Finalement, la mobilit´e anormale est appliqu´ee seulement dans la direction axiale et l’´equation de conservation de quantit´e de mouvement ´electronique s’exprime :
∂t(meneux,e) + ∇ · meneu2x,e+ pe = − eneEz− mene ωB2 νen+αB16ωB ux,e − nemeνen(ux,e− ux,n) (7.13)
Dans de nombreux mod`eles fluides [19, 101, 131], une mobilit´e mod´elisant les pertes aux parois est ajout´ee `a la mobilit´e anormale d´ej`a existante, proportionnelle au carr´e du champ magn´etique. Cette mobilit´e additionnelle n’a pas ´et´e consid´er´ee dans les cal- culs pr´esents. Cet effet sera pris en compte ult´erieurement avec la mise en place de conditions di´electriques avec ´emission secondaire aux parois.
7.3
Effet de la mobilit´e anormale sur le comportement du
plasma
Une ´etude sur l’influence de la valeur du coefficient αB est r´ealis´ee afin de com- prendre les effets et les enjeux de la mobilit´e anormale. Le temps physique simul´e est de t = 0.1 µs et est consid´er´e comme suffisant pour observer l’´etablissement de la mobilit´e. Trois calculs ont ´et´e r´ealis´es pour αB = 0 correspondant `a un cas sans transport anormal, αB = 0.1 valeur pr´econis´ee dans [131] et αB = 1, correspondant `
a une mobilit´e anormale maximale. Les trois mobilit´es r´esultantes sont moyenn´ees ra- dialement et compar´ees sur la Fig. 7.4 `a un mod`ele empirique d´eriv´e d’exp´eriences [139].
Figure 7.4: Mobilit´e moyenn´ee radialement `a t = 0.1 µs en fonction du coefficient αB et compar´ee `a un mod`ele empirique [139] (le plan de sortie est en pointill´es).
Comme pr´evu le calcul sans mobilit´e anormale (αB = 0) sous-pr´edit largement la mobilit´e dans le propulseur compar´e aux observations exp´erimentales. Au contraire, la mobilit´e pour αB = 1 est correctement estim´ee sur le premier centim`etre `a l’int´erieur du moteur et surestim´ee d’un facteur 10 dans le plan de sortie. Une des fonctions principales de la mobilit´e anormale est d’acc´el´erer les ´electrons proche du plan de sortie pour les faire rentrer dans la chambre et ioniser le gaz. Le mod`ele utilis´e doit donc permettre d’obtenir une mobilit´e du bon ordre de grandeur proche du plan de sortie. C’est le cas pour le calcul avec αB = 0.1. Le mod`ele a par contre tendance `a sous-estimer la mobilit´e ´electronique `a l’int´erieur de la chambre entre l’anode et la zone d’ionisation. Ce probl`eme a cependant une influence mineure sur le fonctionnement global du moteur, les ´electrons ayant d´ej`a travers´e la zone d’ionisation.
Sur la Fig. 7.5, la vitesse axiale des ´electrons et le champ ´electrique axial sont repr´esent´es dans la direction axiale pour diff´erentes valeurs du coefficient αB. Le prin- cipal effet de la mobilit´e anormale est d’augmenter la vitesse des ´electrons `a l’endroit o`u le champ magn´etique est maximal. La valeur du coefficient αB influe donc grandement sur la vitesse des ´electrons au travers du plan de sortie. Pour αB = 1, la vitesse axiale des ´electrons dans la chambre est beaucoup trop grande (> 10 km/s). Au contraire, pour αB = 0, la vitesse des ´electrons est presque nulle et devient positive en continuant la simulation. Les ´electrons ne peuvent ainsi pas rentrer dans la chambre pour ioniser le X´enon, ce qui confirme la n´ecessit´e d’ajouter une mobilit´e anormale. La vitesse des ´electrons avec αB = 0.1 est du bon ordre de grandeur et est plus en accord avec un fonctionnement correct de moteur `a effet Hall.
