Analyse de l'eet de la perfusion sur la thermique de surface

Le modèle étant bien déni, nous pouvons nous intéresser à l'étude ciblée : l'analyse de la TC en fonction de l'activité du DSmv. L'objectif est de comprendre et d'essayer de quantier les eets des diérents paramètres sur le signal thermique de surface (le seul accessible avec une caméra thermique). Dans cette section, sauf indication contraire, tous les paramètres du modèle resteront ceux indiqués ci-dessus.

Premiers résultats

La gure2.19amontre, pour une fréquence f donnée (0.01 Hz), l'évolution dans la profon-deur de la température du modèle à diérents instants. Ce tracé permet de mieux quantier les écarts de température entre les tissus sous la peau (z > 5 mm) et la TC, de l'ordre de 1.6

◦C , à l'équilibre thermique (n de la simulation après 2000 s). L'évolution temporelle de la température du vaisseau Tv = T (δ, t) et de la TC Tc= T (0, t) est tracée sur la gure 2.19b

dans le cas d'une sollicitation à f = 0.01 Hz et pour une structure vasculaire à 2.5 mm de profondeur (milieu du modèle). En moyenne, ces deux températures chutent vers un état d'équilibre s'instaurant avec l'environnement qui est à une température constante de 22◦C . Le régime permanent s'établit après environ 1000 s. La gure 2.20 reprend ces tracés mais en se plaçant en régime permanent (i.e. après 1400 s). La réponse thermique de la peau est volontairement décalée de 1.1 ◦C pour rendre l'image plus lisible dans la comparaison des signaux.

On constate que l'épaisseur de peau δ entre la surface du modèle et le vaisseau atténue le signal thermique oscillatoire d'un facteur d'environ deux, pour ces caractéristiques de chargement. La dépendance de l'amplitude des oscillations de la TC avec la fréquence f de sollicitation et la profondeur δ du vaisseau peut être étudiée à partir de la gure2.21. Sur l'axe vertical est tracé l'amplitude4 des variations thermiques de la TC, en régime permanent, pour

4. amplitude = M ax−M in 2

Figure 2.20  Evolution temporelle de la température au niveau de la peau (Tc) et du vaisseau (Tv) en régime pérmanent. La fré-quence de sollicitation est de 0.01 Hz et le vaisseau est à 2.5 mm de profondeur. Le dé-calage de la courbe de Tc est uniquement fait pour rendre cette gure plus lisible.

Figure 2.21  Evolution de l'amplitude des variations de température à la surface en fonction de la profondeur δ du vaisseau. La ligne en pointillé indique le seuil de détection des caméras thermiques refroidies.

deux fréquences (0.1 Hz et 0.01 Hz). Ces courbes montrent l'important rôle de ltrage passe-bas joué par la peau. En eet, on observe une décroissance de cette amplitude d'autant plus rapide avec la profondeur du vaisseau si la fréquence de sollicitation est élevée. L'évolution de l'amplitude est comparée au seuil de détection d'une caméra refroidie (20 mK). L'observation plus rigoureuse de l'atténuation induite par l'épaisseur de peau nous montre que, par exemple, pour une sollicitation lente (f = 0.01 Hz) et un vaisseau à 2 mm sous la peau, les amplitudes thermiques sont atténuées d'environ 43% au niveau de la surface de la peau. Ces dernières sont atténuées de 98% si la sollicitation devient plus rapide et passe à 0.1 Hz. Les tableaux2.2

et 2.3 regroupent les résultats d'amortissement de la peau pour les deux fréquences jusqu'à une profondeur de 4 mm.

On note Tv et Tcles températures moyennes, en régime permanent, au niveau du vaisseau et au niveau de la surface de la peau. L'évolution, en fonction de la profondeur du vaisseau δ et pour les fréquences de 0.01 Hz et 0.1 Hz, de ces deux températures moyennes est reportée dans les tableau2.4 et2.5. On constate que, pour une profondeur donnée : Tc(f = 0.1Hz) > T_c(f = 0.01Hz) et Tv(f = 0.1Hz) > T_v(f = 0.01Hz). Bien que les diérences thermiques soit faibles, cela pourrait donc possiblement indiquer une meilleure évacuation de la chaleur par les mécanismes lents.

