Le ph´ enom` ene de condensation de Bose-Einstein pour un gaz parfait 41

Le ph´enom`ene de condensation apparaˆıt quand un grand nombre de particules est dis-tribu´e suivant la statistique (2.1). Ce nombre totalN de particules est donn´e, en fonction deT etµpar,

N =X

j∈N

n_{T ,µ}(j) =X

j∈N

1

e^{(εj−µ)/kBT} −1.

Comme pr´ecis´e plus haut, il est n´ecessaire que le potentiel chimique soit plus petit que le plus petit niveau d’´energie (µ < ε₀) pour que la densit´e de particules soit bien d´efinie et positive pour chaque niveau d’´energie. Pour distinguer les particules r´eparties sur le niveau d’´energie fondamental (suppos´e non-d´eg´en´er´e), et celles sur les autre niveaux, on noteN0le nombre de particules sur ce premier niveau, etNexcle nombre total de particules excit´ees sur les autres niveaux. On a alors,

N =N₀+N_exc, N₀ = 1

e^{(ε0−µ)/kBT} −1, N_exc=X

j6=0

1

e^{(εj−µ)/kBT} −1.

On peut alors majorerN_exc en majorant le potentiel chimiqueµparε₀, Nexc≤N_exc^max(T) =X

j6=0

1

e^{(εj−ε0)/kBT} −1. (2.3) Ainsi, lorsque le nombre de particules d’un syst`eme devient grand devant N_exc^max(T), il devient n´ecessaire qu’un nombre macroscopique d’entre elles s’accumulent dans l’´etat fon-damental, qui lui n’est pas born´e en terme de nombre de particules qu’il peut accueillir.

C’est cette remarque qui justifie le ph´enom`ene de condensation de Bose-Einstein.

Notons que ce ph´enom`ene est bien sp´ecifique `a la statistique de Bose-Einstein. Dans le cadre de la statistique de Boltzmann (n^Boltz._{T ,µ} (j) = e^{−(εj−µ)/kBT}), une accumulation de particules dans le premier niveau peut ´egalement survenir, lorsque la temp´erature est suffisamment faible (kBT ε1−ε0). Or, dans le cas de la statistique de Bose-Einstein, le ph´enom`ene est bien de nature diff´erente car il peut intervenir pour toute temp´erature.

2.1.4 Le passage `a la limite thermodynamique, sans interactions

Le but de cette partie est de v´erifier si l’effet d´ecrit dans la partie pr´ec´edente est uni-quement un effet de taille finie, ou s’il persiste `a la limite thermodynamique. Celle-ci est d´efinie comme la limite o`u le nombre de particules tend vers l’infini, mais `a densit´e volu-mique constante. En effet, les niveaux d’´energiesε<sub>j</sub> d´ependent de la taille caract´eristiqueL du potentiel de confinement. Plus cette grandeur sera grande, et plus les niveaux d’´energie seront proches, et donc plus le nombre d’atomes Nexc sera grand. La question est donc de savoir comment grandit N<sub>exc</sub><sup>max</sup>/L<sup>d</sup> dans le cas d-dimensionnel. Si ce nombre n’est pas born´e dans la limite thermodynamique, alors le ph´enom`ene d’accumulation disparaˆıtra dans cette limite.

Nous suivons ici l’approche de [138]. Pour mener ces calculs, la technique consiste `a approcher la sommation discr`ete apparaissant dans (2.3) par une sommation continue.

Cette proc´edure donne une bonne approximation du nombre d’atomes que peuvent conte-nir les ´etats excit´es, dans la limite thermodynamique. Notons alors g(ε) la densit´e d’´etats excit´es d’´energieε. Nous traiterons dans la suite le cas d’une particule libre confin´ee dans une boˆıte, et celui d’une particule confin´ee dans un un pi`ege harmonique. Nous verrons ( ´Equation (2.6) et (2.8)) que dans ces deux cas, cette densit´eg est donn´ee par

g(ε) =C_αε^α−1, (2.4)

o`uαd´epend de la dimension, etCαest une constante. Nous verrons aussi ( ´Equation (2.7) et (2.9)) que dans ces deux cas le passage `a la limite thermodynamique survient lorsque C_α⁻¹N_exc reste born´e car cette quantit´e est proportionnelle `a la densit´e de particules. Le nombre de particulesNexc(T, µ) dans les ´etats excit´es est alors approch´e par,

Nexc(T, µ) = Z +∞

ε0−µ

g(ε) 1

e^ε/kBT −1dε,

2.1. La physique de la condensation de Bose-Einstein 43 d’o`u,

C_α⁻¹Nexc(T, µ) = Z +∞

ε0−µ

ε^α−1 1

e^ε/kBT −1dε.

