2.2 Synth` ese de Lyapunov
2.3.3 Un deuxi` eme type de changement de coordonn´ ees
⎩
˙
x1 = M1x1 , ∂Q∂x(x1)h0(x1) = 0 ,
∂Q
∂x(x1)
h2(x1,0,0,0) +∂P∂y1(0)f2(x1,0,0,0)− < ∂P∂y2(0), f2(x1,0,0,0)> x1
= 0 . (2.243) Ainsi le changement de coordonn´ees introduit les fonctions
∂P1
∂y (0)f2(x1,0,0,0) , − < ∂P2
∂y (0), f2(x1,0,0,0)> x1
qui peuvent faire que B2 soit satisfaite dans les coordonn´ees (x1, y), alors qu’elle ne l’´etait pas dans les coordonn´ees (X1, Y), ou vice versa! Ce ph´enom`ene a ´et´e soulign´e en consid´erant les syst`emes (2.2) et (2.214)•
2.3.3 Un deuxi`eme type de changement de coordonn´ees.
D´ecomposons maintenant la fonctionH1Y de la fa¸con suivante :
H1(X1, X2, Y)Y = H13(X1)Y + H14(X1, X2, Y), (2.244) avec
H13(X1) = H1(X1,0,0). (2.245) Remarquons que si :
∂H1
∂X2
(X1, X2,0) = 0, (2.246)
alors H14 est du second ordre en Y = 0. Ainsi nous consid´erons le syst`eme auxiliaire suivant :
⎧⎨
⎩
X˙1 = M1X1 + H13(X1)Y Y˙ = F0(Y)
(2.247) Pour ce syst`eme, nous cherchons un changement de coordonn´ees qui soit tel que la fonction H13(X1)Y soit remplac´ee par une fonction d’ordre sup´erieur ou ´egal `a 2 enY = 0.
De fa¸con `a pr´eserver les propri´et´es de croissance en X1 de H13(X1), nous nous restreignons
`
a un changement de coordonn´ees de la forme :
⎛
⎝ x1 y
⎞
⎠ =
X1+L(X1)P(Y) Y
(2.248)
o`u la fonction matricielleLet la fonctionP sont `a choisir de classeC2,P devant de plus v´erifier :
P(0) = 0 . (2.249)
Remarquons que si la fonction∂X∂L1 est born´ee et plus exactement si, pour toutX1, ∂L
∂X1(X1)
≤ c , (2.250)
alors le changement de coordonn´ees donn´e ci-dessus est un vrai diff´eomorphisme global si, pour tout Y,
|P(Y)| ≤ 1
(1 +ε)c (2.251)
avecε >0. En particulier, on a dans ce cas :
|X1| ≤ 1 +ε
ε |x1−L(0)P(y)| , |X1−x1| ≤ (|L(0)|+c|X1|)|P(y)|. (2.252) Dans ces nouvelles coordonn´ees, le syst`eme (2.247) s’´ecrit :
⎧⎨
⎩
˙
x1 = M1x1 + h13(x1, y)y
˙
y = f0(y)
(2.253) avec :
h13(x1, y) =
"
−M1L(X1) + < ∂X∂L
1(X1),[M1X1+H13(X1)y]>
# & 1
0
∂P
∂Y(sy)ds (2.254) +H13(X1) + L(X1)∂Y∂P(y)
& 1
0
∂F0
∂Y (sy)ds ,
f0(y) = F0(y). (2.255)
Avec (2.252), nous voyons que la fonctionh13 est d’ordre 1 eny= 0 et que la condition (2.251) est satisfaite, si nous choisissons :
P(y) = 1
1 + (1 +ε)2c2|y|2 y (2.256) et avons pour fonction L une fonction de classe C2, v´erifiant (2.250) et solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles suivante :
−M1L(X1) + < ∂L
∂X1(X1), M1X1> +H13(X1) + L(X1)A = 0. (2.257) Nous remarquons que s’il existe une solutionL `a cette ´equation, alors l’ensemble
{(L(X1), X1) : X1∈Rm1} est une vari´et´e invariante du syst`eme :
⎧⎨
⎩
Z˙ = M1Z − Z A − H13(X1) X˙1 = M1X1
(2.258)
Cette remarque nous donne l’expression formelle suivante pourL : L(X1) =
& +∞
0
exp(−M1s)H13(exp(M1s)X1) exp(As)ds . (2.259) On en d´eduit :
Lemme 2.23 Supposons que :
1. il existe un nombre r´eel positifc tel que, pour tout X17, ∂H13
∂X1
(X1) +
∂2H13
∂2X1
(X1)
≤ c (2.260)
3. la matrice M1 est stable,
4. il existe un nombre r´eel strictement positifc tel que, pour tout s≥0,
