R´ esultats du Chapitre 4

Ce chapitre correspond `a l’article [57] “Vortex solutions in Bose-Einstein condensation under a trapping potential varying randomly in time”, publi´e dans Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B.

Nous ´etudions th´eoriquement et num´eriquement au Chapitre 4 l’influence des pertur-bations al´eatoires du potentiel confinant sur la dynamique de solutions stationnaires (en l’absence de perturbations al´eatoires) de type vortex dans le cas bidimensionnel. L’ajout du bruit dans la dynamique de Gross-Pitaevskii implique que les solitons de type vortex ne devraient pas persister `a tous temps. Il est alors naturel de se demander combien de temps ces solitons peuvent persister, en fonction de l’intensit´e du bruit. Nous introduisons un param`etre ε >0 devant le terme stochastique dans l’ ´Equation (1.5). En prenant σ₀ = 1, celle-ci est donn´ee (`a une renormalisation pr`es, et en g´en´eralisant la non-lin´earit´e) par,

idψ(t, x) =

−∆ +|x|²+λ|ψ(t, x)|^2σ

ψ(t, x) dt+ε|x|²ψ(t, x)◦ dW_t. (1.9) Cette ´etude de la dynamique des solitons de type vortex est bas´ee sur la m´ethode des coor-donn´ees collectives. Elle consiste `a d´ecomposer la solution de l’ ´Equation (1.9) en la somme d’une modulation (al´eatoire) de la solution vortex initiale et d’un reste d’ordre ε. Cette modulation correspond `a un d´ephasage de la solution vortex, ou encore `a une rotation de celle-ci. Cette m´ethode repose tout particuli`erement sur une propri´et´e de stabilit´e orbi-tale des solitons, que nous pr´ecisons dans la suite. Elle a ´et´e utilis´ee pour de nombreuses

´equations dispersives `a la fois dans le cadre d´eterministe [79, 104, 168] et dans le cadre stochastique [52,53,55,58]. Nous ´etablissons deux r´esultats principaux. Le premier assure que ce reste demeurepetit pour des temps d’ordre au moinsε<sup>−2</sup>. Nous reviendrons sur ce point, mais nous pouvons d´ej`a pr´eciser formellement que c’est notre choix de modulation al´eatoire qui permet d’approcher la solution comme un vortex modul´e pendant un temps caract´eristique aussi long. Le second r´esultat caract´erise le comportement asymptotique de la modulation et du reste quandεtend vers 0. Plus pr´ecis´ement, il d´efinit deux proces-sus stochastiques, qui sont des semi-martingales correspondant aux procesproces-sus limites de modulation et de reste, et d´emontre ´egalement la convergence en probabilit´e de la modu-lation et du reste vers ces processus. Dans une derni`ere partie, nous mettons en ´evidence num´eriquement une certaine optimalit´e des r´esultats th´eoriques obtenus, notamment `a l’aide d’une m´ethode de Monte Carlo adapt´ee `a la simulation d’´ev´enements rares.

Pr´eliminaires

Une solution stationnaire vortex de l’ ´Equation (1.9) dans le casε= 0 est une solution pour laquelle on peut s´eparer les variablest,retθ(en coordonn´ees polaires). Ces solutions

1.2. Une mod´elisation des d´efauts du confinement optique 19 s’´ecrivent alors,

u(t, r, θ) = e^−iµtφµ,m(r, θ) = e^−iµte^imθψµ,m(r).

On appelle m le degr´e, µ le potentiel chimique, et ψ le profil du vortex. Nous pr´ecisons (voir [120]) que pour tout entier m et pour tout r´eel positif µ assez grand, il existe une unique fonctionψµ,m(r) tel que e^−iµte^imθψµ,m(r) soit une telle solution stationnaire. Nous notons φ_µ,r(r, θ) = e^imθψ_µ,m(r) Nous d´efinissons le sous-espace ferm´e X_m compos´e des

´el´ements de Σ¹(R²) qui poss`edent cette s´eparation en les variablesr etθ, Xm :=

n

v∈Σ¹(R²), e^−imθv(x)ne d´epend pas de θ o

.

Le Lemme4.3assure qu’une solution de l’ ´Equation (1.9) initialis´ee par un ´el´ement de X_m appartient presque sˆurement `a C(R⁺;Xm).

