Un modèle simple pour interpréter ces oscillations thermiques

Création du modèle

Nous avons vu que la façon la plus classique de modéliser l'eet thermique de la micro-circulation cutanée était d'utiliser le modèle de Pennes. Ce dernier modélise l'eet du sang (chaud) en ajoutant une source de chaleur ρbC_bω(T_b− T ), assimilée à la perfusion sanguine. Le terme ω, en s−1, est généralement constant pour chaque couche de la peau (derme et épiderme). Cette simplication s'explique par la densité très importante des vaisseaux de surface, malgré la complexité de leur organisation. L'objectif de cette étude étant de com-prendre l'eet de la peau, en surface, sur un signal sous-cutanée, cette simplication sur la perfusion ne peut pas être conservée de cette façon. On préfèrera localiser cette perfusion uniquement dans une zone délimitée que l'on catégorisera comme vascularisée, simulant ainsi un vaisseau.

Géométrie et modèle

Le modèle utilisé ici est inspiré des travaux de [Tang et al., 2017] mais se focalisera sur l'eet du DSmv sur la TC. Il comportera une seule structure vasculaire ainsi que de la peau non vascularisée (vrai pour l'épiderme). La structure vasculaire aura pour objectif principal de simuler les variations du DSmv, générées par l'activité de la thermorégulation, et d'étudier la réponse thermique obtenue en surface. Pour cela, le terme de perfusion sera paramétré de façon à ce qu'il oscille à des fréquences (f) et à des profondeurs (δ) variables (gure 2.16). L'épaisseur maximale du modèle sera basée sur l'épaisseur maximale du derme (4 mm) ainsi que de l'épiderme (1 mm) au niveau du pied [Démarchez, 2011a], soit une longueur L de 5 mm au total.

L

δ

Vaisseau

Peau

0

z

L'intégralité du modèle sera régi par l'équation suivante : ρC^∂T

∂t − k^∂

2T

∂z2 = ω(t)ρ_bC_b(T_b− T ) (2.14) où T = T (z, t) est la valeur de la température en tout point du domaine [0, L]. Les diérents paramètres présents ici sont les mêmes que dans l'équation 2.9 à la page 56. On posera :

ω(t) = (

ω₀(1 + A sin(2πf t)) | z = δ

0 | z 6= δ (2.15)

où ω0 est la valeur moyenne de ω(t), A (sans dimension) est un facteur de modulation de l'oscillation du terme de perfusion ω(t) et f la fréquence d'oscillation en Hz. Enn, on supposera en surface (z = 0) des pertes de chaleur par convection naturelle avec de l'air ainsi que des pertes par rayonnement (condition mixte). Pour les conditions en profondeur on se servira des travaux de Pennes, réalisés en 1948. Dans ces derniers, on avait vu qu'il avait relevé expérimentalement la température sur l'intégralité de la section du bras de plusieurs personnes. On observe dans ce cas que la température au milieu du bras est de l'ordre de 36◦C, alors que celle en surface est de l'ordre de 33◦C. Si on suppose que l'avant bras et le pied ont environ la même dimension (diamètre du bras comparable à l'épaisseur du pied), on obtient alors, sur les cinq premiers mm de la peau, un gradient thermique d'environ 153 ± 37◦C .m⁻¹. Nous imposons donc ce ux sur la borne inférieure du domaine en z = L = 5 mm. Ainsi, on peut résumer ces conditions aux limites de la façon suivante :

     k^{∂T (0, t)} ∂z ^{= h (T (0, t) − Tenv) + σ T (0, t)} 4− T4 env
k^{∂T (L, t)} ∂z ^{= 153} (2.16) où Tenv est la température de l'environnement, h le coecient de convection avec l'air,  l'emissivité de la peau à sa surface et σ la constante de Stefan-Boltzmann. Pour les appli-cations numériques à venir, tous les paramètres déjà existants dans le premier modèle déni dans la section 2.2 gardent les valeurs indiquées dans le tableau2.1 de la page 59. Pour les autres, on pose que σ = 5.67 × 10−8W m⁻²K⁻⁴ et  = 0.98 pour la peau humaine [Steketee, 1973]. Les derniers paramètres (f, A et ω0) sont discutés dans le paragraphe suivant. Quant à la résolution de ce problème, elle se fera de la même façon que pour le modèle précédent, c'est à dire par diérences nies.

