Démonstration de la proposition 6.0.3 :

Dans ce qui suit,F désignera encore la fibre générale def (c’est donc une

courbe compacte lisse) ; on obtient alors une structure orbifolde induite sur F

(notée abusivement(F/∆)) provenant de celle deS. SiF

∗

=F−(F∩ |∆|)et

S

∗

=S−|∆|, l’inclusionF

∗

,→S

∗

donne alors un morphismeπ

1

(F

∗

)−→π

1

(S

∗

)

dont l’image est normale dans π

1

(S

∗

).

De plus,F étant générale, elle rencontre les composantes (de la partie

ho-rizontale) de|∆|transversalement ; un petit lacet (dansF

∗

) autour d’un point

deF∩ |∆|est donc aussi un petit lacet autour d’une composante de∆dansS

∗

.

Ceci signifie que le morphisme naturel :

π

1

(F/∆)−→π

1

(S/∆)

est parfaitement défini et on vérifie facilement que son image (que l’on notera

π

1

(F/∆)S) est normale dans π

1

(S/∆).

Pourx

l

∈ |D

∗

|, on note :f

−1

(x

l) =

^P

_α

m

lα

D

lα

+^P

_β

m

lβ

D

lβ

où la somme

indexée par α correspond aux composantes de la fibre qui sont déjà des

com-posantes (verticales) de∆. On a alorsm

∗

l

=pgcd

_α,β

(m

lα

m(D

lα

,∆), m

lβ)

. On

note :

- S

∗∗

=S

∗

−(^S

_l

f

−1

(x

l))

,

- γ

l

un petit lacet autour dex

l

dansC

∗

,

- λ

j

un petit lacet autour des composantes de∆et

- γ

lβ

un petit lacet autour de D

lβ

.

On a alors un diagramme :

1

²

²

1

²

²

hhγ

lβ

ii

²

²

f∗

//_hhγ

_l

_ii

²

²

π

1

(F

∗

)

²

²

/

/_π

₁

_(S

∗∗

)

²

²

f∗

//_π

₁

_(C

∗

) ^//1

π

1

(F

∗

) ^//π

1

(S

∗

)

²

²

1

On va montrer qu’on peut encore construire un morphisme :

π

1

(S/∆)/π

1

(F/∆)S −→π

1

(C/D).

Pour cela il faut montrer que les différentes opérations de relèvement et d’image

directe sont cohérentes avec la structure orbifolde.

Soit donc un élément deπ

1

(S/∆)/π

1

(F/∆)S; on peut successivement lui choisir

des antécédents dansπ

1

(S/∆), dansπ

1

(S

∗

)puis dansπ

1

(S

∗∗

). A chaque étape,

le choix du relèvement dépend successivement d’un élément dehhλ

^dj

j

ii, deπ

1

(F

∗

)

et enfin d’un élément dehhγ

lβ

ii. Or, les éléments de ces groupes ont une image

triviale dansπ

1

(C/D):

1. siλ

j

est un lacet autour d’une composante horizontale de∆, on af∗(λ

j) =

1dansπ

1

(C

∗

);

2. siλ

j

est un lacet autour d’une composante verticaleE

j

=D

lα

de∆, alors

f∗(λ

j

) =γ

^mlα l

d’où f∗(λ

^dj j

) =γ

^djmlα l

=γ

^m(Dlα,∆)mlα l

∈ hhγ

^m∗l l

ii car m

∗ l

divisem(D

lα

,∆)m

lα

;

3. dans le cas deγ

lβ

, on af∗(γ

lβ) =

γ

^mlβ l

∈ hhγ

^ml l

iicarm

l

divisem

lβ

;

4. pour finir, un lacet dans F

∗

a toujours une image triviale dansπ

1

(C

∗

).

Ceci assure bien la cohérence au niveau des groupes fondamentaux orbifoldes.

Le morphisme ainsi construit

f∗:π

1

(S/∆)

.

π

1

(F/∆)S −→π

1

(C/D)

est surjectif. En utilisant l’exactitude (partielle) du diagramme ci-dessus et le

théorème de Bezout (comme ci-dessus), on montre facilement qu’il est injectif.¤

Annexe C

Formule de l’indice L

²

Dans cette annexe, on souhaite redonner quelques précisions autour du

théo-rème de l’indiceL

2

qui permet de comparer les invariants d’une variété compacte

avec les invariantsL

2

de son revêtement universel. Comme on a pu le constater

dans les différentes parties du présent travail, ce théorème donne des

renseigne-ments très importants sur la géométrie du revêtement universel (par exemple

lorsqu’on dispose des théorèmes d’annulations adéquats). C’est entre autre pour

cette raison qu’il nous a semblé important de préciser les grandes lignes de la

démonstration de ce résultat (d’autant plus qu’à notre connaissance, hormis

l’article original d’Atiyah, peu de lignes ont été écrites à ce sujet).

