . (6.68)

Preuve du Lemme 6.6. Commen¸cons par ´etablir que, pour toutε >0, la fonction matricielle (M−εD(t)D(t)) est uniform´ement asymptotiquement stable. On a :

Q[M−εD(t)D(t)Q] + [M−εD(t)D(t)Q]Q + 2εQD(t)D(t)Q = 0 (6.69) Donc, la d´eriv´ee de xQx le long de :

˙

x = (M−εD(t)D(t)Q)x (6.70)

est donn´ee par :

˙

xQx = −2εQD(t)D(t)Q . (6.71)

D’un autre cˆot´e, puisque (M, D(t)Q) est suppos´ee ˆetre uniform´ement observable, il en est de mˆeme de ((M −εD(t)D(t)Q, D(t)Q). Avec (6.71), on en d´eduit imm´ediatement de [32, Chapter 4, Example 4.7] que la fonction matricielle (M−εD(t)D(t)) est uniform´ement asymp-totiquement stable.

2Voir les d´efinitions de base

Il s’en suit d’apr`es [32, Chapter 4, Theorem 4.3] qu’il existe une matrice Q_ε(t) telle que : ˙

xQ_ε(t)x_(6.70) = − |x|² . (6.72)

Etablissons maintenant la stabilit´e asymptotique uniforme de (6.67).

On a :

˙

xQx_(6.67) = −λ₀σ(|x|Q)

|x|Q |D(t)Qx|² . (6.73)

Consid´erons O(x) d´efinie en (2.152) en prenantε=λ0et en gardantqpour l’instant quelconque.

O(x) =˙ −2λ₀qσ(|x|Q)|x|Q|D(t)Qx|² − |x|²+ 2xQ_λ0(t)λ₀ Donc, pour une constantec >0 :

O(x)˙ ≤ −λ0qσ(|x|Q)|x|Q|D(t)Qx|² − |x|²+ cλ₀|x|

Finalement, on a donc pour un tel choix pour q :

O(x)˙ ≤ −λ0qσ(|x|Q)|x|Q|D(t)Qx|² − 1

2|x|² < 0 , ∀x= 0 . (6.78)

Ceci termine la preuve du Lemme 6.6. 2

Prenons maintenant la d´eriv´ee del(O(x)) le long de (6.24) en boucle ferm´ee lorsque l est la fonction donn´ee en (2.151).

Grˆace `a (6.32) : ˙

l(O(x)) ≤ −¹₂l(O(x))|x|²− ^λ₂^0ql(O(x))σ(|x|Q)|x|Q|D(t)Qx|²+γ(|y|)|y|² +l(O(x))^∂O_∂x(x)|h2(y, v(y, x, t), t)−h(0,0, t)||v(y, x, t)|

+l(O(x))^∂O_∂x(x)|D(t)||v(y, x, t) − v(0, x, t)|.

(6.80)

Grˆace au fait queh2 etv sont de classeC¹ et que |v|et|D(t)|sont born´ee, on d´eduit l’existence d’une constantec >0 et d’une fonction ξ continue telles que :

l(O(x)) ∂O

∂x(x)

|D(t)||v(y, x, t) − v(0, x, t)| ≤ cl(O(x)) ∂O

∂x(x)

ξ(|y|)|y| (6.81)

|h2(y, v(y, x, t), t)−h(0,0, t)| ≤ ξ(|y|)|y|+c|v(y, x, t)| (6.82) L’in´egalit´e (6.81) donne, pour toutη >0,

l(O(x)) ∂O

∂x(x)

|D(t)||v(y, x, t) − v(0, x, t)| ≤ cξ(|y|)²|y|²+η

l(O(x)) ∂O

∂x(x) ₂

≤ cξ(|y|)²|y|²+cηl(O(x))|x|² . Donc, pour η suffisamment petit,

l(O(x)) ∂O

∂x(x)

|D(t)||v(y, x, t) − v(0, x, t)| ≤ cξ(|y|)²|y|²+ 1

8l(O(x))|x|² . (6.83) L’in´egalit´e (6.82) donne :

|h₂(y, v(y, x, t), t)−h(0,0, t)||v(y, x, t)| ≤ cξ(|y|)²|y|²+c|v(y, x, t)|²

≤ cξ(|y|)²|y|²+c|v(0, x, t)|² +c(|v(0, x, t)| − |v(y, x, t)|) Et donc, v ´etant born´ee et C¹, pour une fonctionξ₂(|y|) positive et continue, on a :

|h₂(y, v(y, x, t), t)−h(0,0, t)||v(y, x, t)| ≤ cξ(|y|)²|y|²+c|v(0, x, t)|²+cξ₂(|y|)|y|

≤ cξ3(|y|)|y|+c λ0

σ(|x|Q)

|x|Q

D(t)Qx

²+cξ2(|y|)|y|. Donc, pour tout η >0 :

l(O(x))^∂O_∂x(x)|h2(y, v(y, x, t), t)−h(0,0, t)||v(y, x, t)| ≤

cξ(|y|)²|y|²+cηl(O(x))|x|²+cl(O(x))^∂O_∂x(x)λ0σ(|x|Q)

|x|Q D(t)Qx² Par cons´equent,D(t) ´etant born´ee, pourη etλ₀ suffisamment petits, on a :

l(O(x))^∂O_∂x(x)|h2(y, v(y, x, t), t)−h(0,0, t)||v(y, x, t)| ≤

cξ(|y|)²|y|²+¹₈l(O(x))|x|² (6.84)

