R´ esultats du Chapitre 3

Ce chapitre correspond au preprint [142] “Numerical analysis of the Gross-Pitaevskii Equation with a randomly varying potential in time”.

L’objectif de ce chapitre est de proposer un sch´ema num´erique pour l’ ´Equation (1.5) bas´e sur une discr´etisation de type Crank-Nicolson en temps, et une discr´etisation spec-trale en espace. Cette discr´etisation temporelle s’est montr´ee tr`es adapt´ee dans le cas d´eterministe car elle permet de conserver la normeL<sup>2</sup> ainsi qu’une ´energie modifi´ee (voir [7, 13]). De plus, elle permet, dans notre cadre stochastique, de discr´etiser de mani`ere consistante l’int´egrale de Stratonovich (similairement `a [20,51,84]). De plus, des simula-tions num´eriques pour des ´equations (d´eterministes ou stochastiques) similaires ont montr´e de bons r´esultats de convergence pour ce type de discr´etisation temporelle [7,20,83].

Nous d´emontrons que ce sch´ema converge `a l’ordre au moins 1 en probabilit´e, dans des

espaces Σ^j(R^d) d´efinis par (1.6). Nous pr´esentons ´egalement des simulations num´eriques qui mettent en ´evidence l’optimalit´e de l’ordre 1.

L’analyse num´erique de l’ ´Equation (1.5) pr´esente deux difficult´es principales. La pre-mi`ere vient de la non-lin´earit´e, qui n’est pas globalement Lipschitzienne. C’est un probl`eme classique de l’analyse num´erique des ´equations de Schr¨odinger non-lin´eaires, `a la fois dans le cas d´eterministe [7, 10, 11, 161] et dans le cas stochastique [20, 51]. Cette difficult´e implique par exemple qu’il n’est pas d´emontr´e que la solution (φ(t))t≥0 donn´ee par la Proposition 1.1 appartienne `a l’espace L^∞(0, T;L²(Ω,Σ^j(R^d))) pour j > 1. Il est donc illusoire d’esp´erer montrer une convergence dans ces espaces. C’est pourquoi la convergence de notre sch´ema num´erique n’est montr´ee qu’en probabilit´e (voir [20, 42, 118] pour des r´esultats analogues). Cependant, nous montrons aussi qu’en tronquant la non-lin´earit´e de l’ ´Equation (1.5), et en tronquant la non-lin´earit´e dans le sch´ema num´erique de la mˆeme mani`ere ´egalement, il devient possible de montrer une convergence en moindre carr´e (i.e.dans L<sup>2</sup>(Ω)). La deuxi`eme difficult´e provient du terme stochastique multiplicatif. Sa pr´esence complique la d´emonstration de la stabilit´e d’une discr´etisation temporelle de type Crank-Nicolson, et ce mˆeme pour la partie uniquement lin´eaire de l’ ´Equation (1.5).

C’est une difficult´e nouvelle pour ce type d’´equation de Schr¨odinger stochastique. Elle est r´esolue en rempla¸cant l’op´erateur lin´eaire non-born´e |x|² par une suite d’op´erateurs lin´eaires born´es convergents vers |x|² et pour lesquels on contrˆole la croissance de leur norme d’op´erateur dans L²(R^d). Cette m´ethode introduit alors une condition de type CFL qui limite la dimension de l’espace d’approximation en fonction du pas de temps.

