Une mod´ elisation de la phase condens´ ee : l’´ equation de Gross-Pitaevskii 46

Cette partie est d´edi´ee `a la d´erivation de l’´equation de Gross-Pitaevskii pour un gaz dilu´e de bosons. Ce mod`ele d´ecrit les propri´et´es d’un gaz de bosons en interactions `a temp´erature nulle. Nous en pr´esentons une d´erivation “physique” en suivant l’approche propos´ee dans [138]. Elle est bas´ee sur deux hypoth`eses primordiales. D’une part, comme expliqu´e ci-dessus, nous nous pla¸cons dans le cas o`u les distances inter-particules sont grandes devant la longueur de diffusion, ce qui permet de mod´eliser les interactions entre particules par un potentiel effectif d’interaction de contact. Nous justifions cette approxi-mation en Paragraphe 2.2.2. D’autre part, nous utilisons une approximation de champ moyen, appel´ee encore approximation de Hartree. Celle-ci consiste `a supposer que la fonc-tion d’onde Ψ d’un ensemble de N atomes est tensoris´ee comme produit de la fonctions d’ondeφ`a une particule,

Ψ(t,r₁,r₁, . . . ,r_N) =

N

Y

j=1

φ(t,r_j), (2.10)

o`uφest normalis´ee,

Z

R³|φ(r)|²dr= 1.

Cette approche permet d’approximer l’´energie du syst`eme uniquement en fonction de la fonction d’ondeφ. Il est alors convenable de renormaliser cette fonction d’onde pour pou-voir l’interpr´eter comme une densit´e de particule. On posera alorsψ=√

N φ. La justifica-tion rigoureuse de ce mod`ele repose principalement sur la justification de l’approximation

2.2. Les effets des interactions 47 de Hartree. De tels r´esultats ont ´et´e ´etablis dans la limite, appel´ee limite champ moyen, o`u le nombre de particulesN tend vers l’infini et que l’intensit´e des interactions tend vers 0.

D´erivation physique

Le Hamiltonien d’un ensemble de N atomes est donn´e par H=

o`u V est le potentiel confinant externe et U(ri,rj) le potentiel d’interaction entre deux particules de positionsri etrj. Ainsi, l’´energie du syst`eme est donn´ee par,

E(φ) =hHφ, φi

En utilisant le changement de variable√

N φ→ φ et l’approximation (N −1)/N ≈1 on

L’´energie de Gross-Pitaevskii est obtenue en approchant maintenant le potentielU par un potentiel effectifU_{ef f} de contact donn´e par,U_{ef f}(r,r⁰) =U₀δ(r−r⁰), avecU₀= 4π~²a/m.

La longueur a est la longueur de diffusion, qui est d´efinie dans le paragraphe suivant, dans lequel nous justifions cette approximation de U par un potentiel effectif. L’´energie de Gross-Pitaevskii est finalement donn´ee par,

EGP(φ) =

L’´equation de type Schr¨odinger non-lin´eaire qui d´ecrit l’´evolution temporelle de la fonction d’ondeφest donn´ee par, physiciens qui l’ont obtenu, Gross [89] et Pitaevskii [140].

Limite champ moyen

La limite champ-moyen survient lorsque l’intensit´e des interactions (suppos´ees faibles) est renormalis´ee par un param`etreκ(N), qui d´epend du nombreN d’atomes. On consid`ere alors le Hamiltonien

H_N =

N

X

j=1

−~²

2m∆_rj+V(r_j)

+κ(n) X

1≤j<k≤N

U(r_i,r_j).

Il apparaˆıt alors que l’´energie du syst`eme est d’ordreO(N) +κ(N)O(N<sup>2</sup>). En choisissant κ(N) =O(N<sup>−1</sup>), on obtient une ´energie proportionnelle au nombre de particules. La limite champ moyen correspond plus pr´ecis´ement `a la limite

N →+∞ and κ→0, o`u κN = const.