Grˆace `a (6.83) et (6.84) et (6.80), on obtient, pour une fonction positive continueξ₄ : ˙

l(O(x)) ≤ −1

4l(O(x))|x|²+ξ4(|y|)|y|² . (6.85) D’un autre cˆot´e, grˆace `a (6.47), on a :

˙

U(x, y, t)_(6.1) ≤ −1

2K(V(y, t))W(y, t) (6.86) o`u V et W sont des fonctions v´erifiant (6.33), (6.34) et (6.35). Alors puisque U(x, y, t) ≥ K(V(y, t)), on d´eduit de l’annexe E qu’il existe une fonction K de classe C², de classe K^∞ et de d´eriv´ee strictement positive telle que :

1

4K(U(x, y, t))K(V(y, t))W(y, t) ≥ ξ4(|y|)|y|² . (6.87) Il s’en suit imm´ediatement que :

˙

U(x, y, t) ≤ −1

4K(V(y, t))W(y, t)− 1

4l(O(x))|x|² (6.88) o`u

U(x, y, t) = l(O(x)) + K(U(x, y, t)). (6.89) Puisque, d’apr`es (6.42),K(s)≥1, on obtient :

˙

U(x, y, t) ≤ −1

4α₃(|y|)− 1

4l(O(x))|x|² . (6.90) Pour conclure notre preuve, il suffit de montrer que le Th´eor`eme 3.1 de [21, Chapter 10]

s’applique.

• On a :

K(K(α₁(|y|))) +l(O(x)) ≤ U(x, y, t) ≤ l(O(x)) +K(K(α₂(|y|)) +c|x|Q) . (6.91) Donc U(x, y, t) est ” positive definite ” et ” possess an infinitely small upper bound ” au sens des d´efinition de [21, Chapter 10, paragraph 3].

• Le membre de droite de l’in´egalit´e (6.90) est constitu´ee d’une fonction ” positive definite

”.

2

Application : Mouvement p´ eriodique du syst` eme pendule chariot.

Nous allons maintenant donner un exemple qui illustre comment les th´eor`emes 5.4 et 6.1 peuvent ˆetre appliqu´es de fa¸con r´ecursive `a un syst`eme de forme feedforward et ˆetre combin´es entre eux.

Le syst`eme que nous consid´erons est le syst`eme pendule-chariot d`ej`a ´etudi´e `a la section 2.5.4.

Nous nous donnons pour objectif de stabiliser globalement asymptotiquement celui-ci autour d’une trajectoire de r´ef´erence p´eriodique et allons traiter ce probl`eme en deux temps :

• D´etermination d’une trajectoire de r´ef´erence et de sa commande associ´ee.

• Stabilisation uniforme asymptotique globale de la trajectoire pr´ec´edemment d´etermin´ee.

Nous souhaitons donner `a l’angle du pendule un mouvement oscillatoire d’une amplitude stricte-ment inf´erieure `a ^π₂. En raison de cette contrainte, nous pouvons op´erer sur les ´equations initiales (11) ou bien sur celles obtenues apr`es le changement de variables (2.441) ou encore sur celles qui sont donn´ees en (2.444) et qui se d´eduisent des pr´ec´edentes par un changement de variables et de loi de commande. Ces derni`eres pr´esentent l’avantage de n’avoir de non-lin´earit´es pr´esentes que dans le sous syst`eme en (t₁, r₁) et de pouvoir ˆetre modifi´ees de la fa¸con suivante : Le changement de loi de commande

u = r1+v (7.1)

transforme le syst`eme (2.444) en :

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

˙

x1 = s1−t1

˙

s₁ = −r₁− v t˙1 = r1

˙

r₁ = −(t₁+ 2r₁)

1 +t²₁− v 1 +t²₁

(7.2)

et le changement de variables :

x₂ = x₁ , s₂ = s₁+t₁ , t₂ = t₁ , r₂ = r₁ , (7.3)

donne : ⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎩

˙

x2 = s₂− t₂

˙

s₂ = −v t˙₂ = r₂

˙

r2 = −(t2+ 2r2)

1 +t²₂− v 1 +t²₂

(7.4)

139

7.1 Construction d’une trajectoire de r´ ef´ erence.

Le probl`eme que nous nous posons est celui de trouver une loi de commandev<sub>r</sub> et des fonctions (x2r, s2r, t2r, r2r), solution du syst`eme pr´ec´edent avecvr pour loi de commande, telles que

Pours_2r nous pouvons donc choisir :

s_2r(t) = 2 cos(t) + sin(t)− arcsin

Pourx_2r nous pouvons donc choisir :

x2r(t) = − cos(t)−

qui est une fonction born´ee car :

& _2π

En conclusion, nous avons ´etabli que la trajectoire x_2r(t) = −cos(t)− sont solution du probl`eme de suivi exact de la sortiet_2r(t) = cos(t).

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