Pr´esentation du sch´ema num´erique et r´esultats de stabilit´e

Nous pr´ecisons maintenant le sch´ema de Crank-Nicolson classique, uniquement semi-discr´etis´e en temps, afin de fixer les id´ees. Celui-ci sera par la suite modifi´e pour nous permettre d’´etablir nos r´esultats de stabilit´e et de convergence. Toutefois, certaines de ces modifications nous semblent essentiellement techniques, et ne semblent pas ˆetre n´ecessaires pour l’impl´ementation de ce sch´ema. Soit (tn)n∈Nune subdivision deR⁺, de pas de temps δt >0 ; c’est-`a-dire, pour toutn∈N,t<sub>n</sub>=nδt. On note aussiχ<sup>n+1</sup>=δt<sup>−1/2</sup>(W<sub>tn+1</sub>−W<sub>tn</sub>) et on poseA=−∆+|x|<sup>2</sup>. Nous d´efinissons alors le processus discret (φn)n∈Nqui repr´esente une approximation, par un sch´ema de Crank-Nicolson classique, du processus (φ(t<sub>n</sub>))n∈N, o`u (φ(t))t≥0 est la solution de l’ ´Equation (1.5) donn´ee par la Proposition 1.1, par,

φⁿ⁺¹−φⁿ=−i

δtA+√

δtχⁿ⁺¹|x|²

φⁿ⁺¹+φⁿ 2

−iλδtg(φⁿ⁺¹, φⁿ), o`ug est une approximation classique de la non-lin´earit´e donn´ee par,

g(φⁿ⁺¹, φⁿ) = 1

2(|φⁿ|²+ φⁿ⁺¹

2)

φⁿ⁺¹+φⁿ 2

.

1.2. Une mod´elisation des d´efauts du confinement optique 15 En d´efinissant formellement les op´erateurs T_δt,n+1 etS_δt,n+1 par,

T_δt,n+1 = Id +iδt 2A+i

√δt

2 χⁿ⁺¹|x|²

! ,

S_δt,n+1 = Id +iδt 2A+i

√δt

2 χⁿ⁺¹|x|²

!−1

Id−iδt 2A−i

√δt

2 χⁿ⁺¹|x|²

! ,

le sch´ema de Crank-Nicolson s’´ecrit, sous r´eserve d’inversibilit´e de l’op´erateur Tδt,n+1, et d’existence de l’op´erateurS_δt,n+1,

φⁿ⁺¹=S_δt,n+1φⁿ−iλδtT_δt,n+1⁻¹ g(φⁿ⁺¹, φⁿ). (1.7) Afin de d´emontrer un r´esultat de convergence en norme Σ^k(R^d) d’espace, et dans un sens trajectoriel et probabiliste que nous pr´eciserons dans la suite, il est classiquement n´ecessaire de d´emontrer la stabilit´e dans des normes en espace plus fortes de type Σ^j(R^d) avec j > k assez grand. Cependant, la stabilit´e, voire mˆeme simplement l’existence d’une solution r´eguli`ere pour le sch´ema donn´e par l’ ´Equation (1.7) pose des difficult´es dans des espaces Σ<sup>j</sup>(R<sup>d</sup>) plus r´eguliers que L<sup>2</sup>(R<sup>d</sup>). Afin de mener l’analyse math´ematique, nous proposons deux modifications des op´erateurs T<sub>δt,n+1</sub> et S<sub>δt,n+1</sub>. Nous proposons de mo-difier ces op´erateurs d’une part en tronquant les incr´ements browniens, et d’autre part, en r´egularisant l’op´erateur|x|<sup>2</sup> comme ´evoqu´e pr´ec´edemment. Cette r´egularisation corres-pond `a introduire une discr´etisation spatiale, et `a introduire une condition de type CFL.