Le théorème de l’indiceL

2

à proprement parler concerne les indices des

opé-rateurs elliptiques sur les variétés riemanniennes compactes (et leurs revêtements

galoisiens) ; nous nous plaçons ici volontairement dans la catégorie analytique

complexe (et même kählérienne) et l’énoncé que nous en donnons portera sur

les caractéristiques d’Euler de fibrés vectoriels holomorphes. La démonstration

dont nous présentons les grandes lignes repose sur les méthodes de l’équation

de la chaleur : après en avoir dégagé les idées essentielles, nous donnerons les

précisions nécessaires sur les quelques points les plus retors.

Notations

Si F −→ X est un fibré vectoriel holomorphe sur une variété kählérienne

(X, ω)de dimensionnet si on munitFd’une métrique hermitienneh, on notera :

L

²_p,q

(X, F) =L

²

(X,Λ

^p,q

T

_X^∗

⊗F) et

L

²_0,•

(X, F) =⊕

ⁿ_q=0

L

²_0,q

(X, F)

les espaces de sections L

2

correspondants et de même pour les sectionC

∞

. De

plus,<·,·>désignera toujours le produit scalaire dans les espacesL

2

.

Si∂désigne la connexion (canonique) de type(0,1)sur F, on note∂

^∗

l’adjoint

formel de∂ et :

∆

⁰⁰

= [∂, ∂

^∗

] =∂∂

^∗

+ ∂

^∗

∂

le laplacien anti-holomorphe (agissant sur les formes à valeurs dans F). Comme

on ne considérera parfois que l’action sur les(0, q)formes, on notera∆

⁰⁰_q

l’opé-rateur ainsi obtenu.

C.1 Enoncé du théorème et schéma de la

démons-tration

SoitF −→ X un fibré vectoriel holomorphe sur (X, ω) variété kählérienne

compacte de dimension n. On considère de plus π : X^e −→ X le revêtement

universel de X. Si on munit F d’une métrique h, on considérera les métriques

˜

ω eth^˜ (surX^e et F^e) obtenues par relèvement,F^e désignant le fibréπ

∗

_Fe _:

(F ,^{e ˜}h)

²

²

/

/_{(F, h)}

²

²

(X,^e ω˜)

^π

^//(X, ω)

D’après la théorie de Hodge, on sait que les formes harmoniques permettent

de calculer la cohomologie (sur X à valeurs dans F) ; on s’intéresse donc aux

espaces suivants :

H

^p,q₍₂₎

(X,^e F^e) ={(p, q)−formes harmoniquesL

2

}

={u∈L

2

(X,^e Λ

p,q

T

∗ e X

⊗F^e)|∆^f

00

u= 0}.

L’action deG=π

1

(X)surX^e (et donc surF^e) permet de définir une

dimen-sion renormalisée prenant en compte la structure additionnelle de G-module

pour des sous-espaces de formes L

2

, cette G-dimension ayant la

particula-rité d’être à valeurs réelles positives. La compacité de X entraîne que les

es-paces H

₍₂₎^p,q

(X,^e F^e) sont de G-dimension finie ; on peut donc considérer une G

-caractéristique d’Euler :

χ

G (2)

(X,^e F^e) =

n

X

q=0

(−1)

q

dimG

³

H

⁰₍₂₎^,q

(X,^e F^e)

´

.

On peut alors énoncer le théorème de l’indiceL

2

[Ati76] sous la forme suivante :

Théorème C.1.1 (M.F. Atiyah, 1976)

Dans la situation décrite ci-dessus, on dispose de l’égalité

χ

G

(2)

(X,^e F^e) = χ(X, F).

Remarque C.1.1

Comme le montre l’exemple des tores, l’égalité se produit pour la somme alternée

mais il n’y a en général pas de lien entre h

0,q

(X, F)et h

⁰₍₂₎^,q

(X,^e F^e). En effet, si

X est un tore etF =OX est le fibré trivial, on a alorsX^e =C

n

et

∀0≤q≤n, h

^0,q

(X) =C

_n^q

et h

⁰₍₂₎^,q

(X^e) = 0.