Figure 7.5: Vitesse ´electronique axiale ux,e moyenn´ee radialement `a t = 0.1 µs
pour diff´erentes valeurs du coefficient αB.
La vitesse de d´erive des ´electrons dans la direction azimutale peut ˆetre calcul´ee `a l’aide de l’Eq. 7.8. Le r´esultat est repr´esent´e sur la Fig. 7.6(a). La vitesse de d´erive ´etant
7.4 R´esultats et discussions
directement proportionnelle `a la vitesse axiale, l’augmentation de la mobilit´e anormale a pour effet d’augmenter significativement la vitesse azimutale des ´electrons `a l’int´erieur du moteur. Pour αB = 1, les ´electrons ont des vitesses de l’ordre de 2000 km/s. Les ordres de grandeur obtenus pour αB = 0.1 d’environ 100 km/s (augmentent dans la suite de la simulation) sont plus en ad´equation avec les valeurs r´eelles observ´ees dans les propulseurs. Pour αB= 0, la vitesse azimutale ´electronique est quasi-nulle.
(a) (b)
Figure 7.6: Vitesse de d´erive azimutale ´electronique uz,e (a) et champ ´electrique
axial induit Ex (b) moyenn´es radialement `a t = 0.1 µs pour diff´erentes valeurs
du coefficient αB
Le champ ´electrique axial Ex n´ecessaire pour acc´el´erer les ions est trac´e sur la Fig. 7.6(b) et est proportionnel `a la vitesse de d´erive uz,e :
uz,e≈ Ex By
(7.14) Ainsi, l’ajout de la mobilit´e anormale augmente le champ ´electrique axial. Le profil de champ ´electrique pour αB = 1 est plutˆot en ad´equation avec la th´eorie du fonction- nement d’un moteur `a effet Hall. Cependant, le calcul m`ene `a des valeurs de vitesses ´electroniques aberrantes qui arrˆetent le calcul apr`es t = 0.2µs. La valeur αB = 0.1 permet d’obtenir des r´esultats plus en ad´equation avec les observations exp´erimentales, notamment en terme de vitesse ´electronique. Cette valeur αB = 0.1 est aussi en accord avec les pr´econisations de [131] et sera donc retenue pour la suite.
7.4
R´esultats et discussions
Les r´esultats suivants sont donc obtenus avec un coefficient de mobilit´e anormale αB = 0.1. La simulation a ´et´e converg´ee jusqu’`a atteindre une pouss´ee du propulseur
maximale. La Fig. 7.7 montre la pouss´ee globale T du moteur en fonction du temps, calcul´ee `a partir de la vitesse des ions moyenn´ee en sortie du propulseur ux,i :
T = ˙mux,iSanode (7.15)
avec Sanode la surface de l’anode du propulseur qui est ´egale `a 40 cm2 pour un SPT-100 [32]. Le calcul atteint un r´egime stationnaire lorsque la pouss´ee du moteur est maximale aux alentours de 3 µs. La pouss´ee pr´edite par le code AVIP-Fluide est d’environ 45 mN (voir section 7.4.1 pour une comparaison avec la pouss´ee r´eelle d’un SPT-100).
Figure 7.7: Pouss´ee globale du moteur en fonction du temps
7.4.1 Grandeurs globales du moteur
Les grandeurs caract´eristiques du plasma `a l’´etat stationnaire (t = 3 µs) sont repr´esent´ees sur la Fig. 7.8. Le plasma est principalement concentr´e au centre de la chambre dans la zone d’ionisation o`u les ions et les ´electrons sont cr´e´es (Figs. 7.8(a) et 7.8(f)). Proche des parois, des gaines se forment avec une densit´e ´electronique faible de l’ordre de 1014 m−3, soit 4 ordres de grandeur en dessous de la densit´e maximale au centre du propulseur (section 7.4.2).