Nous pr´esentons maintenant la d´ecomposition d’une solution (uε(t))t≥0 initialis´ee par une solution stationnaire φ_µ,m. Nous cherchons `a d´efinir deux processus (ξ^ε(t))t≥0 et (η^ε(t))t≥0 tels que,

u^ε(t, x) = e^−iξε(t)(φµ,m(x) +εη^ε(t, x)),

o`u la modulation (ξ<sup>ε</sup>(t))t≥0 est `a valeurs r´eelles, et le reste (η^ε(t))t≥0 est `a valeurs dans X_m. Cette d´ecomposition n’´etant pas unique, nous imposons en plus la condition d’ortho-gonalit´e suivante,

Re(η^ε, iφ_µ,m)_L2(R²,dx) = 0, a.s., t≤τ^ε, (1.10) Nous remarquons que le processus ξ^ε(t) qui minimise presque sˆurement la norme L²(R²) du resteη^ε(t) `a tous temps satisfait la condition d’orthogonalit´e (1.10).

R´esultats th´eoriques

Le premier r´esultat principal du Chapitre4assure qu’il existe de tels processus (ξ^ε(t))t≥0

et (η^ε(t))t≥0 qui sont plus pr´ecis´ement des semi-martingales, et tels que le resteεη^ε(t) de-meure petit pour des temps de l’ordre deε⁻².

Theorem 1.4 (Th´eor`eme 4.5). Soient 1/2 ≤ σ < ∞, µ0 > 0 et m ∈ N avec µ0 assez grand par rapport `a m. Pour tout ε >0, soit u^ε(t, x), la solution de l’ ´Equation (1.9) avec u(0, x) =φ_µ0,m(x). Alors il existe α₀>0 tel que, pour tout α∈]0, α₀], il existe un temps d’arrˆet τ_α^ε∈(0,∞) p.s., et une semi-martingale ξ^ε(t), d´efinie presque sˆurement pour tout t≤τ_α^ε, et `a valeurs dans R, telle que si nous posons εη^ε(t, x) = e^iξε(t)u^ε(t, x)−φ_µ0,m(x), alors la condition d’orthogonalit´e (1.10) est v´erifi´ee. De plus, p.s. pour toutt≤τ_α^ε,

|εη^ε(t)|^Σ ≤α. (1.11)

De plus, il existe une constanteC=C_α,µ0 >0, tel que pour toutT >0et pour tout α≤α₀,

il existeε₀>0,tel que pour tout ε < ε₀,

La preuve de l’existence des semi-martingales (ξ^ε(t))t≥0 et (η^ε(t))t≥0 satisfaisant la condition d’orthogonalit´e (1.10) d´ecoule de l’application du th´eor`eme des fonctions impli-cites. La preuve de la seconde partie du Th´eor`eme1.4d´ecoule d’une m´ethode par fonction de Lyapunov. On introduit pour ce faire l’´energie

H(u) = 1

La fonction de Lyapunov utilis´ee, not´ee Sµ, et appel´ee aussi fonctionnelle d’action, est donn´ee par,

Sµ(u) =H(u)−µQ(u), u∈Σ¹(R^d).

On note ´egalement queφ_µ,m est le minimum global deS_µ dans l’ensembleX_m. La preuve utilise le fait que la Hessienne deSµenφµ,mest positive, et que sa restriction `a l’orthogonal deiφµ,m(pour la normeL²(R²)) est d´efinie positive, ainsi que des estim´ees sur la croissance de l’´energie au cours du temps.

Le deuxi`eme r´esultat principal assure de la convergence en probabilit´e dansC([0, τ_α^ε∧ T], L²(R²)) du processusη^ε vers un certain processusη. Un r´esultat de convergence pour le processusξ^ε est ´egalement donn´e. Nous notons par | · |L²_r la normeL² radiale.

1.2. Une mod´elisation des d´efauts du confinement optique 21 avec η(0) = 0, et˜

y(t) = 2σ(Re ˜η, ψ_µ^2σ+1_0,m)_L²

r

|ψ_µ0,m|²_L²

r

, z(t) = |rψµ0,m|²_L²

r

|ψ_µ0,m|²_L²

r

, (1.15)

pour tout t≥0. La convergence a lieu dans C([0, τ_α^ε∧T], L²), et il existe une constante C >0 tel que le processus η d´efini ci-dessus pour tout T >0 satisfait l’estim´ee

E sup

t≤T |η(t)|²Σ¹

!

≤CT.