Paramètres

Le modèle de [Tang et al., 2017] est utilisé comme référence pour dénir les derniers para-mètres du modèle. Ainsi, les fréquences testées iront de 0.1 Hz à 0.01 Hz, correspondant aux principales fréquences trouvées dans les analyses des variations du DSmv [Kastrup et al., 1989, Mizeva, 2017]. Le facteur de modulation A est pour l'instant déni à 0.5, constant dans le temps, assurant des oscillations du terme de perfusion ω(t) de 50% du niveau moyen ω0. An d'assurer la stabilité du modèle numérique vis à vis du nombre d'éléments, on im-posera la source thermique de la structure vasculaire non pas sur un seul pas d'espace ∆z, mais sur une zone de taille dénie au préalable (Dv = 50 µm par exemple pour un vaisseau dans le plexus réticulaire). Ainsi ∆z ne peut pas être plus grand que la taille du vaisseau à modéliser. Inversement, si ce pas d'espace est plus petit, il devra toujours rester une fraction

de la taille du vaisseau (c × ∆z = Dv | c ∈ N∗). Au nal nous xons c = 3, ce choix sera expliqué dans les pages suivantes.

A propos du terme de perfusion

Nous avons vu que pour simuler le réchauement des tissus par l'action du sang (chaud), il existait plusieurs méthodes. Certaines vont plutôt vouloir se rapprocher du réchauement par convection et déplacement du uide (Wul par exemple), alors que d'autres vont générer cet échauement par des sources de perfusion (modèle de Pennes), homogènes à des fréquences. Bien qu'il semblerait plus justié d'utiliser la première catégorie pour simuler l'échauement d'une structure vasculaire, nous avons vu que notre choix restera sur le modèle de Pennes. Sa simplicité de mise en ÷uvre et sa robustesse maintes fois éprouvées le rendent facilement adaptable à notre besoin. On montre en annexe F le lien pouvant exister entre le terme de perfusion ω et le transport de chaleur par le mouvement d'un uide.

Le modèle de Pennes possède le terme de perfusion ω, venant simuler l'eet du sang chaud. Pour un travail rigoureux, ce dernier se doit d'être déni avec soins. On sait qu'il s'agit d'un paramètre en s−1 et celui-ci s'assimile souvent à un volume de sang traversant un volume ni de tissu en un temps spécique. Pour son utilisation dans les modèles bio-thermiques, il est généralement constant dans l'ensemble du domaine d'étude, mais il est aussi souvent déni comme variable en fonction de la profondeur z et donc du type de tissu [B Wilson and Spence, 1988,Ratovoson et al., 2011].

Pour estimer la valeur physiologique de ce terme de perfusion il faut tout d'abord se renseigner sur le DSmv. D'après les travaux de [Johnson et al., 2014], la peau possède, au repos, une perfusion d'environ 30 − 40 ml/(100gtissumin). Connaissant la masse volumique moyenne des tissus (environ 1200 kg/m3) on peut convertir les 100 g en 83.3 mltissu et ainsi on obtient que 30 ml/(min 100gtissu) correspond à environ 6 × 10−3 ml/(ml_tissus), soit au nal une valeur retenue de 6 × 10−3s⁻¹. Ainsi, si dans notre modèle on souhaite avoir une source de perfusion homogène sur l'espace (non dépendante de z, comme le premier modèle déni par les équations 2.10), alors il faudrait imposer ω = 6 × 10−3s⁻¹.