L'augmentation de la température interne (au niveau du vaisseau) en fonction de son enfoncement dans la peau s'explique par l'éloignement de la structure vasculaire (source de chaleur) de la surface. Cela a pour eet d'éloigner cette dernière des fuites thermiques (convection et rayonnement) et de la rapprocher de la limite inférieure du modèle (z = 0 ; pas de fuite). Cette augmentation de la température interne est de l'ordre de +0.05◦C .mm⁻¹ quelle que soit la fréquence.

Avec ces résultats on peut espérer répondre à la question suivante : si la structure vas-culaire, activée par les mécanismes de thermorégulation, est à une profondeur z et "pulse"

Profondeur δ (mm) Perte (%) Déphasage (◦) 0.5 2.41 3.6 1 9.17 21.6 1.5 24.21 43.2 2 43.65 68.4 2.5 59.99 86.4 3 71.73 108 3.5 79.88 122 4 85.59 140

Table 2.2  Evolution des amplitudes pour f = 0.01Hz

Profondeur δ (mm) Perte (%) Déphasage (◦)

0.5 32.59 36 1 77.64 72 1.5 93.17 108 2 97.81 180 2.5 99.3 216 3 99.79 252 3.5 ∅ ∅ 4 ∅ ∅

Table 2.3  Evolution des amplitudes pour f = 0.1Hz Profondeur δ (mm) Tc (◦C ) Tv (◦C ) 0.5 34.13 34.39 1 33.91 34.42 1.5 33.7 34.46 2 33.48 34.48 2.5 33.28 34.51 3 33.09 34.53 3.5 32.9 34.56 4 32.72 34.58 Table 2.4  Evolution des températures moyennes pour f = 0.01Hz Profondeur δ (mm) Tc (◦C ) Tv (◦C ) 0.5 34.15 34.41 1 33.92 34.44 1.5 33.71 34.47 2 33.49 34.49 2.5 33.29 34.52 3 33.1 34.54 3.5 ∅ ∅ 4 ∅ ∅

Table 2.5  Evolution des températures moyennes pour f = 0.1Hz

à une fréquence f, est-on capable de détecter les variations thermiques de surface induites par celle-ci ?

On se rend compte que pour f = 0.1Hz, les signaux sont rapidement et fortement at-ténués par la peau. On suppose donc que les vaisseaux pulsant à cette vitesse ne seront visibles en surface que s'ils sont très proches de la surface. En eet, après uniquement 1 mm de profondeur on atteint déjà une atténuation de plus de 77% du signal (tableau 2.3). Si on suppose que le capteur est une caméra thermique avec un NET D5 de 20 mK, alors on constatera que, dans ces conditions, même à une profondeur de 1 mm l'excitation n'est déjà plus détectable, cette dernière ayant une amplitude en surface d'uniquement 8 mK. En eet, le NET D indique qu'en dessous de 20 mK le signal détecté ne peut plus être correctement diérencié du bruit numérique inhérent au capteur. Vouloir observer/estimer des signaux inférieurs à ce NET D n'est donc pas possible. Pour les variations obtenues à f = 0.01 Hz les résultats sont bien diérents. La période plus lente (100 s) permet un échauement plus important en interne tout en atténuant l'eet de ltrage passe-bas, cela a pour eet de laisser visibles ces variations jusqu'à une profondeur de vaisseau d'environ 3.5 mm.

Un eet de ltrage passe-bas de la peau est mis en avant ici, pouvant limiter nos observa-tions. On souhaite donc maintenant comprendre comment faire pour accentuer les oscillations au niveau du vaisseau an de les rendre de nouveau visibles en surface. C'est l'objectif des paragraphes suivants.

(a) (b)

Figure 2.22  Eet de ω0 sur :a) la TC moyenne en régime permanent et surb) l'amplitude des oscillations thermiques de surface - (f = 0.01 Hz - δ = 2.5 mm).