|exp(−M1s)|"
1 +|exp(M1s)|2#
|exp(As)| ≤ c exp(−cs) . (2.261) Alors la fonction L donn´ee par (2.259) est bien d´efinie, de classe C2, solution de (2.257) et v´erifie (2.250). De plus, la fonctionh13, d´efinie en (2.254), v´erifie, pour tout (x1, y) :
|h13(x1, y)| ≤ |y|(1 +|x1|)γ(|y|) (2.262) o`uγ est une fonction positive continue.
Remarque 2.24 :
1. Ce second changement de coordonn´ees est int´eressant car il permet de traiter des syst`emes plus complexes que le premier. Par contre il a l’inconv´enient de demander le calcul explicite d’une solutionLappropri´ee de l’´equation aux d´eriv´ees partielles (2.257), tˆache beaucoup plus ardue que celle de r´esoudre les syst`emes lin´eaires donnant les fonctionsP1 etP2. Remarquons toutefois que, lorsqueM1 = 0, on a simplement :
L(X1) = −H(X1)A−1 . (2.263)
Il est ´egalement important d’observer que, dans le contexte du premier changement de co-ordonn´ees, la r´esolution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles (2.234) peut nous permettre de supprimer compl`etement le terme de couplage en h1. Tel n’est pas le cas avec ce second changement de coordonn´ees : seuls les termes du premier ordre en y= 0 sont ´elimin´es• 2. Comme (2.226)-(2.227), la condition (2.261) est une condition de s´eparation spectrale entre
A et M1. Cette derni`ere est cependant plus restrictive car impose que le spectre de A soit suffisamment `a gauche dans le plan complexe par rapport au spectre de M1 •
Nous n’aurons pas par la suite l’occasion d’illustrer le fonctionnement de ce changement de variable. Aussi proposons-nous ici l’exemple acad´emique suivant :
Example 2.25 : Consid´erons le syst`eme :
⎧⎨
⎩
X˙ = 1+XX 2Y + u2
Y˙ = −Y + exp(−Y2−X2)Y2 + u
(2.264) Le terme de couplage gˆenant est :
H1(X, Y) = H13(X) = X
1 +X2 . (2.265)
7Puisque la fonctionH1est de classeC3,H13est de classeC3
Puisque M1 = 0 etA=−1, la formule (2.263) nous donne la fonction :
le changement de coordonn´ees (2.248) est un diff´eomorphisme global qui s’´ecrit : x
Pour ces nouvelles coordonn´ees, on obtient en particulier :
˙ Maintenant, le terme de couplage sur la premi`ere ligne est du second ordre eny= 0. Il est aussi born´e enx– puisqu’il l’est enX –. Pour obtenir une loi de commande qui stabilise globalement asymptotiquement, il suffit alors d’appliquer le Th´eor`eme 2.1. Ainsi, prenons :
U(x, y) = 1 2
x2+ 15y2
(2.270) comme fonction de Lyapunov susceptible d’ˆetre strictement assignable. Calculons sa d´eriv´ee par rapport au temps en utilisant l’expression obtenue pour la d´eriv´ee de x :
˙
Apr`es des calculs interm´ediaires, on obtient : ˙ On montre alors ais´ement que le bouclage :
us = − 1
et donc est globalement asymptotiquement stabilisant. 3 Preuve du Lemme 2.23 : D´efinissons la fonction Δ ainsi :
Δ(s, X1) = exp(−M1s)H13(exp(M1s)X1) exp(As) . (2.275) Grˆace `a (2.260), on obtient :
|H13(X1)| ≤ c(1 +|X1|) (2.276) et donc :
|Δ(s, X1)| ≤ c|exp(−M1s)|(1 +|exp(M1s)X1|)|exp(As)|
≤ c|exp(−M1s)|(1 +|exp(M1s)|)|exp(As)|(1 +|X1|) .
