⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
˚x0 = s0
˚s0 = u0
˚θ0 = ω0
˚ω0 = sin(θ0) − u0 cos(θ0)
(11)
Ce syst`eme est sous la forme feedforward (6) avec :
x1 = (θ0, ω0) , x2 = s0 , x3 = x0 . (12) Il nous servira dans diverses occasions `a illustrer de quelle fa¸con nos r´esultats s’appliquent.
2 Remarque concernant la stabilisation asymptotique globale.
2.1 Son int´erˆet.
Les ph´enom`enes physiques qui concernent la th´eorie de la commande sont typiquement de nature locale : aussi peut-il sembler curieux de chercher `a obtenir un r´esultat de stabilit´e asymptotique globale. Une des raisons qui motivent la poursuite de cet objectif vient de l’int´erˆet qu’il peut y avoir `a pouvoir garantir que le bassin d’attraction d’un point d’´equilibre asymptotiquement stable d’un syst`eme contienne un ouvert de Rn diff´eomorphe `a Rn. En effet, en effectuant le changement de variable qui transforme l’ouvert en question en Rn, on se trouve amen´e `a traiter un probl`eme de stabilisation sur un ensemble non born´e. Lors de l’´etude du syst`eme pendule-chariot men´e au paragraphe 2.5.4, nous nous trouverons confront´es `a ce cas de figure : nous souhaitons que le bassin d’attraction du point d’´equilibre soit (−π2,π2)×R3. L’ensemble (−π2,π2) est un ouvert born´e. Nous transformons celui-ci en R au moyen du changement de variables t = tan(θ) et r´esolvons notre probl`eme avec cette nouvelle variable. L’espace des phases est alors R4.
2.2 Diverses approches.
Le fait qu’un syst`eme soit globalement asymptotiquement stable n’implique pas qu’il ait une propri´et´e de robustesse. Lorsqu’un tel syst`eme est soumis `a des perturbations, il se peut mˆeme qu’il admette alors des solutions non born´ees. Il est donc l´egitime de se demander pour un syst`eme :
˙
χ = ϕ(χ) + δ (13)
globalement asymptotiquement stable lorsque δ ≡0, s’il existe une fonctionδ dans Lk[0,+∞), 1≤k, pour laquelle des solutions non born´ees apparaissent.
Pomet et Praly ont montr´e, dans [54], qu’une r´eponse affirmative `a cette question est possible lorsque chaque solution obtenue pour δ≡0 n’est pas localement exponentiellement instable en temps r´etrograde, uniform´ement en la condition initiale.
De ceci, nous concluons que, pour un syst`eme command´e :
˙
χ = ϕ(χ, u) , (14)
il peut ˆetre important de trouver une loi de commande qui non seulement donne `a l’origine la propri´et´e de stabilit´e asymptotique globale mais encore garantisse celle d’instabilit´e exponen-tielle locale en temps r´etrograde pour toutes les solutions. Une fa¸con de satisfaire, au moins
partiellement, `a ces deux exigences, est d’appliquer la technique standard utilis´ee lors de la mise en œuvre de la commande optimale, remise au goˆut du jour dans le domaine de la stabilisation par exemple dans [17] et consistant, dans un premier temps, `a d´efinir une commande boucle ouverte ur(χ0, t) telle que la solution associ´ee χr(χ0, t), issue de la condition initiale donn´ee χ(0) = χ0, rejoigne l’origine, puis dans un deuxi`eme temps `a d´efinir une commande boucle ferm´ee u(χ−χr(χ0, t), χ0, t) stabilisant au moins localement exponentiellement (en temps di-rect) la solutionχr(t). Faisons deux remarques :
1. Si la commandeu(χ−χr(χ0, t), χ0, t) stabilise globalement asymptotiquement uniform´ement χr(χ0, t) alors elle fait ´egalement de l’origine une solution globalement asymptotiquement stable.
2. Une fa¸con de d´efinir ur(χ0, t) est de construire une loi de commande u(χ) stabilisant glob-alement asymptotiquement l’origine et de prendreur solution de :
˙
χ = ϕ(χ, u(χ)) , χ = χ0 , ur(χ0, t) = u(χ) . (15) Cette technique est celle pratiqu´ee usuellement, mais implicitement, pour les syst`emes lin´ eai-res :
˙
χ = A χ + B u . (16)
Soit en effet, F une matrice telle que A−BF soit strictement Hurwitz. Alors les fonctions ur etχr sont donn´ees par :
χr(χ0, t) = exp((A−BF)t)χ0 , ur(χ0, t) = −F exp((A−BF)t)χ0 (17) etul’est par :
u(χ−χr(χ0, t), χ0, t) = ur(χ0, t) − F (χ−χr(χ0, t)) , (18)
= −F χ ! (19)
Ceci justifie en partie l’int´erˆet que nous porterons `a la stabilisation asymptotique globale d’une trajectoire.
