La majeure partie des instabilit´es `a l’int´erieur d’un moteur `a effet Hall se propagent dans la direction azimutale. Ainsi, le domaine choisi est un domaine 2D rectangulaire (~x, ~y) (Fig. 6.2) de dimension 2.5 cm × 1 cm, o`u la direction ~x correspond `a la direc- tion axiale et la direction ~y `a la direction azimutale. La longueur ymax = 1 cm dans la direction azimutale est a priori suffisante pour repr´esenter correctement l’instabilit´e recherch´ee qui est de l’ordre du mm. L’influence de cette longueur sur les r´esultats sera ´etudi´ee dans la section 6.3.4. Le plan de sortie du moteur est situ´e `a xs= 1 cm. Ainsi, seulement les derniers mm de la chambre d’ionisation et une partie du panache sont mod´elis´es dans cette simulation. Les conditions limites de gaines d´evelopp´ees dans le chapitre 4 sont appliqu´ees en x = 0 pour les ions et les ´electrons afin que la gaine soit reproduite correctement proche de l’anode. Des conditions p´eriodiques sont impos´ees en y = 0 et y = ymax.
6.2 Description du cas
Figure 6.2: Domaine de calcul et conditions limites pour le cas z−θ repr´esentant une coupe axiale-azimutale de moteur `a effet Hall.
6.2.1 Mod´elisation de l’ionisation et champ magn´etique
Une anode en x = 0 et une cathode `a xc = 2.4 cm imposent un saut de potentiel de 200 V dans le domaine (Fig. 6.2). La cathode est volontairement plac´ee `a 1 mm en amont de la sortie du domaine afin de repr´esenter les ions neutralis´es par les ´electrons en aval de la cathode. Cela permet aussi de supprimer la gaine `a la cathode, ce qui engendrerait un saut de potentiel ´electrique ind´esirable entre les ´electrodes. Enfin, la cathode ´etant dans l’axe du propulseur, le flux d’´electrons ´emis ne doit pas interf´erer avec le plasma sortant de la chambre d’ionisation (voir Chap. 4).
D’un point de vue num´erique, le potentiel est calcul´e via l’´equation de Poisson sur le domaine entier avec φ(xmax) = 0 V . Il est ensuite corrig´e de fa¸con `a ce que la moyenne azimutale du potentiel φ(xc) soit nulle `a la cathode :
φcorr(x, y) = φ(x, y) − x xc 1 ymax Z ymax 0 φ(xc, y) dy (6.10) Afin de simplifier le cas test, les ions et les ´electrons sont suppos´es non-collisionnels et un terme source de cr´eation d’ions et d’´electrons Sioniz est directement impos´e de fa¸con `a mod´eliser la zone d’ionisation. Le champ magn´etique ~B, suppos´e radial dans un moteur `a effet Hall, est dirig´e ici dans la direction ~z non repr´esent´ee de telle sorte que ~B = Bz(x) ~z. Sur la Fig. 6.3, le terme source Sioniz ainsi que le champ magn´etique radial Bz sont repr´esent´es en fonction de la position axiale x. De la mˆeme fa¸con que dans [34], le terme source Sioniz(x) est calcul´e comme :
Sioniz(x) = Sioniz,maxcos πx − xM x2− x1 pour x1 ≤ x ≤ x2 (6.11) Sioniz(x) = 0 pour x < x1 ou x > x2 (6.12)
Figure 6.3: Terme source d’ionisation Sioniz(x) (cercles rouges) et champ
magn´etique Bz(x) (triangles noirs) impos´es pour le cas JM = 400 A.m−2 [34]
avec :
x1= 0.25 cm , x2 = 1 cm , xM =
x1+ x2
2 (6.13)
Le maximum du terme source Sioniz,maxest calcul´e de fa¸con `a ce que le courant des ions JM soit ´egal `a l’int´egrale du terme source :
JM = e Z xmax
0
Sioniz(x)dx = 2
π(x2− x1)eSioniz,max= 400 A.m
−2 (6.14)
Le courant d’ions dans un moteur `a effet Hall standard est d’environ 1000 A.m−2 mais un courant de 400 A.m−2 est choisi dans ce cas test pour acc´el´erer les calculs [34]. L’influence du courant d’ionisation JM sera ´etudi´ee dans la section 6.3.6.
6.2.2 Injection des ´electrons `a la cathode
La diff´erence de charges `a l’anode est r´einject´ee `a la cathode sous forme d’´electrons afin d’assurer la continuit´e du courant dans le circuit ´electrique anode/cathode (sec- tion 4.2). Ces ´electrons vont aussi avoir le rˆole de neutraliser le courant d’ions venant du propulseur. Le flux d’´electrons ´emis `a la cathode Γc,eest simplement calcul´e comme dans la section 4.2 avec la diff´erence de charges entre les ´electrons et les ions `a l’anode :
Γc,e= Γa,e− Γa,i (6.15)
La fa¸con de r´einjecter ces ´electrons est un point cl´e dans les simulations fluides pour reproduire les r´esultats des simulations lagrangiennes. Dans les calculs PIC, les ´electrons sont r´einject´es `a la cathode sur une ligne situ´ee `a xc = 2.4 mm. Dans un
6.2 Description du cas
code fluide, l’injection `a l’int´erieur du domaine est repr´esent´ee par un terme source volumique de forme gaussienne discr´etis´e sur 10 cellules autour de la position de la cathode (Section 4.2).