On obtient alors que la condensation est pr´eserv´ee par le passage `a la limite si et seulement si cette int´egrale converge quand µ tend versε₀. Cela est le cas si et seulement siα > 1.

Dans ce cas, le nombre de particules maximale N_exc^max(T) que peuvent contenir les ´etats excit´es `a la temp´eratureT est donn´e par,

C_α⁻¹N_exc(T) = (k_BT)^α Z +∞

0

x^α−1 e^x−1dx,

= (k_BT)^αΓ(α)ζ(α),

o`u Γ(α) d´esigne la fonction gamma, et ζ la fonction zeta de Riemann.

Pour un syst`eme `aN particules, on peut alors introduire la notion de temp´erature cri-tiqueT_c, qui correspond `a la temp´erature minimale telle que toutes les particules puissent ˆetre contenues dans les ´etats d’´energie excit´es. Elle est donc donn´ee par,

k_BT_c=

C_α⁻¹N Γ(α)ζ(α)

1/α

.

On peut ´egalement introduire pour un syst`eme `aN particules `a la temp´eratureT ≤Tc, la notion de fraction condens´ee. NotonsN0le nombre de particules dans l’´etat fondamental, et N_exc le nombre de particules dans les ´etats excit´es. Par d´efinition de la temp´erature critique, on a,

N_exc=N T

Tc

α

.

Ainsi, la fraction condens´ee est d´efinie par N0/N, et est donn´ee dans la limite thermody-namique pourT ≤Tc par,

N0

N = 1− T

Tc

α

. (2.5)

Calcul de la densit´e d’´energie pour une particule libre dans une boˆıte cubique de taille L

Pour un tel syst`eme, les niveaux d’´energieε(n1, n2, n3) sont donn´es par, ε(n1, n2, n3) = π²~²

2mL²(n²₁+n²₂+n²₃).

Ce sont les niveaux d’´energie εtels qu’il existe une solution non-nulle au probl`eme,







− ~²

2m∆φ=εφ sur Ω =]0, L[³, φ= 0 sur ∂Ω.

Le nombre de modesG(˜ε) d’´energie inf´erieure `a ˜εest donn´e par, G(˜ε) = Card{(n₁, n₂, n₃)∈(R+)³;ε(n₁, n₂, n₃)≤ε˜}.

Ce cardinal peut ˆetre approch´e, dans la limite thermodynamique, par le volume d’un octant d’une boule de rayonR= (^2mL_π2 ^2ε

~² )^1/2, G(ε) = 1

8 ·4

3πR³ = L³√

2(mε)^3/2 3π²~² . La densit´e d’´energieg(ε) est alors donn´ee par,

g(ε) = dG(ε)

dε = L³m^3/2

√2π²~³

ε^1/2. (2.6)

Ainsi, en reprenant la notation donn´ee par l’´equation (2.4), on obtient, α = 3

2, C_3/2= L³m^3/2

√2π²~³

. (2.7)

On peut aussi v´erifier que C_3/2 est bien proportionnel au volume L³ du syst`eme, ce qui justifie que la limite thermodynamique doit ˆetre prise quand le nombre de particule tend vers l’infini, mais queC<sub>3/2</sub><sup>−1</sup>N converge vers une limite finie. Ce calcul peut ˆetre g´en´eralis´e pour une dimension d quelconque, et on peut alors d´emontrer que α = <sup>d</sup><sub>2</sub>, et que la constanteCαest `a nouveau proportionnelle au volume du syst`eme. On peut donc conclure que le ph´enom`ene de condensation de Bose-Einstein ne survit `a la limite thermodynamique, dans le cas d’une particule libre, que lorsque la dimension est plus grande ou ´egale `a trois.

Calcul de la densit´e d’´energie pour une particule dans un pi`ege harmonique Par souci de simplification, on suppose que le potentiel quadratique (3D) est harmo-nique et donn´e par,

V(r) = 1

2mω(x²+y²+z²).

Dans ce cas, les niveaux d’´energieε(n₁, n₂, n₃) sont donn´es par, ε(n1, n2, n3) =

n1+n2+n3+3 2

~ω.

2.2. Les effets des interactions 45