6.2.1 Mod´elisation de l’ionisation et champ magn´etique . . . 151 6.2.2 Injection des ´electrons `a la cathode . . . 152 6.2.3 Mod`ele fluide simplifi´e et param`etres num´eriques . . . 154 6.3 R´esultats et discussions . . . 155 6.3.1 Premi`eres observations des instabilit´es dans le domaine . . . 156 6.3.2 Profils stationnaires dans la direction axiale . . . 158 6.3.3 D´ecomposition en Modes Dynamiques (DMD) . . . 159 6.3.4 Influence de la distance azimutale . . . 163 6.3.5 Influence de la r´esolution spatiale . . . 163 6.3.6 Influence du courant d’ionisation . . . 166 6.3.7 Calcul de la mobilit´e effective caus´ee par l’ECDI . . . 168 6.4 Conclusions sur le cas z − θ . . . 170
L’instabilit´e cyclotronique de d´erive ´electronique (ECDI ou instabilit´e ExB) a ´et´e observ´ee dans des simulations PIC de moteurs `a effet Hall et reste un candidat possible afin d’expliquer le transport anormal des ´electrons et l’´erosion anormale des propulseurs. Cette instabilit´e se propage dans la direction azimutale de la chambre d’ionisation et avec une vitesse proche de la vitesse acoustique des ions. Elle a une longueur d’onde de l’ordre du mm, ce qui pourrait expliquer les stries de mˆeme taille observ´ees dans les c´eramiques des moteurs. L’objectif de ce chapitre est de r´ealiser une simulation z − θ d’un moteur `a effet Hall afin d’observer cette instabilit´e. Le cas est inspir´e d’une simu- lation PIC [34] et va faire prochainement l’objet d’un benchmark entre les diff´erents
codes particulaires pr´esents dans la communaut´e des plasmas de propulseurs spatiaux (en collaboration avec l’universit´e de Princeton, le LPP, le LAPLACE et d’autres par- tenaires). Les simulations du code AVIP-Fluide seront compar´ees avec les r´esultats des simulations PIC et confront´ees aux relations th´eoriques de l’instabilit´e. La simu- lation a aussi ´et´e r´ealis´ee avec AVIP-PIC (dans le cadre de la th`ese de W. Villafana) et les r´esultats serviront ´egalement de r´ef´erence. Ce chapitre a aussi pour objectif de d´emontrer la capacit´e du mod`ele fluide d´evelopp´e dans AVIP `a mod´eliser correctement les caract´eristiques de l’instabilit´e. La mobilit´e ´electronique sera ensuite observ´ee pour d´eterminer si l’ECDI est responsable du transport anormal des ´electrons dans un mo- teur `a effet Hall.
6.1
Travaux th´eoriques sur l’instabilit´e ExB
La relation de dispersion de l’´ecoulement peut ˆetre calcul´ee `a partir d’une ´equation fluide pour les ions et une ´equation de Vlasov pour les ´electrons, toutes deux coupl´ees `
a l’´equation de Poisson [52, 138]. Les effets cin´etiques des ´electrons sont ainsi pris en compte. Apr`es simplifications (voir [138] pour plus de d´etails), cette relation de dispersion prend la forme :
1 − ω 2 p,i ω − ~k · ~ui 2 + α k2λ2 De − i πβ k2λ2 De = 0 (6.1)
avec ω et ~k respectivement la pulsation et le vecteur d’onde et ~ui la vitesse des ions. ωp,i est la fr´equence plasma des ions d´efinie comme :
ωp,i = s e2n i 0mi (6.2) Enfin, les coefficients α et β d´ependent de l’expression de la fonction de distribution des ´electrons utilis´ee dans l’´equation de Vlasov (d´etaill´es dans [138]).
Les solutions de cette ´equation en 3D [52] montrent que la relation de dispersion tend asymptotiquement vers une instabilit´e pilot´ee par l’acoustique des ions appel´ee ”mo- dified acoustic ion instability”. Cette asymptote est atteinte lorsque le vecteur d’onde kr, qui est le vecteur dans la direction radiale parall`ele au champ magn´etique, atteint une valeur seuil. Dans une simulation z − θ, la direction radiale n’est pas mod´elis´ee et la transition ne peut pas se produire. L’instabilit´e acoustique ionique a tout de mˆeme ´et´e observ´ee dans des simulations z − θ PIC stationnaires [139]. La transition vers cette
6.1 Travaux th´eoriques sur l’instabilit´e ExB
instabilit´e dans les calculs z − θ est donc toujours inexpliqu´ee [34]. La relation de dis- persion de l’onde acoustique ionique reste cependant une tr`es bonne approximation de la relation de dispersion compl`ete.
Grˆace `a des simplifications [138], il est possible de retrouver le taux d’accroissement γ et la fr´equence angulaire ωr de l’Eq. 6.1 (avec ω = ωr+ iγ) :
ωr ≈ ~k · ~ui± kuth,e q α+ k2λ2 De (6.3) γ ≈ ± πβkuth,e α+ k2λ2 De 3/2 (6.4)
avec uth,e la vitesse thermique des ´electrons.
L’instabilit´e de d´erive ´electronique est pr´edominante dans la direction azimutale. Elle a donc un taux d’accroissement th´eorique maximal dans cette direction de sorte que :
∂γ/∂kθ = 0 (6.5)
Avec l’Eq. 6.4, le vecteur d’onde maximal s’´ecrit donc :
kmax≈ √ α √ 2λDe (6.6) La longueur d’onde th´eorique λtheo est directement li´ee `a kmax :
λtheo= 2π kmax
≈ 2πr 2
αλDe (6.7)
En substituant l’Eq. 6.6 dans les Eqs. 6.3 et 6.4, le taux d’accroissement maximal correspondant `a l’instabilit´e recherch´ee γtheo et sa fr´equence th´eorique ftheo peuvent ˆetre d´eduits : ftheo= ωR,theo 2π ≈ uth,e 2πλDe √ 3 = ωp,i 2π√3 (6.8) γtheo≈ 1 α r πme 54mi vd λDe (6.9) La fr´equence th´eorique de l’instabilit´e ne d´epend plus des coefficients α et β ca- ract´eristiques de la fonction de distribution des ´electrons. Ainsi, imposer une fonction de distribution Maxwellienne pour les ´electrons ne modifie pas la fr´equence de l’instabi- lit´e. Cependant, le taux d’accroissement et la longueur d’onde th´eoriques sont directe- ment li´es au coefficient α. Ces grandeurs ne seront donc pas correctement d´etermin´ees
par un mod`ele fluide si l’on fait l’hypoth`ese d’une fonction de distribution Maxwellienne.
Pour une fonction de distribution Maxwellienne des ´electrons, α est proche de 1. En utilisant les r´esultats de Boeuf [34] pour le cas z − θ cibl´e dans ce chapitre, la longueur de Debye peut ˆetre estim´ee entre 75 et 120 µm (Fig. 6.1(a)). La longueur d’onde th´eorique de l’ECDI (Eq. 6.7) pour α = 1 se situe donc entre 700 µm et 1 mm. La fr´equence th´eorique ftheo est aussi repr´esent´ee sur la Fig. 6.1(b) et varie entre 4 et 6 M Hz.
(a) Longueur de Debye λDe (b) Fr´equence th´eorique ftheo Figure 6.1: Calcul de la longueur de Debye et de la fr´equence th´eorique de l’ECDI suivant les r´esultats de la simulation PIC de Boeuf [34].