7.2 Stabilisation asymptotique uniforme globale
7.2.2 Stabilisation du syst` eme global
A nouveau, nous pouvons v´erifie que le Th´eor`eme 6.1 s’applique avec ( ˜s2,t˜2,r˜2) jouant le rˆole de y et ˜x2 celui de x. Comme nous l’avons mentionn´e plus haut, nous ´eliminons le terme du premier ordre en prenant : o`uK d´esigne une fonction dont la d´eriv´ee est strictement positive et croissante.
Prenons la d´eriv´ee de Q3 :
En choisissant : Ceci nous am`ene `a d´eterminer une fonctionk telle que :
1
on obtient (7.44) et (7.45). La loi de commande qui correspond au choix effectu´e pour k est :
˜
Grˆace `a la formule (7.47) que nous venons d’´etablir, nous d´eduisons que la commande : u = r1+√cos(t)
est solution pour le syst`eme (2.444) du probl`eme de suivi asymptotique uniforme de la trajectoire de sortiet1r = cos(t).
Nous avons propos´e une construction Lyapunov de lois de commandes stabilisantes pour la classe des syst`emes de la forme ˙x=h(x, y, u),y˙ =f(y, u) , en ayant suppos´e la stabilisabilit´e asymp-totique globale du sous syst`eme en y. Nous avons ´egalement montr´e que, si cette stabilisation peut se faire au moyen d’une commande satur´ee, il en est de mˆeme pour le syst`eme total. Nous avons appel´e notre technique ajout d’int´egration, puisque les hypoth`eses requises sur le sous syst`eme enx portent principalement sur le fait que les composantes enxint`egrent des fonctions de y et de u.
L’outil technique fondamental peut ˆetre utilis´e de fa¸con combin´ee avec d’autres. En parti-culier, l’avantage qu’il y a `a poss´eder des fonctions de Lyapunov assign´ees fait que celui-ci se combine fort bien avec la technique d’ajout d’un int´egrateur et permet la construction de lois de commande adaptatives (voir `a ce sujet [56]).
Nous avons appliqu´e cet outil de fa¸con r´ecursive pour prouver la stabilit´e asymptotique globale de syst`emes ayant une structure r´ecurrente sp´eciale et dont la forme a ´et´e appel´ee forme feedforward. Ces syst`emes ne sont g´en´eriquement pas lin´earisables pas bouclage dynamique.
En outre, afin d’am´eliorer l’int´erˆet pratique de nos r´esultats, et notamment de pourvoir proc´eder par r´ecurrence de fa¸con explicite, nous avons pu, dans un cas particulier, modifier la fonction de Lyapunov que nous avions employ´ee afin d’obtenir que la d´eriv´ee de Lie de celle-ci soit d´efinie n´egative lorsque les dimensions des variables d’int´egration successivement ajout´ees sont sup´erieure ou ´egale `a deux.
Ensuite, nous avons adapt´e les diverses id´ees dont nous venons de parler au probl`eme im-portant de suivi de trajectoire pour des syst`emes ayant une structure feedforward.
Remarquons que les diverses applications de nos techniques que nous avons effectu´e montre que les preuves de nos r´esultats, de par leur aspect constructif, sont plus utile que ces r´esultats eux mˆeme.
Au cour de ces travaux, ax´es sur des probl`emes profond´ement non-lin´eaires n’employant que peu les propri´et´es v´erifi´ees par les lin´earisations des divers syst`emes consid´er´es et pas du tout celle de partielle lin´earisabilit´e, il est apparut que l’emploi de commandes satur´ees, qui, il n’y a pas longtemps encore, ´etait dans le cas lin´eaire consid´er´e comme mal ais´e, permet d’obtenir d’importants r´esultats qui loin d’ˆetre simplement th´eoriques se sont imm´ediatement av´er´e avoir des applications pratiques int´eressantes. Signalons encore que parmi les am´eliorations qui seraient peut ˆetre susceptibles d’ˆetre apport´ees `a la technique que nous avons propos´e, il pourrait y avoir la mise en place de r´esultats r´ecursif portant sur des syst`emes de formes feedforward pour lesquels l’exponentielle stabilit´e ne serait pas obtenue `a chaque ´etape.
145
A Illustration de [72, Theorem 2.1].
Afin de rappeler de quelle fa¸con proc`ede la technique de stabilisation de syst`emes feedforward au moyen de saturations lin´eaires emboˆıt´ees, nous donnons ici l’Example 4.2 trait´e dans [72].
Le syst`eme consid´er´e est le suivant :
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
˙
x1 = x1+θ(t)x22
˙
x2 = x3
˙
x3 = u
(A.1)
o`uu est l’entr´ee etθ une fonction du temps de norme born´ee par une constanteK connue.
R´esultat. L’origine du syst`eme (A.1) est globalement asymptotiquement stabilis´e et localement exponentiellement stabilis´e par une loi de commande :
u = −σ3(x3+σ2(x2+x3+σ1(x1+ 2x2+x3))) (A.2) o`u chaque σi est une saturation lin´eaire (voir les d´efinitions de base) associ´ee `a des constantes (Li, Mi) choisies de fa¸con appropri´ee.
