Transformée en ondelettes

Comme indiqué dans la section3.1.5, nous savons que, pour des analyses fréquentielles de signaux thermiques biologiques, la transformée en ondelettes est l'outil généralement utilisé par la communauté scientique. Nous allons ici justier ce choix, en particulier face à la plus classique transformée de Fourier, puis développer et enn tester cet outil. Il sera par la suite largement utilisé pour l'exploitation des résultats obtenus lors de la phase d'inclusion des sujets.

Présentation de l'outil des ondelettes

On sait que l'activité de la thermorégulation se manifeste par des oscillations, plus ou moins rapides, du DSmv. Pour étudier ces variations, la communauté scientique de cette thématique utilise donc majoritairement l'outil de transformée en ondelettes, au lieu de la transformée de Fourier.

Figure 3.16  Signal modulé en fréquence et sa transformée de Fourier associée. Les variations du DSmv se manifestent

sou-vent par l'apparition temporelle localisée d'évé-nements (un mécanisme à une fréquence f peut apparaitre pendant uniquement quelques se-condes), or, la transformée de Fourier n'a de réso-lution que dans l'espace des fréquences. Son uti-lisation permettra donc l'identication des fré-quences composant un signal, à condition que ce dernier soit stationnaire, mais aucune informa-tion temporelle ne sera directement accessible. Pour illustrer ce propos il est souvent donné en exemple la transformée de Fourier d'un signal chirp, un signal pseudo-périodique, modulé en fréquence (voir gure 3.16). L'analyse en fré-quence par la transformée de Fourier donne un résultat perdant toute information temporelle.

Le DSmv étant un signal non-stationnaire, cet outil ne peut pas être utilisé précisément ici [Jo Geyer et al., 2004, Podtaev et al., 2014, Parshakov et al., 2016]. Néanmoins, il est possible d'obtenir le spectrogramme3 du signal en utilisant la transformée de Fourier à fenêtre glissante. Cependant, pour celle-ci, il est nécessaire de faire un compromis entre la résolution fréquentielle et temporelle - surtout si le signal est court comparé aux fréquences le composant. De plus, les résultats restent toujours fortement discrétisés et aectés par des eets de bords.

Dans le cas d'un signal du DSmv, la sélection d'une fenêtre avec la bonne dimension pou-vant garantir une résolution correcte, dans le temps et en fréquence, est quasiment toujours impossible [Stefanovska et al., 1999]. En eet, les basses fréquences de ce genre de signaux sont aux alentours de 0.01 Hz (période de 100 s). Une bonne résolution ne serait donc pos-sible qu'avec un enregistrement extrêmement long et avec un taux d'échantillonnage élevé, ce qui n'est pas toujours possible lors d'un travail sur des patients.

L'outil de transformée en ondelettes est, quant à lui, très bien adapté aux signaux non-stationnaires. Sa formulation la rend aussi plus souple en ce qui concerne la résolution quentielle, étant donné qu'elle devient principalement dépendante de l'utilisateur. Les fré-quences testées ne sont plus dépendantes de la longueur du signal, et bien moins dépendantes du taux d'échantillonnage. De plus, les eets de bords peuvent être assez facilement pris en compte (limitant ainsi des potentielles pertes d'informations). La diérence de ces deux ou-tils est illustrée sur la gure3.17. La faiblesse de la discrétisation sur l'axe des fréquences de Fourier à fenêtre glissante est due au taux d'échantillonnage déni ici à 1 Hz. En conclusion, malgré l'ecacité reconnue de l'outil de la transformée de Fourier, on préfèrera ici l'usage de la transformée en ondelettes. La dénition plus rigoureuse de cet outil, la méthode pour l'implémenter ainsi qu'un test sont fournis en annexe H.

Eets de bords

Le c÷ur de la transformée en ondelettes est le produit de convolution entre l'ondelette mère (Morlet dans notre cas) avec le signal. Si le signal est de taille inni alors aucun

Figure 3.17  Comparaison des résultats obtenus, sur un même signal non-stationnaire (en haut), suite à une transformée de Fourier à fenêtre glissante (résultat au milieu) et à une transformée en ondelettes (résultat en bas).

problème ne se pose. Cependant, dans le cas inverse, pour garantir un signal en sortie de la même taille que celui en entrée, l'ondelette mère "débordera" nécessairement à l'extérieur du signal. La multiplication entre l'ondelette mère et le signal sur les bords est donc faussée par des multiplications par zéro (zero padding). Ces valeurs nulles introduisent donc parfois un saut important entre la valeur sur le bord du signal (pouvant être très diérentes de zéro) et la zone complétée par zéro. Le principe du zero padding est illustré dans la gure

4.29 de l'annexe J. Ce problème, aussi appelé cône d'inuence [Slavi£ et al., 2003, Torrence and P. Compo, 1997], est connu de la communauté scientique mais aucune solution exacte, s'adaptant à n'importe quel problème, n'existe encore pour limiter ces eets de bords.

Sur ce constat nous essaierons de limiter au maximum ces eets an de ne pas perdre d'information. En eet, la solution facilement utilisable est de ne pas tenir compte des signaux trop près des bords. Or, on sait que les signaux à exploiter dureront 10 min et que les fréquences d'intérêts sont environ à 0.01 Hz, possédant ainsi une période de 100 s. Ainsi, on sait que, si on ne souhaite garder que les signaux n'étant pas aectés par les bords, nous ne pourrions conserver que les 400 s centrales. Soit une perte d'environ 33 % du signal.

Deux solutions simples à mettre en place s'ore à nous : compléter le signal avec une symétrie de ce signal paire ou impaire. Pour tester ces deux solutions un signal test est créé. Celui-ci est composé d'une fréquence propre de 0.02 Hz et sur ses bords sont ajoutés des fractions d'oscillations à 0.01 Hz et 0.008 Hz. La gure 3.18 illustre les résultats obtenus en fonction des diérentes solutions. Le fait de compléter le signal avec sa symétrie inverse semble avoir de bien meilleurs résultats. Cette correction est donc conservée par la suite. Cependant elle introduit un décalage dans la fréquence à identier (problème connu [Slavi£ et al., 2003]), il faudra donc faire attention à bien prendre en compte aussi ces fréquences décalées.

Nous connaissons maintenant l'outil d'analyse spectrale à utiliser mais le ltrage du signal avant d'utiliser cet outil n'est pas encore déni. En eet, il est nécessaire de retirer toutes

Figure 3.18  Visualisation des eets de bords et tentative de les diminuer. Les lignes pointillées noires indiquent les fréquences cibles. Les lignes pointillées rouges indiquent les zones où les eets de bords interviennent (zone théoriquement à supprimer si rien n'est fait). De haut en bas : pas de traitement des eets de bord ; signal complété sur ces bords par une symétrie paire de ce dernier ; signal complété sur ces bords par une symétrie impaire de ce dernier.

fréquences hors de la zone d'étude, ces dernières pouvant parasiter/atténuer la réponse.