Un exemple de résultat expérimental et de dépouillement

Avant de tirer des résultats généraux des différentes expériences réalisées, nous allons décrire en détail un exemple de résultat obtenu dans le cas où l’électrode plane était une cathode et proposer le dépouillement le plus complet possible des résultats obtenus. Pour l’exemple concerné, les évolutions du courant et de la tension sont données sur la

figure 4.33. L’instant de la prise de photographie est également précisé. L’intensité du courant d’arc peut être approximée par la formule suivante en vue de la simulation :

I_arc(t) = 95 exp^{ −t} 10−4



+ 253 − 14300t (4.25)

La durée de l’arc est de 7,21 ms et l’instant de prise d’image est à 3,26 ms après le début de l’arc. La cartographie thermique 3D obtenue est représentée sur la figure 4.34. Il faut noter que les valeurs de température en dessous de 200◦C n’ont pas de sens physique du fait de la gamme de température choisie pour la mesure. Du coup, l’extension radiale de la zone de validité des températures est de l’ordre de 1000 µm. La figure 4.35 montre un exemple de profil de température passant par le maximum de température. Dans le but de comparer les résultats de modèle numérique et les résultats expérimentaux, un lissage gaussien est reporté sur cette figure. Son expression est :

y(x) = y0+ A0exp ^−x2

2w2

!

(4.26)

Figure 4.34 – Cartographie thermique obtenue pour l’exemple considéré ; les valeurs de température en

dessous de 200◦C n’ont pas de sens physique.

-1000 0 1000 200 300 400 Temp era tu re (°C) Position (µm)

Le problème inverse : à la recherche du bilan de puissance

L’objectif est de trouver les valeurs de Véq et Q0 qui vont permettre de s’approcher au mieux de la courbe expérimentale. Le premier critère de comparaison que nous proposons consiste à comparer le profil expérimental moyen (ou plutôt son lissage) avec le résultat du calcul. En appellant ri la distance entre l’axe de symétrie et la position du ie «nœud» du maillage correspondant aux positions radiales des points sur la surface inférieure de l’électrode, on s’est dans un premier temps proposé d’estimer l’écart relatif moyen entre les températures expérimentales et calculées sur le profil considéré au moyen de la fonction écart : écart = ¹ N(Rcomp) N (Rcomp) X i=1 |Texp(ri) − Tcal(ri)| Texp(ri) ^(4.27)

où N(Rcomp) est le nombre de points de comparaison pour une valeur du rayon sur lequel on fait la comparaison, Texp(ri) est la valeur du profil expérimental lissé en ri (on a bien sûr r_i 6Rcomp), et Tcal(ri) est la valeur calculée de la température en ri. Plusieurs valeurs de Véq et Q0 ont ainsi été essayées et les résultats concernant la valeur de l’écart en fonction de Qmax pour divers Véq calculés. Il faut par ailleurs se donner un critère de compatibilité. L’émissivité de la peinture se situant entre 0,9 et 1, l’erreur sur la valeur de la température mesurée est de l’ordre de 2,5%. Nous nous sommes donné comme critère une valeur de la fonction écart inférieure ou égale à 5% (soit le double de l’incertitude sur la valeur de la température). Ce premier critère présente cependant l’inconvénient suivant : le maillage n’étant pas uniforme en surface, mais plus dense au centre, c’est cette zone qui pilote l’algorithme. On peut donc avoir une valeur de la fonction écart faible et un bon accord entre le profil expérimental et la simulation au centre, pour r ∈ [0 µm; 150 µm], alors que pour r de l’ordre de 750 µm l’écart peut parfois atteindre une centaine de degrés Celsius. Nous optons donc pour un critère plus radical, en considérant une norme «max» : l’écart maximal entre les courbes expérimentales et les courbes calculées ne doit pas dépasser 5% de l’élévation de température sur l’ensemble de la zone de validité de la mesure. À titre d’illustration, pour le cas décrit dans cette partie, l’élévation maximale de température vaut 425◦C et nous retenons les couples (Véq, Q0) qui conduisent à une différence entre les courbes de moins de 21◦C. Nous avons tracé sur la figure 4.36 l’écart maximal de température (noté Tmax) atteint en fonction de la valeur de Q0 pour deux valeurs de Véq

(5 et 6 V). On voit qu’une zone de compatibilité existe pour Véq = 5 V alors qu’aucune zone n’est possible pour Véq = 6 V. La figure 4.37 présente une synthèse des calculs en déterminant dans le plan (Véq, Q0) une zone dans laquelle les profils de température mesurés et les profils de température calculés vérifient le critère sur Tmax.

Commentaires

Nous avons d’autres informations à notre disposition, par exemple la possibilité d’ob-server le cratère laissé par l’arc au profilomètre optique 3D. La figure 4.38 nous donne une image de ce cratère en coupe le long d’un diamètre. La profondeur minimale fondue est de l’ordre de 35–40 µm et le diamètre minimal fondu de l’ordre de 760–780 µm. Les calculs menés pour des couples (Véq;Q0) conduisant à des profils compatibles avec l’expérience ont conduit à des profondeurs fondues toujours supérieures à 44 µm et des diamètres fondus supérieurs à 800 µm. Dans ce cas les deux critères sont compatibles.

Figure 4.36 – Valeur de ∆Tmax en fonction de Q0 pour deux valeurs de Véq; la ligne marquant 5% de l’élévation de température est précisée en vert.

4.0 4.5 5.0 5.5 3.00E+008 3.50E+008 4.00E+008 4.50E+008 5.00E+008 Q⁰ (W /m² ) V_eq (V)

Figure 4.37 – Zone de compatibilité entre expérience et modélisation pour la détermination de Q0et

Figure 4.38 – Observation du cratère au profilomètre après l’arc ; le diamètre minimal de la zone fondue est de l’ordre de 760–780 µm ; la profondeur minimale est de l’ordre de 35–40 µm.