1.3 Mod´ elisation des condensats de Bose-Einstein ` a temp´ erature non nulle
2.1.2 La statistique de Bose-Einstein
On propose de d´eriver la statistique de Bose-Einstein dans cette partie. Celle-ci d´ecrit pour un gaz parfait de bosons, le nombre moyen d’atomes nT ,µ(j) par ´etat j d’´energie εj, pour le potentiel chimique µet une temp´eratureT fix´es. On suppose que les niveaux d’´energie sont ordonn´es pour que la suite (εj)j∈N soit croissante. On rappelle d’ailleurs qu’il suffit que le potentiel de confinement soit infini `a l’infini pour que ce spectre d’´energie soit discret. Comme il est possible qu’un niveau d’´energie soit compos´e de plusieurs ´etats, on introduit le nombre moyen d’atomesnT ,µ(εj) par niveau d’´energie donn´e par,
nT,µ(εj) =gjnT ,µ(j),
o`ugj est la d´eg´en´erescence du niveau d’´energieεj. La statistique est alors donn´ee par, nT,µ(j) = nT ,µ(εj)
gj = 1
e(εj−µ)/kBT −1. (2.1) Tout d’abord, on peut noter que n´ecessairementε0 > µ pour quenT ,µ(0) soit bien d´efini et positif. Dans ce cas on a alors pour toutj∈N,nT,µ(j)>0. Avant d’expliquer comment cette statistique d´ecrit le ph´enom`ene de condensation de Bose-Einstein, nous pr´esentons maintenant deux d´erivations de celle-ci.
Cette statistique est obtenue classiquement dans le formalisme de la physique statis-tique. Deux d´erivations simples peuvent ˆetre obtenues dans l’ensemble grand-canonique, et dans l’ensemble microcanonique. Pour rappel, les ensembles statistiques sont des abs-tractions centrales en physique statistique. Ce sont des collections de copies d’un syst`eme physique qui d´ecrivent l’ensemble des ´etats possibles du syst`eme, sous des contraintes ext´erieures fix´ees, telles que la temp´erature, le nombre de particule, le volume ou encore l’´energie. L’ensemble grand-canonique correspond au cas d’un syst`eme en contact avec un r´eservoir (un ensemble de taille beaucoup plus grande) avec lequel il peut ´echanger de l’´energie et des particules. On suppose dans ce cas que le volume, la temp´erature et le potentiel chimique sont fix´es. L’ensemble microcanonique correspond au cas d’un syst`eme isol´e. Dans ce cas, le nombre de particules, le volume et l’´energie sont fix´es.
D´erivation dans l’ensemble grand-canonique
On suit la d´erivation de [67]. Puisque la statistique donn´ee par (2.1) fait intervenir le potentiel chimique et la temp´erature, le cadre naturel de sa d´erivation semble donc ˆetre l’ensemble grand canonique. En effet, le raisonnement est particuli`erement abordable dans ce cadre. Pour obtenir cette statistique, nous consid´erons un gaz parfait de bosons de po-tentiel chimiqueµ et de temp´eratureT. Les particules n’´etant pas en interaction, chaque sous-ensemble de particules d’´energieεforme un syst`eme thermodynamique en interaction
2.1. La physique de la condensation de Bose-Einstein 39 avec le r´eservoir. L’ensemble grand-canonique est donc d’une certaine mani`ere une tensori-sation d’ensembles grand-canoniques pour chaque niveau d’´energie. Comme chaque niveau d’´energie peut contenir tout nombre de bosons, tous les ´etats du syst`eme possibles sont les configurations avec n particules (indiscernables) dans l’´etat ´energie ε, donc d’´energie nε. Ainsi, la probabilit´e que le syst`eme soit compos´e denparticules est en(µ−ε)/kBT, et la fonction de partition de l’ensemble grand-canonique pour le niveau d’´energie εest donn´e par,
Z(ε) =X
n∈N
en(µ−ε)/kBT = 1
1−e(µ−ε)/kBT.
On peut alors calculer le nombre moyen de particules dans l’´etat d’´energie ε, nT ,µ(εj) =kBT 1
Z ∂Z
∂µ
T
= 1
e(εj−µ)/kBT −1. D´erivation dans l’ensemble microcanonique
On d´etaille une seconde d´erivation approch´ee dans l’ensemble canonique. Ce calcul fut entrepris, `a la suite des travaux de Bose, par Einstein en 1924-1925. Dans ce cadre ce sont la temp´erature et le nombre d’atomes qui sont fix´es. Bien que ce cas soit moins naturel, que les calculs soient plus p´enibles et que le r´esultat ne soit valide que dans la limite d’un fort taux de d´eg´en´erescence, le calcul est toutefois tr`es int´eressant car il fait intervenir le d´enombrement des ´etats d’´energie et permet de mieux comprendre la diff´erence avec la statistique de Maxwell-Boltzmann. Comme on se place dans l’ensemble canonique, c’est cette fois-ci le nombre de particulesN et l’´energie du syst`emeE qui sont fix´es. Supposons que le niveau d’´energieεj comportenj atomes. On peut compter le nombre de fa¸cons dont ces atomes se r´epartissent sur les ´etats d’´energieεj. On le notew(nj, gj), et le calcul (men´e dans [45]) donne,
w(nj, gj) = (nj+gj−1)!
nj!(gj−1)! . Ainsi, le nombre de configurations pour le syst`eme entier s’´ecrit,
W((nj),(gj)) =Y
j∈N
(nj+gj −1)!
nj!(gj−1)! .