On poseκ= (N−1)⁻¹. L’´energie du syst`eme s’´ecrit alors, en rempla¸cant le potentiel par son potentiel effectif, par

E_N(Ψ) = Z

R^3N

~²

2m|∇Ψ(r)|²+V(r)|Ψ(r)|²+ U₀

2 |Ψ(r)|⁴

dr.

Dans le cas de l’approximation de Hartree donn´ee par l’ ´Equation (2.10), nous retrouvons bien

E_N(Ψ) =N E_GP(φ), (2.15)

o`u EGP est donn´ee par l’ ´Equation (2.13). La justification de l’approximation de Hartree tient `a pouvoir ´etablir le passage `a la limite suivant :

N→+∞lim E(N)

N =e_GP, (2.16)

o`u E(N) est l’infimum pour la fonctionnelle d’´energie E<sub>N</sub> du probl`eme `a N corps sur l’ensemble des fonctions d’onde `a N corps, de normeL²(R^3N) unitaire et symm´etriques, et o`ue_GP= inf_kφk

L2=1E_GP(φ). Notons que l’on a pour tout entierN, ^E(N)_N ≤e_GPd’apr`es l’ ´Equation (2.15). Ce type de passage `a la limite a ´et´e d´emontr´e dans [17,74,117,116]

Mod´elisation de la rotation

Cette ´equation peut-ˆetre ´etendue `a des syst`emes plus complexes. Par exemple, il est possible de mod´eliser une rotation du condensat. Pour ce faire, la d´erivation ci-dessus doit ˆetre men´ee dans le r´ef´erentiel tournant du condensat dans lequel l’impulsion sera modifi´ee. Une d´erivation claire et d´etaill´ee pourra ˆetre trouv´ee dans le [146, Chapitre 1].

On suppose alors que la rotation est centr´ee en l’origine du rep`ere, et on noteΩson axe de rotation. Sa norme est not´ee Ω, et elle correspond `a la vitesse de rotation du condensat.

2.2. Les effets des interactions 49 On retrouve alors le r´esultat en ajoutant au membre de droite de l’´equation (2.14) un g´en´erateur infinit´esimal de la rotation donn´e parΩ·(ˆr׈p) o`uˆretˆpsont respectivement les op´erateurs positions et impulsions. On rappelle que l’op´erateurˆr׈p n’est autre que l’op´erateur moment cin´etique. En repr´esentation de position, l’op´erateur impulsion devient ˆ

p=−i~∇, et on obtient alors l’´equation de Gross-Pitaevskii, i~∂

∂tφ(t,r) =

−~²

2m∆ +i~Ω·(r× ∇) +V(r)

φ(t,r) +4π~²a

m |φ(t,r)|²φ(t,r).

(2.17) Ce terme de rotation sera pris en compte dans le Chapitre6, consacr´e `a l’analyse num´erique de dynamiques m´etastables. C’est d’ailleurs ce terme de rotation qui sera responsable de cette m´etastabilit´e (voir le Paragraphe6.1.1du Chapitre 6).

2.2.2 D´efinition de la longueur de diffusion

L’objectif de cette partie est de justifier formellement l’utilisation d’un potentiel d’in-teraction effectif, et de d´efinir la notion de longueur de diffusion. Dans un premier temps, nous reformulons le processus de collision entre deux particules comme un processus de diffusion d’une particule par un potentiel d’interactionU. Ce dernier processus suffit pour d´ecrire le premier. Dans un second temps, nous expliquons que pour les ´echelles spatiales de ce probl`eme de diffusion `a un corps, celui-ci peut se reformuler comme un probl`eme de diffusion d’une onde plane incidente sur le potentielU. Nous faisons le calcul (formel) d’une approximation de l’onde diffus´ee, que l’on nomme approximation de Born, qui nous permet d’introduire la notion de longueur de diffusion. Ce calcul est en partie inspir´e par le d´eveloppement rigoureux de [47, Chapitre 8]. Nous remarquons alors que l’amplitude de l’onde diffus´ee lointaine ne d´epend que de la masse (ou la valeur moyenne) du poten-tiel U, dans la limite o`u l’´energie de l’onde tend vers 0. Autrement dit, deux potentiels diff´erents, mais de mˆeme masse, produisent des ondes diffus´ees ´equivalentes dans la limite lointaine. C’est cette remarque qui justifie l’introduction d’un potentiel effectif de contact, et qui permet de simplifier le processus de collision en l’approchant par une interaction de contact, c’est `a dire un potentiel de type fonction delta de Dirac de mˆeme masse que le potentiel initial.