Nous utilisons alors une discr´etisation spectrale en espace. Plus pr´ecis´ement, nous introdui-sons les sous-espaces vectoriels de dimension finie ΣK(R^d) pourK ∈N. L’espace ΣK(R) est l’espace engendr´e par les K premi`eres fonctions de Hermite, et les espaces Σ<sub>K</sub>(R<sup>d</sup>) pour d > 1 sont obtenus par tensorisation de l’espace Σ<sub>K</sub>(R). Nous d´efinissons alors une famille d’op´erateurs lin´eaires born´es (BK)K∈N, `a valeurs dans ΣK(R^d), approximant l’op´erateur lin´eaire |x|². Nous imposons `a cette famille d’op´erateurs de satisfaire les Hy-poth`eses 3.6et 3.7Chapitre 3. La premi`ere hypoth`ese consiste `a imposer aux op´erateurs (B<sub>K</sub>)K∈N de reproduire certaines propri´et´es de r´egularit´e de l’op´erateur |x|<sup>2</sup> li´ees prin-cipalement `a son commutateur avec A. La seconde hypoth`ese caract´erise la vitesse de convergence de la suite (BK)K∈N<sup>∗</sup> vers l’op´erateur de multiplication par|x|<sup>2</sup>. Nous notons T<sub>δt,K,n+1,j</sub> etS<sub>δt,K,n+1,j</sub> les op´erateurs analogues `aT_δt,n+1 etS_δt,n+1 pour lesquels le bruit est tronqu´e, et l’op´erateur |x|² r´egularis´e. L’indice K renvoie `a l’espace d’approximation spatiale ΣK(R<sup>d</sup>), tandis que l’indice j param`etre le niveau de troncature des incr´ements browniens (χⁿ⁺¹)n∈N. Plus pr´ecis´ement, il est li´e `a l’espace Σ^j(R^d) dans lequel nous sou-haitons prouver la stabilit´e du sch´ema. La d´efinition pr´ecise de ces op´erateurs est donn´ee dans le Chapitre3, au Paragraphe3.2.2, par les ´Equations (3.9) et (3.10).

Les deux id´ees pr´esent´ees pr´ec´edemment sont suffisantes pour assurer que le sch´ema num´erique est bien pos´e dans le cas lin´eaire (g = 0), comme assur´e par le Lemme 3.10.

Comme nous l’avons ´enonc´e plus haut, le fait que la non-lin´earit´e ne soit pas globalement

Lipschitzienne pose des probl`emes de d´efinition. Pour assurer que le sch´ema est bien pos´e, la technique classique consiste `a introduire une troncature de cette non-lin´earit´e. Nous param´etrisons le niveau de cette troncature par L >0. On note alorsg^k_L la troncature de la non-lin´earit´eg pr´esent´ee ci dessus, dans l’espace Σ^k(R^d). La d´efinition pr´ecise de cette troncature est donn´ee par l’ ´Equation (3.6).

Le sch´ema num´erique est finalement donn´e par,

φⁿ⁺¹=Sδt,K,n+1,jφⁿ−iλδtT_δt,K,n+1,j⁻¹ g_L^k(φⁿ⁺¹, φⁿ). (1.8) L’existence et la stabilit´e du sch´ema num´erique (1.8) sont donn´ees par la proposition suivante.

Proposition 1.2 (Proposition3.9). Supposons que l’Hypoth`ese 3.6´enonc´ee dans le Cha-pitre 3 est v´erifi´ee. Alors pour tout k > d/2, j ≥ k, L > 0, T > 0 et K0 > 0, il existe un pas de temps maximal δt<sub>0</sub>(j, L, K<sub>0</sub>) et une constante C(j, L, K<sub>0</sub>, T) > 0 tels que pour tout φ<sub>0</sub> ∈ Σ<sup>j</sup>(R<sup>d</sup>), pour tout δt = T /N ≤ δt<sub>0</sub>(j, L, K<sub>0</sub>) et K ≤ K<sub>0</sub>δt<sup>−1/4</sup> il existe une unique solution discr`ete adapt´ee (`a la filtration engendr´ee par le mouvement Brownien (W_t)t≥0)φ= (φⁿ)_n=0,...,N satisfaisant l’ ´Equation (1.8), presque sˆurement dans L²(Ω;L^∞([0, T]; Σ^j(R^d))), et telle que

E

"

sup

n≤Nkφⁿk²_Σ^j

#

≤C(j, L, K0, T)kφ0k²_Σ^j,

La preuve de ce r´esultat d´ecoule d’un th´eor`eme de point fixe dans l’ensemble des pro-cessus mesurables qui appartiennent `a L²(Ω;L^∞([0, T]; Σ^j(R^d))). La difficult´e principale r´eside dans la preuve de la stabilit´e dans le cas lin´eaire.