De part le choix de l’ensemble statistique, les contraintes du syst`eme s’´ecrivent X
j∈J0,nK
nj =N et X
j∈J0,nK
njεj =E.
Il s’agit alors de maximiser (sous ces contraintes) le nombre de fa¸cons de r´epartir ces N particules pour obtenir la statistique de Bose-Einstein. En pratique, au lieu de
maximi-serW((nj),(gj)), on maximise son logarithme `a l’aide d’une approche Lagrangienne. On introduitα etβ les multiplicateurs de Lagrange, et on maximise
L((nj), α, β) = logW((nj),(gj)) +α
N−X
j
nj
+β
E−X
j
njεj
. En utilisant la formule de Stirling, on obtient
logw(nj, gj) = (nj+gj) log(nj+gj)−njlog(nj) +O(ln(nj +gj)).
En n´egligeant le reste,O(ln(nj+gj)), et en r´esolvant le probl`eme d’optimisation simplifi´e, on obtient,
nj = gj eα+βεj −1.
On d´efinit alors le potentiel chimique µ et la temp´erature T tels que α = − µ kBT et β= 1
kBT.
Le lecteur pourra se convaincre que l’approximation faite par l’utilisation de la formule de Stirling ainsi que par la simplification du Lagrangien est justifi´ee dans la limite o`u gj etnj sont tous deux grands devant 1. Dans la limite o`u seulementgj est grand, un calcul plus fin permettrait toujours de d´emontrer une d´ecroissance exponentielle de nj/gj en le niveau d’´energie εj, ce qui est suffisant pour justifier le ph´enom`ene de condensation de Bose-Einstein.
L’aspect gr´egaire des bosons indiscernables
Consid´erons N particules qui peuvent se trouver dans deux ´etats A ou B. Si l’on suppose les particules indiscernables, et que toutes les ´eventualit´es sont ´equiprobables, alors la probabilit´e que toutes les particules se trouvent dans l’´etatAestp1 = 1/(N+1). Si l’on consid`ere maintenant les particules discernables et qu’`a nouveau toutes les ´eventualit´es sont ´equiprobables, alors la probabilit´e que toutes les particules se trouvent dans l’´etatA estp2 = 1/2N. Ainsi pour un grand nombre de particulesp1 p2.
Ce petit exemple illustre bien que la statistique de Bose-Einstein (qui suppose les bosons indiscernables) entraˆıne une sorte de perte d’ind´ependance entre les particules par rapport `a la statistique de Boltzmann. Cette d´ependance est en fait l’analogue du fait qu’il faille restreindre l’espace de Hilbert aux fonctions d’onde sym´etriques par ´echange de deux particules.
En effet, un syst`eme `aN bosons indiscernables peut ˆetre d´ecrit par une fonction d’onde ψ(t;x1, . . . , xN),
o`uxk∈R3 correspond `a la variable d’espace pour lak-`eme particule. De part l’hypoth`ese
2.1. La physique de la condensation de Bose-Einstein 41 d’indiscernabilit´e, une telle fonction d’onde ψdoit ˆetre inchang´ee par ´echange entre deux particules. Ainsi pour toute permutationσ deJ1, NK,
ψ(t;x1, . . . , xn) =ψ(t;xσ(1), . . . , xσ(n)).
De telles fonctions d’onde appartiennent donc `a l’espace L2(R3,C)⊗S. . .⊗SL2(R3,C),
constitu´e des fonctions sym´etriques de l’espace (2.2) (voir [35]), et non pas `a l’espace L2(R3,C)⊗. . .⊗L2(R3,C) (2.2) tout entier.
Il est possible de d´eduire de cette restriction aux fonctions d’ondes compl`etement sym´etriques le ph´enom`ene d’´emission stimul´ee. Celui-ci consiste en le fait que la probabilit´e pour qu’une particule dans un ´etatφksubisse une transition vers un ´etat φl est multipli´ee parN+ 1 si cet ´etat est d´ej`a occup´e parN particules. Il est alors possible de retrouver la statistique de Bose-Einstein `a partir de bilan d’´energies lors de collisions entre particules.
Voir [49].
2.1.3 Le ph´enom`ene de condensation de Bose-Einstein pour un gaz