Inuence du paramètre de perfusion moyenne ω0

Nous avons déni dans la section 2.3.1, à la page 69, que ω = 6 × 10−3s⁻¹ dans le cas d'une source homogènement répartie, quelle que soit la fréquence et la profondeur du vaisseau. Cela donnait avec nos paramètres un terme de perfusion moyenne, concentré au niveau du vaisseau, de 0.45 s−1 (ω0). Cependant on sait qu'en surface les capillaires drainent moins de volume sanguin qu'au niveau du derme profond, contredisant le modèle écrit ici avec un unique vaisseau moyen. An d'étudier les eets d'une telle hypothèse on souhaite donc tester l'inuence de ce terme sur la réponse globale du modèle.

On se place dans les conditions suivantes. La fréquence basse de 0.01 Hz ltre bien moins que celle à 0.1 Hz, on xera donc f = 0.01 Hz. Pour la profondeur de la structure vasculaire, celle-ci sera xée au milieu de notre modèle pour limiter les eets de bords (δ = 2.5 mm). Et enn, on xera l'amplitude des variations du terme de perfusion ω(t) à la moitié de la valeur de la perfusion moyenne, ce qui conduit à A = 0.5 (équation 2.15). Le terme de perfusion ω₀, quant à lui, variera entre 0.45 et 4 s−1, un facteur d'environ dix pouvant exister entre le DSmv dans un état de normothermie6 et celui d'hyperthermie [Johnson et al., 2014]. On obtient les résultats inattendus visibles sur la gure 2.22.

En augmentant le niveau moyen ω0, on augmente le terme de perfusion ω(t) et donc la source de chaleur. On trouve logiquement une température moyenne augmentant aussi, et tendant vers Tb (gure2.22a). Cependant, les variations en surface diminuent (gure2.22b). Cela signie en premier lieu qu'une élévation du niveau moyen du terme de perfusion ne permet pas de rendre les variations thermiques de surface plus visibles, bien au contraire. En eet l'augmentation de ω0 accentue la source de chaleur tirant le modèle vers Tb. La température de ce modèle ne pouvant en aucun cas dépasser cette valeur (rien n'est au dessus de Tb et aucune source constante n'est présente), les variations thermiques ne peuvent, elles, que diminuer. Ainsi, pour s'assurer de la visibilité des variations thermiques en surface il faut compter sur un autre paramètre. Nous allons donc maintenant étudier le rôle du paramètre d'amplitude A.

(a) (b)

Figure 2.23  Eet du paramètre A sur l'amplitude des oscillations thermiques de surface (a) et sur la TC moyenne en régime permanent (b) - (f = 0.01 Hz - δ = 2.5 mm).

(a) (b)

Figure 2.24  Amplitude des variations thermiques en fonction du terme A. En (a) : f = 0.01Hz δ = 3.5 mm - En (b) : f = 0.1Hz δ = 2 mm. On observe bien la même évolution quasi-linéaire de l'amplitude des variations thermiques de la TC si on augmente le paramètre A.

Inuence du paramètre d'amplitude A

On vient de voir que la simple augmentation du niveau moyen de perfusion ne susait pas pour garantir la visibilité des oscillations thermiques de surface. Au contraire, elles tendent à disparaitre si ω0 est trop élevé. Que se passe-t-il si on fait varier uniquement A, le terme d'amplitude des oscillations de la perfusion ?