3 Ce qui a fortement influenc´ e notre travail.
Le point de d´epart des id´ees que nous avons employ´ees pour traiter les probl`emes de la sta-bilisation que nous avons pr´esent´es trouve son origine dans la th`ese de Andrew Teel : dans ce travail sont ´enonc´es les premiers r´esultats significatifs concernant le probl`eme de stabilisation de syst`emes feedforward de la forme (6), (voir annexe A). La contribution de ce travail a ´et´e telle que la recherche sur le probl`eme de la stabilisation de syst`emes lin´eaires par des commandes satur´ees lui doit un nouvel ´elan. En effet, elle a permis `a Sussmann, Sontag et Yang de proposer, dans [70], une m´ethode de calcul explicite de loi de commande en boucle ferm´ee satur´ee pour les syst`emes lin´eaires et `a Teel, dans [76], et `a Lin et Saberi, dans [61], de prouver la stabilisabilit´e asymptotique de certains syst`emes partiellement lin´eaires (voir Corollaire 2.37).
Le point important mis en ´evidence par Andrew Teel est qu’en fait la connaissance du syst`eme lin´earis´e `a l’origine est d´ej`a suffisante pour permettre proposer une famille de lois de commande contenant un ´el´ement satisfaisant pour le syst`eme trait´e. Ce r´esultat repose sur les deux remarques:
1. Les termes d’ordre ´elev´e (voir nos d´efinitions de base) ne jouent un rˆole que dans le choix de l’´el´ement `a effectuer dans la famille a priori propos´ee mais pas sur la famille elle-mˆeme.
2. Les coordonn´ees qui int`egrent – x2 `a xn dans (6) – doivent ˆetre choisies de sorte que seuls des termes d’ordre ´elev´e apparaissent dans leur d´eriv´ee. Pour satisfaire cette contrainte, des changements lin´eaires de variables ont ´et´e mis en place.
Pour obtenir son r´esultat Andrew Teel a utilis´e des concepts d’interconnexion de syst`emes que nous illustrons sur un exemple simple en Annexe A. Ces concepts ont ´et´e formalis´es dans [77], article o`u A. Teel a notamment introduit la notion de “entr´ee asymptotiquement petite, ´etat asymptotiquement petit”.
L’objectif initial de nos travaux a ´et´e de trouver une contre partie `a l’approche par inter-connexion de syst`emes en termes de fonctions de Lyapunov. Il a pu ˆetre atteint apr`es qu’ait ´et´e effectu´ee la remarque suivante :
Supposons que, dans (5), nous ayons
h(y,0) ≡ 0 ∀y , (20)
et que les fonctions en jeux soient r´eguli`eres, ou plus pr´ecis´ement, que (5) puisse s’´ecrire :
⎧⎨
⎩
˙
x = h2(y, u)u ,
˙
y = f0(y) +f2(y, u)u .
(21)
Alors, siy= 0 est une solution globalement asymptotiquement stable de ˙y=f0(y), le th´eor`eme de Lyapunov inverse [83, Theorem V.19.8] garantit l’existence d’une fonction de LyapunovV(y) telle que :
u = 0 =⇒ ˙
xx+V(y) ≤ −c V(y). (22)
Il s’en suit que nous nous trouvons situ´es dans le cadre de la th´eorie qui a ´et´e d´evelopp´ee `a partir d’un r´esultat de Jurdjevic et Quinn dans [29]. Des am´eliorations importantes apport´ees
`
a celui-ci se trouvent notamment dans [19], [59], [39], [53], [2, Remark 10.9].
En poursuivant dans ce contexte Jurdjevic-Quinn, nous avons pu relˆacher l’hypoth`ese (20).
La combinaison de changements de variables, g´en´eralisant ceux propos´es par Teel, et de cette m´ethode de Lyapunov nous ont alors permis d’obtenir nos divers r´esultats ´etendant quelque peu ceux pr´esent´es dans [72, 75] et de proposer de nouvelles classes de lois de commande contenant
´egalement des fonctions satur´ees.
Au cours de ce travail, nous avons appris que Mrjdan Jankovic, Rodolphe Sepulchre et Petar Kokotovic, avaient propos´e un autre type de fonction de Lyapunov que celui que nous utilisions. Plus pr´ecis´ement, `a la place de notre changement de variables, qui a pour effet indirect d’introduire un terme crois´e de structure particuli`ere dans la fonction de Lyapunov, ces trois auteurs ont propos´e une construction directe, et donc a priori moins restrictive, de ce terme crois´e. Nous d´etaillerons cette proc´edure au Chapitre 3 en la remettant dans notre contexte.
Nous verrons en outre que nos travaux ant´erieurs permettent d’´elargir le domaine d’application de cette nouvelle proc´edure en fournissant une m´ethode de synth`ese de lois de commande `a partir d’un syst`eme approximant le syst`eme donn´e et facilitant ainsi les calculs. L’int´erˆet de celle-ci aurait pu ˆetre rehauss´e si nous avions pu d´eterminer des conditions simples impliquant les hypoth`eses que nous introduisons. Nous avons malheureusement manqu´e du temps qui aurait ´et´e n´ecessaire pour parvenir `a cela ainsi que pour traiter des exemples au moyen de cette m´ethode.