R´esultats de convergence du sch´ema num´erique

La convergence du sch´ema survient lors des passages `a la limite L, K % +∞, et δt& 0. L’ordre dans lequel ces passages `a la limite s’effectuent est crucial. En pratique on consid`ereK comme une fonction deδt, que l’on noteK(δt), et telle queK(δt) croisse

`

a la vitesse δt^−1/4. La croissance de L en fonction de δt n’est pas claire. C’est la raison pour laquelle nous ne pouvons d´emontrer qu’un ordre de convergence en probabilit´e. Ce r´esultat est donn´e par le th´eor`eme suivant,

Theorem 1.3 (Th´eor`eme 3.14). Supposons les hypoth`eses3.6 et 3.7 v´erifi´ees. Pour tout T >0, k ∈ N^∗, φ₀ ∈Σ^k+12(R^d), K₀ > K₁ > 0, C >0, et pour tout α <1, il existe un choix de L(δt) tel que,

δt→0lim sup

nδt≤TP

φⁿK(δt),L(δt),δt−φ(tn)

Σ^k ≥Cδt^α

= 0.

o`uK(δt) v´erifie pour tout δt >0, K₁ ≤K(δt)δt^−1/4 ≤K₀.

1.2. Une mod´elisation des d´efauts du confinement optique 17 Nous renvoyons `a la remarque3.15pour un commentaire sur l’hypoth`ese de r´egularit´e de la condition initialeφ0. La preuve de ce r´esultat repose sur une majoration judicieuse de l’erreur

Pour expliciter cette majoration, nous introduisons trois processus stochastiques. Le pre-mier consiste seulement en une troncature de la non-lin´earit´e,

(idφ_L−λf_L^k(φ_L) dt−Aφ_Ldt=|x|²φ_L◦ dW_t, φL(0) =φ0,

o`uf_L^k(φL) =g_L^k(φL, φL). Le second processus incorpore de plus l’approximation spatiale, (idφ_K(δt),L−λP_K(δt)f_L^k(φ_K(δt),L) dt−P_K(δt)Aφ_K(δt),Ldt=B_K(δt)φ_K(δt),L◦ dW_t,

φ_K(δt),L(0) =P_K(δt)φ0.

Le dernier processus prend finalement en compte le temps d’arrˆetτ(δt) qui caract´erise la premi`ere troncature des incr´ements browniens,

ψ_K(δt),L,δtⁿ =

Nous d´emontrons ensuite que le premier et le troisi`eme terme d’erreur du membre de droite convergent vers 0 dans L<sup>2</sup>(Ω) quand δt tend vers 0. Le deuxi`eme et le quatri`eme terme sont rendus de probabilit´e arbitrairement petite en choisissantL assez grand.

R´esultats num´eriques

Dans la derni`ere partie du Chapitre3, nous pr´esentons trois autres sch´emas num´eriques, classiques dans le cas d´eterministe, pour ce type d’´equations de Schr¨odinger. Nous pr´esentons notamment une discr´etisation temporelle de typesplitting, c’est-`a-dire bas´ee sur une d´ e-composition d’op´erateurs, ainsi qu’une discr´etisation en espace de type diff´erences finies et une autre de type spectrale-Fourier. Nous pr´esentons quelques r´esultats num´eriques de convergence pour ces sch´emas. Nous observons de bons r´esultats de convergence dans le

cas o`u l’intensit´e des fluctuations est petite, ce qui est le cas pratique d’int´erˆet. Dans le cas o`u les fluctuations ont une forte intensit´e, on observe que notre condition de type CFL entreδtetK est utile pour assurer la convergence de la solution num´erique.