Un contre-exemple

Pour conclure cette discussion sur ces problèmes d’extension de formes

plu-ricanoniques, on se propose de montrer sur un exemple que les conditions de

positivité surLdans le théorème 12.2.1 ne peuvent être affaiblies. Sur l’exemple

en question, les fibrésLetL−Ssont mêmenef (en particulier pseudo-effectifs)

et l’application de restriction n’est en aucun cas surjective. Cette construction

est en partie extraite de [DPS94] :

Soit E une courbe elliptique et V l’unique fibré de rang 2 sur E obtenu

comme extension non scindée du fibré trivial par lui-même :

0−→OE −→V −→OE−→0.

En particulier,V est numériquement plat :c

1

(V) = 0etc

2

(V) = 0. Considérons

alors la surfaceX=P(V)et la sectionS=P(OE)⊂X du réglageπ:X −→E.

Il est aisé de vérifier queS satisfait aux égalités suivantes :

S

²

= 0, OX(S) =O

P(V)

(1), et OS(S) =OS.

D’autre part, le fibré canonique deX est donné par :

On choisit alors pourLle fibré en droites :L=OX(2S) =O

_P(V)

(2). CommeV

est numériquement plat, il estnef comme fibré vectoriel et ainsi

L−S=OX(2S)−OX(S) =O

_P(V)

(1)

est également nef. Or, comme

K

X

+L+S=OX(−2S) +OX(2S) +OX(S) =O

P(V)

(1)

K

S

+L

_|S

= (K

X

+L+S)

_|S

=OS(S) =OS,

l’application de restriction (pourm≥1) :

H

0

(X,O

P(V)

(m))'H

0

(X, m(K

X

+S+L))−→H

0

(S, m(K

S

+L))'H

0

(S,OS)

est en fait l’application nulle. Elle n’est,a f ortiori, pas surjective.

Remarque 12.5.1

Dans [DPS94], le fibréLest un exemple de fibré en droitesnef qui n’est

cepen-dant pas hermitien semi-positif (i.e. Ln’admet pas de métrique lisse à courbure

positive ou nulle).

Annexe A

Deux lemmes de théorie des

groupes

Commencons par un premier résultat concernant les groupes presque

abé-liens ; on rappelle qu’un groupe est dit presque abélien (ou virtuellement abélien)

si il possède un sous-groupe d’indice fini qui est abélien.

Lemme A.0.1

Soit une suite exacte de groupes :

1−→F −→G−→

^π

H −→1

avecF un groupe fini,Gde type fini etH presque abélien. Dans cette situation,

Gest également presque abélien.

Démonstration :

On peut supposer queH 'G/F est abélien (et ceci n’affecte pas l’hypothèseG

de type fini). De plus, la conjugaison donne un morphisme c : G−→Aut(F)

de noyau d’indice fini dans G. Quitte à remplacerGpar Ker(c), on peut donc

supposerF abélien et central dansG. Si on poseN =card(F), on note

abusi-vement N : H −→ H la multiplication parN (H étant abélien, l’application

N est bien définie) ; soit alors :H^e =Im(N) =N·H. PuisqueGest de type fini,

H l’est également et ceci entraine en particulier queH^e est d’indice fini dansH

et G^e=π

−1

(H^e)est donc également d’indice fini dansG. Pour conclure, il suffit

de remarquer que l’application :

½

G×G −→ F

(x, y) 7→ [x, y] =xyx

−1

y

−1

est bien définie et passe au quotient (carF est central dansG) en :

cm : H×H −→F.

Or, si (g, h) ∈H^e, on a clairement : cm(g, h) = 0 (H^e =N·H). On en déduit

alors immédiatement que G^eest abélien.¤

fon-condition suffisante de commensurabilité. Dans le lemme suivant, la

terminolo-gie groupe de surface désigne le groupe fondamental d’une surface de Riemann

compacte :

Lemme A.0.2

Si on a une suite exacte de groupes :1−→N −→G−→H −→1 avec N fini

etH un groupe de surface, alors Gest commensurable àH.

Démonstration :

Si on a une telle suite exacte :1−→N −→G−→H−→1avecN fini etH un

groupe de surface, on peut tout d’abord se ramener àNcentral dansG. En effet,

l’action par conjugaison de Gsur N définit un morphisme c:G−→ Aut(N);

G

1

=Ker(c)est un sous-groupe d’indice fini de G(donc commensurable àG)

et en posantN

1

=N∩G

1

etH

1

l’image deG

1

dansH, on obtient une nouvelle

suite exacte : 1 −→ N

1

−→ G

1

−→ H

1

−→ 1 et comme H

1

est clairement

d’indice fini dans H, c’est encore un groupe de surface. On supposera donc

dorénavant l’extension1−→N −→G−→H −→1 centrale.