Les ions sont acc´el´er´es principalement dans le plan de sortie conform´ement au fonc- tionnement d’un moteur `a effet Hall (Fig. 7.8(b)). Ils atteignent une vitesse maxi- male de 19 km/s `a 5mm en aval du plan de sortie. Ils sont acc´el´er´es par le champ ´electrique axial Ex qui est maximal dans le plan de sortie (Fig. 7.8(d)). Celui-ci induit un chauffage des ´electrons qui se traduit par de hautes temp´eratures. La temp´erature
7.4 R´esultats et discussions
´electronique sur la Fig. 7.8(e) est cependant surestim´ee par rapport au fonctionnement normal [32] et atteint 150 eV en sortie de moteur. Malgr´e une relative bonne localisation du terme source d’ionisation (Fig. 7.8(f)), la temp´erature ´elev´ee des ´electrons induit des niveaux d’ionisation trop importants. Deux raisons peuvent expliquer cette anomalie. Premi`erement, l’effet des parois sur l’´energie des ´electrons n’est pas pris en compte. En r´ealit´e, les ´electrons secondaires ´emis par les c´eramiques sont plus froids que les ´electrons incidents et peuvent refroidir le plasma dans son ensemble. Deuxi`emement, le flux de chaleur pour les ´electrons a ´et´e n´eglig´e dans le mod`ele fluide. Ainsi, les pertes d’´energie ´electroniques sont sous-estim´ees et peuvent ˆetre non-n´egligeables `a certains endroits du moteur. Une meilleure mod´elisation des parois et du flux de chaleur serait donc n´ecessaire pour mieux pr´edire la temp´erature ´electronique.
Les profils de densit´e des ´electrons et de vitesse des ions moyenn´es dans la direc- tion radiale sont repr´esent´es sur la Fig. 7.9 et compar´es aux r´esultats d’un code hybride d´evelopp´e dans [3]. La vitesse des ions est aussi compar´ee `a des mesures exp´erimentales.
La densit´e du plasma `a l’int´erieur de la chambre est globalement sous-estim´ee, compar´ee au mod`ele hybride. Ce comportement est certainement dˆu `a la mobilit´e anormale du mod`ele hybride qui inclut une mobilit´e de parois qui est absente du mod`ele fluide d’AVIP (section 7.2.2). Une mod´elisation plus compl`ete des di´electriques et de l’´emission secondaire ´electronique pourrait contribuer `a augmenter la densit´e des ´electrons `a l’int´erieur du moteur et ainsi corriger ce r´esultat. Malgr´e ces diff´erences, la vitesse des ions est en bon accord avec les r´esultats du mod`ele hybride et l´eg`erement sup´erieure `a la vitesse mesur´ee dans les exp´eriences. A x = 1 cm, la vitesse des ions AVIP est plus ´elev´ee, indiquant que le champ ´electrique est ici localement surestim´e.
Les profils du champ ´electrique axial Ex, du potentiel φ et du terme source d’ionisa- tion S0
ioniz sont moyenn´es et trac´es sur la Fig. 7.10. Le maximum du champ ´electrique axial est localis´e dans le plan de sortie et son intensit´e est en accord avec les r´esultats du code hybride. Un pic de champ ´electrique est aussi d´etect´e `a x = 1cm et est respon- sable de l’acc´el´eration anormale des ions observ´ee sur le profil de vitesse axiale. Ce pic de champ ´electrique est localis´e sur un gradient de densit´e ´electronique et ionique cor- respondant `a la limite de la zone avec une forte concentration de plasma. Une mauvaise discr´etisation num´erique de ces gradients pourrait engendrer une diff´erence de charges et une mauvaise approximation du potentiel ´electrique.
Les variations du potentiel en sortie de propulseur sont en ad´equation avec les profils obtenus par Adam [3]. La zone d’ionisation pr´edite par AVIP-Fluide est l´eg`erement
(a) Densit´e ´electronique ne (b) Vitesse axiale des ions ux,i
(c) Potentiel φ (d) Champ ´electrique axial Ex
(e) Temp´erature des ´electrons Te (f) Terme source d’ionisation Sioniz0 Figure 7.8: Cartes 2D des diff´erentes grandeurs du plasma `a l’´etat stationnaire.
d´ecal´ee ver la sortie de la chambre `a cause de la hausse de temp´erature ´electronique observ´ee dans le plan de sortie. Une mod´elisation ad´equate des parois di´electriques serait susceptible de d´eplacer la zone d’ionisation en amont et d’ˆetre ainsi plus en accord avec les r´esultats hybrides.