(2.277)
Grˆace `a (2.261), on en d´eduit que :
|Δ(s, X1)| ≤ c exp(−cs)(1 +|X1|). (2.278) Il s’en suit imm´ediatement que L(X1) donn´ee par (2.259) est bien d´efinie pour tout X1 dans Rm1.
Pour montrer que cette fonction est de classeC2, montrons tout d’abord qu’elle est de classe C1. Pour obtenir ce r´esultat, nous v´erifions si les hypoth`eses de [14, Theorem (3.150)] le sont.
1. Pour tout s∈R≥0, la fonction Δ(s, X1) est continuement diff´erentiable.
2. Nous avons :
∂
∂X1
Δ(s, X1) = exp(−M1s)< ∂H13
∂X1
(exp(M1s)X1),exp(M1s)>exp(As) . (2.279) Grˆace `a (2.260) et (2.261), il s’en suit que :
∂
∂X1Δ(s, X1)
≤ c|exp(−cs)|. (2.280)
pour toutX1 dansRm1 et tout sdansR≥0.
3. La fonctionc|exp(−cs)|est int´egrable sur [0,+∞).
Ces trois points impliquent que la fonction Lest C1 et que :
∂L
∂X1(X1) =
& +∞
0
exp(−M1s)< ∂H13
∂X1 (exp(M1s)X1),exp(M1s)>exp(As)ds . (2.281) Pour montrer que la fonctionLest de classeC2, il suffit de proc´eder d’une fa¸con analogue `a celle que nous venons d’employer pour montrer qu’elle est de classeC1 en substituant la fonction :
exp(−M1s)< ∂H13
∂X1 (exp(M1s)X1),exp(M1s)>exp(As)
`
a la fonction Δ.
Maintenant, pour montrer queL d´efinie en (2.259) est solution de (2.257), il suffit de mon-trer que L(exp(M1t)X1) est une solution de (2.258). Ce r´esultat s’obtient en observant que L(exp(M1t)X1) v´erifie : puis en d´erivant cette ´egalit´e.
L’´egalit´es (2.281) et les in´egalit´es (2.260), (2.261) impliquent que (2.250) est v´erifi´ee. Le dernier point qui reste `a montrer est donc (2.262).
Grˆace `a (2.257) et (2.254), on a :
Les fonctionsP etF0 ´etant de classeC2, il existe une fonction continue et positiveμtelle que : ∂P Alors, cette in´egalit´e, (2.250) et (2.284) donnent :
|h13(x1, y)| ≤ c|M1||X1|μ(|y|)|y|+ c|H13(X1)||y| Comme on a en outre montr´e l’in´egalit´e (2.276), on obtient :
|h13(x1, y)| ≤ c|M1||X1|μ(|y|)|y|+ c(1 +|X1|)|y| Il s’en suit l’existence de d’une fonction continue positiveζ telle que :
|h13(x1, y)| ≤ c(1 +|X1|)ζ(|y|)|y| (2.289) Grˆace `a (2.252) :
|X1| ≤ 1 +ε
ε (|x1| + |L(0)||P(y)|) . (2.290) L’in´egalit´e (2.262) s’en suit. Ceci termine notre preuve. 2