Mais les extensions centrales de H parN sont classifiées par le groupe de

cohomologieH

2

(H, N)et une telle extension est représentée par la donnée d’un

élémentξ∈H

2

(H, N). Si on peut exhiber un sous-groupeH

0

d’indice fini dans

H tel que ξk

H0

soit trivial, l’extension correspondante à H

0

sera scindée et, a

fortiori,Gsera commensurable àH. De plus, comme on a supposéNabélien (et

fini), on sait queN est un produit direct de groupes cycliques et pour simplifier,

on supposera désormais que N =Z

m

est cyclique d’ordre m. On a alors une

suite exacte courte :

0−→Z−→

^·m

Z−→N−→0

qui donne une suite exacte longue en cohomologie :

· · · ^//H

2

(H,Z)

^·m

^//H

2

(H,Z) ^//H

2

(H, N) ^//H

3

(H,Z) ^//· · ·

Mais H = π

1

(C) (où C est une courbe de genre ≥ 1) et comme C est un

espace K(H,1), on en déduit que : H

∗

(H,Z) 'H

∗

(C,Z) e de même pour la

cohomologie à valeurs dans N; en particulier,H

2

(H,Z)'Zet H

3

(H,Z) = 0.

Comme on peut également écrire cette suite longue pour C

0

revêtement deC

de degrém(ça existe), on obtient le diagramme suivant :

· · · ^//H

2

(C,Z)

²

²

·m

//_H

2

(C,Z)

²

²

/

/_H

2

(C, N)

²

²

/

/₀

· · · ^//H

2

(C

0

,Z)

^·m

^//H

2

(C

0

,Z) ^//H

2

(C

0

, N) ^//0

Mais comme C

0

−→ C est un revêtement (étale) de degré m, l’application

H

2

(C,Z)−→H

2

(C

0

,Z)est clairement la muliplication parm, d’où :

· · · ^//_Z ^//

·m

²

²

Z

·m

²

²

/

/_H

2

(C, N)

²

²

/

/₀

· · · ^//_Z

^·m

^//_Z ^//H

2

(C

0

, N) ^//0

et de l’exactitude de ce diagramme, on tire facilement que la flèche :H

2

(C, N)−→

H

2

(C

0

, N) est identiquement nulle. Si H

0

= π

1

(C

0

), on a donc bien : ξ

_kH0

et

l’extension correspondante est scindée.

On constate également que cette démonstration s’adapte au cas oùN est un

groupe abélien fini. En effet,N est alors un produit direct de groupes cycliques

et il suffit alors de remplacerZparZ

r

(oùrest le nombre de facteurs dans la

décomposition de N) et d’effectuer les opérations facteur par facteur.¤

Annexe B

π

₁

-orbifolde d’une fibration

Nous donnons en appendice les démonstrations des énoncés concernant les

groupes fondamentaux orbifoldes.

B.1 Démonstration de la proposition 5.3.1 :

Les notations sont celles de la section 5.3. Dans la suite, on notera Y

∗

=

Y\ |∆|etX

∗

=f

−1

(Y

∗

); siD

_j

est une composante de|∆|, on notera :

f

∗

(D

j

) =^X

k

m

jk

D

jk

+R

j

etγ

jk

désignera encore un petit lacet autour deD

jk

. On a alors :f∗(γ

jk) =

γ

^mjk

j

.

On a alors un diagramme commutatif :

π

1

(F)

^k∗

//_π

₁

_(X

∗

)

j∗

²

²

f∗

//_π

₁

_(Y

∗

)

²

²

/

/₁

π

1

(F)

ⁱ∗

//_π

₁

_(X)

^f∗

//_π

₁

_(Y) //₁

où les flèches verticales sont induites par les inclusions et oùkest l’inclusion de

F dansX

∗

. De plus, la première suite horizontale est maintenant exacte :

π

1

(F)X

∗

=Ker(π

1

(X

∗

)

^f∗

→π

1

(Y

∗

)).

Pour vérifier que l’on peut bien définir un morphisme

f

^∗

:π

1

(Y /∆

^∗

(f))−→π

1

(X)/π

1

(F)X,

il suffit de montrer que tout relèvement de γ

^m∗j

j

dans π

1

(X) est en fait dans

π

1

(F)X. On va tout d’abord exhiber un relèvementα∈π

1

(X

∗

)deγ

^m∗j

j

vérifiant

j∗(α) = 1dansπ

1

(X). En effet, commem

∗

j

=pgcd

_k

{m

jk}

, on sait (théorème de

Bezout) qu’il existeu

jk

∈Ztels que :^P

_k

u

jk

m

jk

=m

∗

j

. En posantα=^Q

_k

γ

^ujk jk

,

on a alors :

f∗(α) =^Y

k

f∗(γ

jk)ujk

=γ

P kujkmjk j

=γ

^m∗j j

.

Or, chaqueγ

jk

est un petit lacet dans X

∗

donc peut être contracté dansX et

on a donc bienj∗(α) = 1dansπ

1

(X).

Soit alorsβ ∈π

1

(X

∗

)un autre relèvement deγ

^m∗j

j

; on a donc :

f∗(β) =γ

^mj

j

=f∗(α).

L’exactitude de la première suite horizontale dans le diagramme ci-dessus

en-traîne que βα

−1

∈ π

1

(F)X

∗

d’où : βα

−1

= k∗(²) avec ² ∈ π

1

(F). En

appli-quant j∗, on a alors : j∗(β) =j∗(k∗(²)) =i∗(²), ce qui signifie exactement que

j∗(β)∈π

1

(F)X.

Pour constater que le morphismeπ

1

(Y /∆

∗

(f))−→π

1

(X)/π

1

(F)X est

sur-jectif, il suffit de remarquer queπ

1

(X

∗

)−→π

1

(X)est lui-même surjectif.

Dans le document Déformation de variétés kählériennes compactes : invariance de la $\Gamma$-dimension et extension de sections pluricanoniques (Page 150-157)