Finalement, les performances du moteur mesur´ees dans cette simulation `a l’´etat stationnaire sont report´ees dans le tableau 7.2. La pouss´ee `a la fin de la simulation est de 45 mN , c’est-`a-dire 2 fois moins que la pouss´ee mesur´ee. La mod´elisation simplifi´ee des parois utilis´ee actuellement peuvent expliquer les diff´erences avec la pouss´ee r´eelle
7.4 R´esultats et discussions
(a) (b)
Figure 7.9: Densit´e des ´electrons ne (a) et vitesse des ions axiale ux,i (b)
moyenn´ees radialement `a l’´etat stationnaire et compar´ees aux r´esultats de Adam [3] (le plan de sortie est repr´esent´e en pointill´e `a xs= 2.5 cm).
(a) (b)
Figure 7.10: Terme source d’ionisation S0
ioniz, potentiel φ (a) et champ ´electrique
axial Ex (b) moyenn´es radialement `a l’´etat stationnaire et compar´es aux
r´esultats de Adam [3] (le plan de sortie est repr´esent´e en pointill´e `a xs= 2.5 cm).
observ´ee sur un moteur de cette puissance.
L’ISP d´efinie dans le chapitre 1 (Equation 1.6) est proportionnelle `a la vitesse maxi- male d’´ejection des ions. Cette vitesse est de l’ordre de 19 km/s (voir Fig. 7.9(b)) et m`ene donc `a une ISP de 1937 s. Compar´e `a un SPT-100, l’ISP est donc l´eg`erement surestim´ee par la simulation AVIP-Fluide.
Le courant de d´echarge est th´eoriquement calcul´e comme la diff´erence de charges traversant l’anode m´etallique. Dans le calcul AVIP, les parois m´etalliques sont reli´ees `
a la masse : un courant non-n´egligeable les traverse. Le courant total absorb´e par les parois m´etalliques du moteur (anode + chambre) est de 3.6 A. Seulement 0.3 A arrive
compar´ees aux performances r´eelles d’un SPT 100 [32]. Performances SPT-100 AVIP-Fluide Pouss´ee 90 mN 45 mN ISP 1734 s 1937 s Courant de d´echarge 5 A 3.6 A Rendement 50 % 21 %
jusqu’`a l’anode, le reste du courant est perdu aux parois m´etalliques. Les pertes dues `
a une mauvaise mod´elisation des parois sont donc tr`es importantes d’un point de vue du courant et expliquent les diff´erences obtenues sur le rendement. Par cons´equent, le rendement calcul´e est inf´erieur au rendement classique d’un SPT-100.
7.4.2 Gaines
La simulation d’une coupe 2D r-z avec pr´esence des gaines aux parois est un chal- lenge important pour un mod`ele fluide. Le plasma ´etant globalement quasi-neutre dans le propulseur, le mod`ele r´esout l’´equation de Poisson principalement pour la mod´elisation des gaines. Ainsi, ces gaines doivent ˆetre correctement d´ecrites par la simulation. La densit´e des ´electrons et des ions ainsi que la temp´erature ´electronique proche de l’anode sont repr´esent´ees sur la Fig. 7.11(a). La gaine se forme avec une ´epaisseur de 4 longueurs de Debye. Cette ´epaisseur de gaine est en accord avec les relations th´eoriques de formation des gaines (cf. chapitre 4). Aucune augmentation de temp´erature n’est constat´ee, ce qui valide la r´esolution du maillage proche des parois.
Finalement, la vitesse des ions est trac´ee sur la Fig. 7.11(b) avec la vitesse du son ionique afin de v´erifier le crit`ere de Bohm. On peut constater que les ions deviennent supersoniques en entrant dans la gaine. La formation des gaines dans la simulation est donc en ad´equation avec la th´eorie.