Consid´erons dans un premier temps le cas d’une interaction `a deux corps. Notons (ˆr1,pˆ1) et (ˆr2,ˆp2) les op´erateurs positions et impulsions des deux particules de masses respectivesm<sub>1</sub> etm<sub>2</sub>. NotonsU le potentiel d’interaction entre les deux particules de telle sorte que le Hamiltonien du probl`eme est donn´e par :

H(ˆr1,ˆp1,ˆr2,ˆp2) = pˆ²₁

2m₁ + pˆ²₂

2m₂ +U(ˆr1−ˆr2).

Classiquement, en s´eparant le mouvement d’ensemble du syst`eme du mouvement relatif entre les deux particules, cette dynamique peut ˆetre r´eduite `a la dynamique d’un seul corps fictif d’op´erateurs positionˆr=ˆr₁−ˆr₂ et impulsionpˆ= ^m2_m^{ˆp1−m1ˆp2}

1+m2 . Le Hamiltonien

de cette particule (fictive) est donn´e par : H(ˆr,p) =ˆ pˆ²

2m +U(ˆr), (2.18)

o`um= _m^m1m2

1+m2. Cette proc´edure est d´ecrite dans [19, Chapitre 11].

Formellement nous sommes int´eress´es par le calcul des ´etats propres d’´energieE pour l’HamiltonienHd´efini par (2.18), c’est `a dire les solutions de l’´equation aux valeurs propres suivantes,

−~²

2m∆ +U(r)

ψ(r) =Eψ(r). (2.19)

On suppose que le potentiel U d´ecroit plus vite que |r|⁻¹ `a l’infini, de telle sorte que le spectre de l’op´erateur

−_2m^~2∆ +U(r)

soit continu de 0 `a l’infini. On s’int´eresse aux

´etats de diffusions qui sont les ´etats propres du spectre continu. On suppose alorsE >0, et on pose E = ^~_2m^2k2. Ces ´etats propres ´etant non norm´es dans L²(R³), nous changeons de point de vue pour corriger cette difficult´e. On suppose que l’on se place dans le cas asymptotique o`u une particule s’approche du potentiel depuis l’infini, avec une impulsion bien d´etermin´ee, et on s’int´eresse `a l’´etat de la particule diffus´ee dans un futur lointain.

Cette hypoth`ese est justifi´ee, dans le cadre de gaz dilu´es, par le fait que le potentiel d’interaction est concentr´e dans une r´egion de l’espace de taille tr`es inf´erieure aux distances inter-particules typiques. Cette hypoth`ese revient `a supposer que la particule est dans un

´etat asymptotique mod´elis´e par une onde plane incidenteφ(r) = e^ik·r d’impulsionk∈R³ sur le potentielU, solution de l’´equation de Helmholtz,

∆ +k²

φ(r) = 0, o`u |k|=k.

Bien que cet ´etat ne soit pas physique `a proprement parler, cette mod´elisation corres-pond au cas limite d’un paquet d’onde dont la dispersion relative en impulsion tend vers 0 : ∆p/p → 0. Cependant nous pr´esentons seulement le raisonnement `a l’aide de cette mod´elisation asymptotique, par souci de simplicit´e. Le but est dans ce cas de s´electionner une solution de (2.19) de la forme,

ψ(r) =φ(r) +ψ_diff(r).