De plus, le param`etre de modulationξ^ε satisfait, pour tout t≤τ_α^ε, dξ^ε=µ₀dt+εy^εdt+εz^εdW,

o`u y<sup>ε</sup> et z<sup>ε</sup> sont des processus adapt´es `a valeurs r´eelles, convergeant en probabilit´e dans C([0, T])respectivement vers y, z donn´es par (1.15).

Le calcul des ´equations satisfaites par les processus (η^ε(t))t≥0 et (ξ^ε(t))t≥0 repose principalement sur l’application du Lemme d’Itˆo et sur l’utilisation de la condition d’or-thogonalit´e (1.10). La preuve de la convergence n´ecessite dans un premier temps d’obtenir des estim´ees uniformes en ε sur le reste η^ε. La non-lin´earit´e est `a l’origine de quelques difficult´es. Ces estimations n´ecessitent par exemple une borne de kη<sup>ε</sup>(t)kL<sup>∞</sup>. Pour cela, nous introduisons (comme cela avait d´ej`a ´et´e fait dans [55]) le temps d’arrˆet ˜τ_N^ε d´efini pour toutN >0 par,

˜

τ_N^ε = inf{t≤τ^ε∧T, kεη^ε(t)kΣ² ≥N}. (1.16) Il est montr´e dans un premier temps la convergence du processus (η^ε(t))t≥0 vers le proces-susη d´efini par le Th´eor`eme 1.5 dans l’espace L<sup>2</sup>(Ω;C([0,˜τ<sub>N</sub><sup>ε</sup> ∧T], L<sup>2</sup>)). Dans un second temps, nous passons `a la limite N → +∞. C’est lors de cette ´etape que nous perdons la convergence en moindre carr´e pour une convergence en probabilit´e. Cette ´etape repose en particulier sur le fait que la solution de l’ ´Equation (1.9) appartient presque sˆurement `a C(R<sup>+</sup>; Σ<sup>2</sup>(R<sup>2</sup>)). Notons que ce ph´enom`ene de d´egradation de la convergence est similaire

`

a celui du Chapitre3 o`u l’on passe `a la limite sur la troncature de la non-lin´earit´e. Nous passons de la mˆeme mani`ere d’une convergence en moindre carr´e `a une convergence en probabilit´e.

R´esultats num´eriques

Dans cette partie, nous proposons de mettre en ´evidence num´eriquement les r´esultats du Th´eor`eme1.4. Nous pr´esentons des r´esultats num´eriques qui tendent `a montrer l’opti-malit´e (dans une certaine mesure) de ces r´esultats. Pour cela, nous proposons un sch´ema bas´e sur une discr´etisation de type Crank-Nicolson en temps, et sur une discr´etisation

par diff´erences finies en espace. C’est un sch´ema unidimensionnel qui d´ecrit l’´evolution temporelle du profil de la solution. Contrairement `a ce qui est fait au Chapitre3, la non-lin´earit´e ne conduit pas `a un sch´ema non-lin´eairement implicite. Pour ´eviter l’utilisation d’un point fixe, nous proposons d’utiliser une m´ethode de relaxation o`u la non-lin´earit´e est approxim´ee par une extrapolation sur les deux derniers pas de temps.

Le calcul de la condition initiale repose sur une m´ethode de tir, et quelques exemples de solutions stationnaires sont pr´esent´es au Chapitre 4. Nous pr´esentons aussi quelques trajectoires d’´evolution des solutions de l’ ´Equation (1.9) pour diff´erents degr´es m. Fina-lement, nous estimons par une m´ethode de Monte Carlo les probabilit´es P(τ_α^ε ≤ t) par rapport `a t et par rapport `a εpour α= 2.5·10⁻³ et σ= 1. Ces r´esultats sont donn´es en Figures4.8et4.9. Ces simulations tendent `a v´erifier que−log (P(τ<sub>α</sub><sup>ε</sup> ≤t)) est asymptoti-quement proportionnel `a ε⁻² et `a t⁻¹.

Nous proposons ´egalement d’utiliser une m´ethode de Monte Carlo adapt´ee `a l’esti-mation des probabilit´es P(τ<sub>α</sub><sup>ε</sup> ≤t) dans le cas o`u celles-ci sont tr`es petites, ce qui est le cas quandεest choisi tr`es petit. Nous proposons, pour ce faire, d’utiliser les algorithmes POP et IPS [87]. Pour cela, nous exprimons les ´ev´enements rares en terme d’ensembles de trajectoires browniennes (qui conduisent `a ces ´ev´enements rares), ce qui permet d’utiliser uneshaking transformation sur les trajectoires browniennes propos´ee dans [87].