On garde les mêmes conditions que pour l'étude de ω0, ce dernier étant maintenant xé à sa valeur initiale de 0.45 s−1, et on fait varier A de 0.1 (très faibles oscillations) à 1 (oscillations de l'amplitude de ω0). Dans ce dernier cas le terme de perfusion ω(t) va varier entre 0 et 0.9 (12 ml/(mltissus)- deux fois la valeur initiale). Le niveau moyen de la perfusion ω0 ne variant pas, on peut s'attendre à une variation de la température de surface plus faible que celle constatée avec la variation de ω0. On espère en revanche une augmentation plus ou moins continue de l'amplitude thermique en surface. La gure 2.23 illustre les résultats obtenus en fonction du paramètre A.

variations thermiques de surface est constamment croissante (gure2.23a), et ce de manière globalement linéaire. Ensuite, la température moyenne de surface diminue faiblement avec l'augmentation de A (diminution de l'ordre de 0.06◦C - gure 2.23b), ce qui est cependant négligeable comparé à l'inuence des autres paramètres pouvant venir changer grandement cette valeur (Tenv, T_b, k, ...). An de vérier l'allure de la réponse obtenue, on testera aussi l'inuence de A pour f = 0.01 Hz à 3.5 mm de profondeur ainsi que pour f = 0.1 Hz à 2 mm de profondeur. La quasi-linéarité de la réponse sera toujours vériée et les réponses sont achées dans la gure 2.24.

On peut en déduire que la valeur de l'amplitude des variations thermiques de surface est fonction de plusieurs paramètres mais globalement linéaire vis-à-vis du paramètre A. Si on écrit que la température de surface vaut environ Tc = T_moy+ T_var (valeur moyenne plus variations) alors on sait que la partie Tvar évolue toujours globalement linéairement en fonction de l'augmentation de A. On peut donc supposer que Tvar = f_n(ω₀, f, δ, . . .).A + cst. Avec fn une fonction inconnue.

Au nal on a, pour chaque couple fréquence/profondeur, une évolution qui sera supposée linéaire des variations thermiques de surface en fonction de l'amplitude de la source (A). On peut ensuite observer l'évolution du coecient de linéarité a (y = ax+b), pour une fréquence donnée, en faisant varier la profondeur de 0.5 mm à 4 mm. On obtiendra, pour f = 0.01Hz et f = 0.1Hz, des courbes ayant l'allure d'une fonction en 1/z. Cela signie donc que plus le vaisseau est profond sous la peau, et moins l'augmentation du terme A n'aura d'eet sur la température de surface.

Eets couplés de ω0 et A

On a vu que l'augmentation seule de ω0 tendait à diminuer la valeur des variations thermiques de surface alors que l'augmentation de A avait l'eet inverse d'augmenter ces variations. Or, dans la formulation de notre problème ω(t) établit un lien entre ω0 et A : ω(t) = ω₀(1 + A sin(2π f t). Ces deux ayant un eet antagoniste sur l'évolution des variations thermiques de surface, quel sera leurs eets sur la TC si elles augmentent en même temps ? Si on refait varier le terme de perfusion moyenne ω0 avec l'expression de ω(t) décrite ci-dessus et en prenant A = 0.5, alors la composante oscillatoire du terme de perfusion aug-mente aussi (valant 50% de ω0). La gure2.25montre l'évolution des amplitudes thermiques de surface pour diérentes valeurs de A et de ω0. On remarque que les trois courbes données sont toutes non monotones et ont la même allure. Tout d'abord les amplitudes thermiques de surface augmentent jusqu'à une valeur critique de ω0, notée ω∗

0. Passé cette valeur de perfusion moyenne, les amplitudes thermiques de surface diminuent de nouveau. On voit aussi que plus le paramètre A est important et plus les variations thermiques de la TC sont importantes. Les paragraphes précédents (eet des paramètres ω0 et A) indiquaient justement que l'augmentation du terme de perfusion ω0 diminuait les amplitudes thermiques de surface et, inversement, l'augmentation du terme d'amplitude A augmentait les ampli-tudes thermiques de surface. On constate bien dans la gure 2.25 que pour un A élevé les amplitudes thermiques de surface sont maximums. De plus, un A élevé augmente la valeur critique ω∗

0 inversant la tendance de la courbe. On suppose donc que, pour une perfusion moyenne inférieure à ω∗

0, le paramètre d'amplitude A est prépondérant sur l'évolution des amplitudes thermiques de surface. Passé ce seuil de perfusion, le paramètre ω0 a une inuence sur les amplitudes thermiques de surface supérieure à celle du paramètre A, diminuant ainsi

Figure 2.25  Evolution des amplitudes des variations thermiques de la TC en fonction de l'augmentation du paramètre de perfusion moyenne ω0 et pour quelques valeurs de A. Les traits noirs pointillés indiquent la valeur ω∗

0 pour laquelle la tendance de l'évolution du signal s'inverse (eet positif sur les amplitudes thermiques de surface, puis négatif).

l'amplitude de ces variations.