Dans notre cas, on souhaite concentrer la source de chaleur uniquement au niveau de la structure vasculaire. Il conviendra donc d'augmenter la valeur de la perfusion propor-tionnellement à la taille de la structure simulée. Ainsi, par exemple si on se retrouve avec un modèle discrétisé en 300 pas d'espaces, dont 4 pour la structure vasculaire, il sura de prendre la valeur de perfusion concentrée suivante : ω0 = 6 × 10⁻³ × 300

4 = 0.45 s⁻¹. Cette hypothèse n'est valable que si l'on suppose que la seule source thermique venant échauer le tissu simulé est située au niveau de la structure vasculaire.

Convergence du modèle numérique

Pour naliser le modèle développé ici, il convient de dénir correctement le pas de temps (∆t) et le pas d'espace (∆z) à utiliser. Pour cela, on garde tous les paramètres dénis plus haut, et on observe l'évolution de la réponse du modèle en fonction du pas de temps et de la taille du pas d'espace.

Pour la convergence sur le pas de temps on fait simplement varier le terme ∆t pour un pas d'espace donné. Le temps d'observation étant déni à 2000 s, on testera le modèle pour les valeurs suivantes de ∆t : 0.05 s, 0.1 s, 1 s et 10 s. Le nombre de pas de calcul passera donc de 40 000 à uniquement 300. Les résultats sont illustrés dans la gure 2.17, on remarque

bien sur la gure2.17bla forte diérence de réponse entre ∆t = 10 s et 1 s. Au regard de ces derniers, et étant donné que le temps CPU passe d'environ 0.4 s pour ∆t = 10 s à environ 1 h pour ∆t = 0.05 s, notre choix se portera sur ∆t = 1 s, correspondant à un temps de calcul d'environ 13 s par simulation.

La taille du pas d'espace est aussi importante dans la convergence du calcul. En faisant évoluer ce paramètre, proportionnellement au nombre minimum (fonction de la structure vasculaire - vaisseau de ∆zmin = D_v = 50 µmici), on peut dénir le coecient c (∆z = Dv/c) garantissant un bon rapport convergence/temps CPU. La gure 2.18 montre l'évolution de la réponse pour le coecient c ayant pour valeur 1, 3, 5, 20 et 50.

Les prols naux obtenus pour c = 20 et 50 sont quasiment identiques mais avec des temps de calculs élevés (respectivement 3 min et 1 h, pour 2000 et 5000 pas d'espace). On prendra donc ces réponses comme référence. La valeur nale obtenue en surface (T (t = t_f, z = 0 mm) varie de la valeur de référence de 1.05 × 10−2 ◦C pour c = 1 ; 0.32 × 10−2 ◦C pour c = 3 et 0.19 × 10−2 ◦C pour c = 5. An de garantir une nesse de calcul inférieure au centième de degré nous choisissons donc c = 3 pour la suite de ces travaux.

(a) (b)

Figure 2.17  Inuence du pas de temps sur la réponse du modèle. (a) Prol thermique à l'instant nal pour les diérentes valeurs de dt. (b) Signal thermique temporel au niveau de la surface (T (z = 0, t)) pour les diérentes valeurs de dt.

(a) (b)

Figure 2.18  Inuence du coecient c sur la réponse thermique du modèle. (a) Prol thermique à l'instant nal pour les diérentes valeurs du coecient c. (b) Zoom de l'image de gauche sur la zone possèdant la structure vasculaire - zone entre les deux lignes noires en pointillées.

(a) (b)

Figure 2.19  Réponse du modèle en fonction de la profondeur z et du temps t ; pour f = 0.01 Hz. (a) Prol de température à diérents moments de la résolution (les pointillés noirs représentent la zone avec le vaisseau). (b) Evolution temporelle de la température au niveau du vaisseau (δ = 2.5 mm) et de la surface de la peau (z = 0).