La démonstration que nous allons en donner repose sur la méthode de la

chaleur : elle consiste à examiner les équations d’évolution associées aux

opéra-teurs auto-adjoints positifs∆

⁰⁰

surX et∆^f

00

surX^e et, plus particulièrement, les

noyaux des semi-groupese

−t∆⁰⁰

et e

−t∆^g00

. En effet, ces opérateurs vérifient les

propriétés suivantes :

STr(e

−t∆⁰⁰

) :=

n

X

q=0

(−1)

q

Tr(e

−t∆⁰⁰_q

) = cste (indépendante det)

et STr

G(

e

−t^g∆⁰⁰

) :=

n

X

q=0

(−1)

q

Tr

G(

e

−t∆^g00_q

) = cste,

où Tr

G

désigne la trace renormalisée. Or, lorsquet→ ∞, on montre que :

e

−t∆⁰⁰

−→P

H

(resp.e

^−tg∆00

−→^gP

H

),

où P

H

désigne la projection sur l’espace des formes harmoniques (resp. ^gP

H

).

L’idée sous-jacente est, bien sûr, que siuest un vecteur propre de ∆

⁰⁰

pour la

valeur propre λ ≥ 0, alors e

−t∆⁰⁰

u = e

−tλ

u et donc que e

−t∆⁰⁰

u → 0 quand

t→+∞siλ >0 tandis quee

−t∆⁰⁰

u=usiλ= 0(i.e. uest harmonique).

On en déduit donc la très importante formule de McKean-Singer :

∀t∈R

∗

+

, STr(e

−t∆⁰⁰

) = STr(P

H

) = χ(X, F) (C.1)

(la dernière égalité étant une conséquence de la théorie de Hodge) et son

homo-logue surX^e :

∀t∈R

^∗₊

, STr

G(

e

^−tg∆00

) = STr

G(

^gP

H

) = χ

^G₍₂₎

(X,^e F^e). (C.2)

Comme il a été mentionné ci-dessus, les opérateurse

−t∆⁰⁰

ete

−t^g∆00

sont des

opérateurs à noyaux C

∞

(notésk

t(

x, y)et k^e

t(˜

x,y˜)) ; les égalités (C.1) et (C.2)

se réécrivent alors en :

∀t∈R

∗ +

, χ(X, F) =

Z

X

str(k

t(

x, x))dx, (C.3)

∀t∈R

^∗₊

, χ

^G₍₂₎

(X,^e F^e) =

Z

U

str(k^e

t(

x, x))dx, (C.4)

où U désigne un domaine fondamental (ouvert) pour l’action de G et où str

désigne la trace alternée dans la fibre au dessus dex.

Les égalités (C.3) et (C.4) ayant été obtenues en étudiant les asymptotiques

de l’équation de la chaleur quand t−→+∞, il est naturel d’examiner le

com-portement du noyau de cette équation quand t −→ 0

+

. Or, il s’avère que les

noyaux k

t

et k^e

t

admettent (au moins sur la diagonale de X ×X et celle de

e

X×X^e) des développements asymptotiques de la forme :

k

t(

x, x) ∼

t→0+

1

e

k

t(

x, x) ∼

t→0+

1

(2πt)

n

(αf

0

(x) +αf

1

(x)t+· · ·+αf

n(

x)t

n

+· · ·).

En intégrant ces développements asymptotiques et en utilisant (C.3) et (C.4),

on obtient :

χ(X, F) ∼

t→0+

1

(2πt)

n

¡

a

0

+a

1

t+· · ·+a

n

t

n

+· · ·^¢ (C.5)

oùa

j

= ^R

_X

str(α

j(

x))dxet :

χ

G (2)

(X,^e F^e) ∼

t→0+

1

(2πt)

n

¡

e

a

0

+ae

1

t+· · ·+af

n

t

n

+· · ·^¢ (C.6)

oùae

j

= ^R

_U

str(fα

j(

x))dx. Comme le membre de gauche est constant dans (C.5)

et (C.6), on obtient par identification :

χ(X, F) = ¹

(2π)

n

a

n

= ¹

(2π)

n

Z

X

str(α

n

(x))dx (C.7)

et

χ

G (2)

(X,^e F^e) = ¹

(2π)

n

af

n

= ¹

(2π)

n

Z

U

str(αf

n(

x))dx. (C.8)

Pour conclure il ne nous reste plus qu’à remarquer que les termes du

dé-veloppement (α

j(

x) et fα

j

(x))) sont des expressions algébriques locales en les

coefficients des métriquesω et het de leurs dérivées ; les métriques considérées

sur X^e et F^e vérifiant ω˜ = π

∗

ω et h^˜ = π

∗

h, on a nécessairement αf

n

= π

∗

α

n

.

Comme U est un domaine fondamental, on déduit de (C.7) et (C.8) l’égalité

annoncée du théorème C.1.1.

Dans le document Déformation de variétés kählériennes compactes : invariance de la $\Gamma$-dimension et extension de sections pluricanoniques (Page 158-163)