Cartographie du seuil de détection

Dans cette partie on cherche à cartographier le niveau de perfusion minimum nécessaire pour la détection de variations thermiques au niveau de la peau. On a vu que le niveau minimum de perfusion de notre modèle (en état de normothérmie) est de ω0 = 0.45 s⁻¹ et qu'en état d'hyperémie ce niveau peut être multiplié par 10. Étant donné qu'il est di-cile de reproduire la complexité du corps humain, on supposera le fonctionnement suivant. L'activation des mécanismes oscillatoires de thermorégulation ont lieu, en général, dans des conditions chaudes. On supposera donc que ω(t) sera toujours au moins égal à 0.45 s−1. De plus, on supposera que l'intensité des oscillations ne pourra pas augmenter au dessus de 4 s⁻¹, le niveau maximum lors d'une hyperémie (facteur 10). Ainsi on xe sur la terme de perfusion ω(t) son minimum ωmin à 0.45 s−1 et on laisse libre le paramètre ωmax ≤ 4 s−1.

On souhaite par la suite, connaissant la sensibilité de notre capteur thermique de surface (supposée à 20 mK), estimer la valeur de la perfusion ωmaxnécessaire pour garantir la visibi-lité des oscillations thermiques en surface (amplitude thermique supérieure à la sensibivisibi-lité). An de ne pas se restreindre à une profondeur et une fréquence donnée, le terme de perfu-sion ωmax sera évalué pour l'ensemble des couples possibles pour une profondeur allant de 0.2 mm à 4 mm et un fréquence allant de 0.01 Hz à 0.1 Hz. La valeur de ωmax en fonction de la profondeur du vaisseau et de la fréquence de sollicitation est visible sur la gure 2.26 en 2D et 3D. La perfusion maximale ne pouvant pas dépasser 4 s−1 (limite supérieure que nous supposons être physiologiquement acceptable), on observe bien le fait que les mécanismes rapides sont bien plus dicile à observer que les lents. En eet une importante zone de la cartographie de ωmax est saturée, indiquant donc l'impossibilité d'observer en surface des oscillations thermiques provenant de cette zone.

Figure 2.26  Cartographie du niveau minimum de perfusion (ωmax) en fonction de la profondeur de la structure vasculaire et de la fréquence d'oscillation (en 2D à gauche et en 3D à droite). Ce niveau de perfusion ωmax doit assurer la détection en surface des variations thermiques initiées à la profondeur δ et à une fréquence f. A gauche une vue en 2D de la cartographie et à droite la même cartographie en 3D. On visualise clairement sur cette dernière l'augmentation abrupte du niveau de perfusion ωmax nécessaire à la détection des variations thermiques en surface.

du pied peut atteindre 1 mm d'épaisseur. On remarque donc que les mécanismes agissants au delà de 0.1 Hz ne peuvent quasiment jamais être détectés. En eet, à 0.1 Hz le signal en surface n'est observable que si la profondeur du vaisseau est inférieure à 0.8 mm, ce qui est probablement impossible car à cette profondeur on se situe peut être déjà dans l'épiderme. On voit aussi que le ltrage passe-bas du signal ne se fait pas linéairement et que pour chaque profondeur il apparait à chaque fois une courte bande de fréquences à laquelle on observe une augmentation drastique du niveau de perfusion ωmax (type fonction de Heaviside). On suppose donc que si la condition de visibilité des oscillations thermiques de surface n'est pas respectée (amplitude thermique inférieure à la sensibilité) alors une importante augmentation de la perfusion ωmax est nécessaire pour de nouveau garantir cette condition en surface.