Dans la formulation PIC, les particules sont inject´ees avec une vitesse al´eatoire (bruit blanc) tir´ee d’une fonction de distribution Maxwellienne, une position al´eatoire sur la ligne de la cathode, et une temp´erature caract´eristique Ts,e = 10 eV . Ainsi, la vitesse des ´electrons est nulle en moyenne. La m´ethodologie fluide correspondante consisterait `a injecter via le terme source des ´electrons `a vitesse nulle. Avec une telle approche, les ´electrons inject´es sont directement entrain´es vers l’anode sous l’effet du champ ´electrique. La zone entre la cathode et la condition limite de droite se vide alors de ses ´electrons initiaux et une gaine non physique apparait. En se cr´eant, cette gaine forme un saut de potentiel important qui diminue le saut de potentiel entre les ´electrodes et fausse les r´esultats fluides. Ce comportement n’est pas observ´e dans les si- mulations PIC car une partie des ´electrons sont inject´es `a une vitesse initiale sup´erieure `
a la vitesse d’entrainement par le champ ´electrique, permettant de maintenir le niveau de densit´e ´electronique dans la zone entre la cathode et la sortie du domaine afin de neutraliser les ions.
Afin de reproduire le comportement des simulations PIC avec le mod`ele fluide, il est donc n´ecessaire de mieux d´ecrire la distribution de vitesse des ´electrons inject´es `
a la cathode (plus qu’avec la simple moyenne). La m´ethodologie fluide, o`u la dyna- mique des ´electrons est repr´esent´ee par leur seule vitesse moyenne au sens statistique, ne permet a priori pas une telle approche. En interpr´etant cette moyenne statistique comme une moyenne spatiale et non temporelle, il est alors possible d’introduire une fluctuation de vitesse en temps, via une vitesse d’injection Vinj, tir´ee al´eatoirement `
a chaque pas de temps (en r´ealit´e 3 fois par pas de temps, le sch´ema temporel RK3 comportant 3 ´etapes). On peut ainsi reproduire en temps la fonction de distribution cibl´ee. Cette vitesse al´eatoire est ensuite impos´ee de fa¸con identique sur tous les nœuds de la zone d’injection. Cette m´ethode ne fonctionne que pour des cas o`u la distribution `
a repr´esenter est stationnaire, ce qui est bien le cas ici.
La Fig. 6.4 montre la distribution de vitesse des ´electrons ainsi obtenue pour diff´erentes dur´ees de simulation ∆T . Au bout d’un temps ∆T = 10−8 s, on peut obser- ver que la fonction de distribution de vitesse d’injection des ´electrons est correctement reproduite. Ce temps doit ˆetre compar´e aux autres temps caract´eristiques du probl`eme, en particulier le temps de convection par le champ ´electrique, afin de s’assurer que la m´ethode n’introduit pas de biais. Le point cl´e est la convection des ´electrons de la
Figure 6.4: Probabilit´e normalis´ee de la vitesse d’injection des ´electrons `a la cathode pour diff´erentes dur´ees de simulation ∆T .
cathode vers la condition de sortie, sur une longueur Lcs = 1 mm. Avec une vitesse d’injection nulle, les ´electrons sont transport´es par le champ ´electrique en direction de l’anode. Le temps caract´eristique correspondant peut s’´ecrire :
τelec= Lcs ux,e
(6.16)
o`u ux,e est la vitesse axiale des ´electrons induite par le champ ´electrique.
A la cathode, la vitesse des ´electrons est d’environ ux,e = 10 km/s. Le temps caract´eristique de d´eplacement des ´electrons dans cette zone est donc environ ´egal `
a τelec = 10−7 s. Ainsi, le temps ∆T n´ecessaire pour une bonne description de la vitesse des ´electrons inject´es est suffisament petit compar´e au temps caract´eristique du probl`eme. La mˆeme m´ethodologie est utilis´ee pour la cr´eation d’´electrons et d’ions (avec les vitesses al´eatoires Vioniz,e et Vioniz,i) dans la zone d’ionisation afin d’ˆetre en ad´equation avec la m´ethode PIC. La fluctuation de vitesse pour la zone d’ionisation n’a pas d’influence sur les profils stationnaires des ions et des ´electrons dans le moteur.
6.2.3 Mod`ele fluide simplifi´e et param`etres num´eriques
Le mod`ele fluide pr´esent´e dans le chapitre 2 est donc r´e´ecrit et impose directement le terme source Sioniz de cr´eation d’´electrons et d’ions. Un terme source suppl´ementaite