Preuve. Avec le changement de variables :
y1 = x1+ 2x2+x3 y2 = x2+x3
y3 = x3
(A.3)
et la loi de commande
u = −σ3(x3+σ2(x2+x3+σ1(x1+ 2x2+x3))) (A.4) le syst`eme (A.1) devient :
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
˙
y1 = y2+y3− σ3(y3+σ2(y2+σ1(y1))) +θ(t)(y2−y3)2
˙
y2 = y3− σ3(y3+σ2(y2+σ1(y1)))
˙
y3 = −σ3(y3+σ2(y2+σ1(y1)))
(A.5)
147
Soit V3(y3) = y23. Alors :
V˙3(y3) = −2y3σ3(y3+σ2(y2+σ1(y1))). (A.6) Prenons L3 = 1,M3 = 2 etM2 < 12. Alors, pour une constante c >0
V˙3(y3) < −c , ∀y3 : |y3| ≥ 2M2 . (A.7) Par cons´equent,y3 entre au bout d’un temps fini t3 dans l’ensemble :
Q3 = {y3 : |y3| < 2M2} (A.8) et y reste par la suite. PuisqueL3= 1 etM2 < 12,
u = −y3+σ2(y2+σ1(y1)) , ∀y3 ∈Q3 . (A.9) Donc, pour tout t ≥ t3, le syst`eme (A.5) se comporte comme :
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
˙
y1 = y2− σ2(y2+σ1(y1))) +θ(t)(y2−y3)2
˙
y2 = −σ2(y2+σ1(y1))
˙
y3 = −y3− σ2(y2+σ1(y1))
(A.10)
Etudions maintenant l’´evolution de la variable y2. Prenons M1 < L22. Alors par le mˆeme raisonnement que celui appliqu´e pour prouver que y1 entre dansQ3, on montre que y2 entre au bout d’un temps fini t2 dans l’ensembleQ2 d´efini par :
Q2 = {y2 : |y2| < 2M1} . (A.11) et y reste par la suite. Donc que pour tout t ≥ t2 ≥ t3, le syst`eme (A.5) se comporte comme :
⎧⎪
⎪⎨
⎪⎪
⎩
˙
y1 = −σ1(y1) +θ(t)(y2−y3)2
˙
y2 = −y2− σ1(y1)
˙
y3 = −y3− y2− σ1(y1)
(A.12)
Etudions maintenant l’´evolution de la variable y1. La d´eriv´ee de :
V1(y1) = y12 (A.13)
le long de (A.12) donne
V˙1(y1) = −2y1σ1(y1) + 2y1θ(t)(y2−y3)2 . (A.14) Puisque pour toutt ≥ t2, on a :
|y3| ≤ 2M2 , |y2| ≤ 2M1 ≤ 2M2 , (A.15) pour toutt≥t2, on a :
V˙1(y1) = −2y1σ1(y1) + 32KM22|y1|. (A.16) On peut choisir L1 = M21. Alors la croissance de σ implique que pour tout y1 de norme sup´erieure `aL1,
V˙1(y1) ≤
−M1+ 32KM22M1
2 . (A.17)
Donc, en prenant M2 ∈
0, 1
8√ 2(K+1)
etM1 ∈
64KM22,M22
, on a : V˙1(y1) < −M12
4 , ∀y1 : |y1| ≥ L1 = M1
2 . (A.18)
On en d´eduit qu’au bout d’un temps fini t1,y1 entre dans l’ensembleQ1 d´efini par : Q1 =
y1 : |y1| < M1 2
(A.19) et y reste par la suite. Alors, le syst`eme (A.12) se comporte, apr`es le temps t1 ≥ t2 ≥ t3,
comme : ⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎩
˙
y1 = −y1+ϕ1(y2, y3, t)
˙
y2 = −y2− y1
˙
y3 = −y3− y2− y1
(A.20) avec
ϕ1(y2, y3, t) = θ(t)(y2−y3)2 (A.21) qui v´erifie :
|ϕ1(y2, y3, t)| ≤ 2K(2M1|y2|+ 2M2|y3|) . (A.22) Le syst`eme (A.20) peut donc ˆetre vu comme un syst`eme lin´eaire exponentiellement stable per-turb´e par un terme major´e par une fonction lin´eaire dont les coefficients peuvent ˆetre choisis arbitrairement petits. Donc, en choisissant convenablement M1 et M2, on obtient un syst`eme globalement asymptotiquement stable et localement exponentiellement stable `a l’origine.
Ceci termine notre preuve. 2
B Deux variantes de l’hypoth` ese A2.
Comme nous l’avons mentionn´e dans la section 1.1.2, un des points d´elicats et restrictifs de la technique de Jurdjevic et Quinn est l’hypoth`ese A2. Dans ce paragraphe, nous proposons deux variantes `a cette hypoth`ese A2.