Commeφn’est pas int´egrable, il est judicieux de formuler le probl`eme (2.19) en fonction de ψ<sub>diff</sub> plutˆot queψ. C’est ce qui permet d’obtenir un probl`eme bien pos´e, `a onde incidente φfix´ee. Ainsi, on obtient formellement le probl`eme suivant,

2m

~² U(r)(φ(r) +ψ_diff(r)) = (∆ +k²)ψ_diff(r). (2.20) Pour obtenir un probl`eme bien pos´e, il est classique d’ajouter une condition sur le com-portement `a l’infini de ψ_diff(r). C’est la condition de radiation de Sommerfeld, donn´ee

2.2. Les effets des interactions 51 par,

r→+∞lim r

∂ψdiff

∂r −ikψdiff

= 0. (2.21)

Celle-ci assure l’unicit´e d’une solution au probl`eme (2.20)-(2.21), et donc son caract`ere bien pos´e. Formellement, elle permet de s´electionner la solution physique du probl`eme.

On peut d´eriver du probl`eme (2.20)-(2.21) une ´equation int´egrale, appel´ee ´equation de Lippmann-Schwinger, qui lui est ´equivalente (sous r´eserve de r´egularit´e). Afin d’introduire cette ´equation, introduisons le noyau de Green sortant de l’´equation de Helmholtz, not´e G⁺_k et d´efini par,

G⁺_k(r) = m 2π~²

e^+ikr

r ,∀r∈R³. (2.22)

Celui-ci est une solution au sens des distributions de l’´equation de Helmholtz impulsion-nelle

−~²

2m(∆ +k²)G⁺_k(r) =δ(r).

L’´equation de Lippmann-Schwinger est finalement donn´ee par, ψdiff(r) =−

Z

R³

G⁺_k(r−r⁰)U(r⁰)(ψdiff(r⁰) +φ(r⁰))d³r⁰. (2.23)

A partir de l’´equation (2.23), on peut calculer une approximation du champ diffus´eψ_diff lointain. C’est ce que l’on nommel’approximation de Born. Celle-ci repose sur l’observation que le champ diffus´e lointain d´ecroit comme 1/r(comme le noyau de Green). Ainsi pour de larges valeursron peut approcher (ψ_diff(r) +φ(r)) parφ(r), et l’´equation (2.23) devient alors,

ψ_diff(r)_r→+∞≈ − Z

R³

G⁺_k(r−r⁰)U(r⁰)φ(r⁰)d³r⁰. (2.24) On rappelle que l’on est int´eress´e par une approximation du champs diffus´e ψdiff(r) pour des valeurs de|r|plus grandes que la distance typique d’interaction entre particules. No-tonsa cette derni`ere. Cela revient `a supposer que |r| a, et que l’int´egrale ci-dessus ne porte que sur des valeursr⁰ telles que|r| |r⁰|. Cette remarque permet de faire l’approxi-mation que 1/|r−r⁰| ≈ 1/r, et que |r−r⁰| ≈ r−u⁰ ·r⁰, avec u⁰ = r/r. On peut alors approcher (2.24), `a tr`es basse ´energie, par,

ψ_diff(r)≈f(k)e^ikr

r , avec f(k) =− m 2π~²

Z

R³

e^{i(k−u0k)·r0}U(r⁰)d³r⁰, (2.25) o`u l’on a pos´e u⁰ =r/r. On d´efinit la longueur de diffusion a_s par, limk→0f(k) = −a_s,

c’est-`a-dire,

a_s= m 2π~²

Z

R³

U(r⁰)d³r⁰. (2.26)

Par ailleurs, comme nous l’avons ´enonc´e en introduction, l’approximation donn´ee par (2.25)-(2.26) pour une onde incidente d’´energie suffisamment basse ne d´epend que de l’int´egrale du potentiel U(r). Ainsi, approcher ce potentiel par un autre potentiel de mˆeme masse, conduit au mˆeme comportement diffusif asymptotique que le potentiel ori-ginal. C’est la raison pour laquelle, on introduit un potentiel effectifU_{ef f}(r) donn´e par

U_{ef f}(r) = 2π~²a_s m δ(r),

o`u δ repr´esente la fonction delta de Dirac. Ce potentiel repr´esente une interaction de contact, et permet de simplifier de nombreuses d´erivations physiques analytiques.

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