3.2
Concepts num´eriques
Les ´equations pr´ec´edemment d´eriv´ees dans le chapitre 2 sont semblables `a un syst`eme d’Euler avec des termes sources. La r´esolution de la partie conservative du syst`eme se fait `a partir d’une m´ethode volumes finis centr´ee aux nœuds utilisant un solveur de Riemann pour la r´esolution des flux `a l’interface. Le choix de la m´ethode num´erique et les ´el´ements n´ecessaires `a la discr´etisation des ´equations sont d´etaill´es dans cette section. De plus, la r´esolution de l’´equation de Poisson est ´egalement discr´etis´ee grˆace `a une m´ethode volumes finis et certains fondements ´enonc´es dans cette section seront utilis´es par la suite.
3.2.1 La m´ethode volumes finis
La m´ethode volumes finis permet de discr´etiser le syst`eme d’´equations conservatives `
a l’int´erieur d’un volume de contrˆole Vc, sous sa forme int´egrale faible : ∂ ∂t Z Vc U dV = − I δVc ~ FIc· ~nIcdS (3.6)
o`u ~nIc est la normale de l’interface Ic du volume de contrˆole Vc. La variation tem-
porelle de la quantit´e U r´esulte de l’int´egrale des flux `a la surface du volume Vc. Le flux traversant chaque interface du volume de contrˆole ~FIc doit ˆetre d´etermin´e `a partir du vecteur solution U . dont les valeurs aux interfaces sont calcul´ees `a partir des valeurs aux nœuds du maillage. La m´ethode des volumes finis est facile `a mettre en œuvre sur maillage structur´e comme non-structur´e. L’int´egrale des flux sur les surfaces du volume de contrˆole est d´efini comme le r´esidu RVc dans le volume de contrˆole, qui est ensuite
utilis´e pour la r´esolution temporelle des ´equations avec le sch´ema temporel ad´equat (voir sous-section 3.3.4).
3.2.2 R´esolution des ´equations et stockages des donn´ees
Num´eriquement, il existe diff´erentes possibilit´es permettant de d´efinir le volume de contrˆole ainsi que l’endroit de stockage des donn´ees. En utilisant une m´ethode volumes finis, on peut d´ecider d’utiliser comme volume de contrˆole Vc:
— soit les cellules du maillage appel´ees aussi volumes primaux ;
— soit des volumes duaux d´efinis `a partir des centres des cellules du maillage ; Les d´efinitions des diff´erents volumes pr´esents dans un maillage sont d´etaill´ees dans la sous-section 3.2.3 . Les variables peuvent ensuite ˆetre stock´ees :
— soit aux nœuds du maillage ;
Figure 3.5: Sch´ema des diff´erentes formulations utilis´ees pour la m´ethode vo- lumes finis
Pour la r´esolution des ´equations d’Euler en volumes finis, trois formulations sont utilis´ees dans la litt´erature et sch´ematis´ees sur la Fig. 3.5 :
La formulation cellules-centres ou cell-centered C’est la formule la plus ´evidente et la premi`ere `a avoir ´et´e utilis´ee pour des m´ethodes volumes finis [70, 121]. Les variables sont stock´ees aux centres des cellules du maillage primal qui font office de volume de contrˆole. L’inconv´enient de cette m´ethode est qu’elle n´ecessite les valeurs des variables sur les cellules voisines afin de calculer correctement le flux sur chaque face de la cel- lule. Cette formulation n’est donc pas adapt´ee `a des codes parall`eles car l’information n´ecessaire n’est pas dans la cellule de calcul et peut donc se trouver dans un autre processeur.
La formulation centres-nœuds ou node-centered (appel´ee aussi vertex-centered) Elle utilise les centre des cellules du maillage pour d´efinir les volumes de contrˆole qui sont appel´es volumes duaux et d´efinis dans la sous-section 3.2.3.2. La m´etrique pour d´efinir les maillages est donc diff´erente. Les solutions sont stock´ees aux noeuds centre de ces volumes. Cette formulation pr´esente l’inconv´enient de d´efinir un second maillage et n´ecessite une m´etrique sp´ecifique pour les volumes duaux. Cependant avec une ´ecriture adapt´ee, cette m´etrique peut ˆetre ´ecrite facilement notamment `a partir de relations entre les normales (voir 3.2.3.2). Cette m´ethode est particuli`erement adapt´ee `a l’utili- sation de solveurs de Riemann aux interfaces des volumes de contrˆole [1, 49, 50, 132]. La formulation cellules-nœuds ou cell-vertex La formulation cell-vertex consiste `
a utiliser les cellules comme volume de contrˆole en stockant les variables aux nœuds. Les m´ethodes cell-vertex ont ´et´e introduites par Ni [175] et d´evelopp´ees notamment
3.2 Concepts num´eriques
par Crumpton & al [70] ou Deconinck & al [193]. Le r´esidu calcul´e dans chaque volume de contrˆole doit ˆetre envoy´e aux nœuds de la cellule. Chaque nœud va donc recevoir la contribution de toutes les cellules auxquelles il appartient, pond´er´ee par le volume de contrˆole des cellules. De nombreuses ´etudes ont d´emontr´e la pr´ecision de la m´ethode cell-vertex [172, 198] mˆeme sur des maillages distordus. En effet dans ce cas, les vo- lumes duaux peuvent ˆetre s´erieusement d´eform´es et il est plus int´eressant de garder le volume primal comme volume de contrˆole. Cependant la m´ethode cell-vertex n´ecessite d’envoyer les informations stock´ees aux nœuds vers la cellule pour le calcul du r´esidu et de renvoyer le r´esidu aux nœuds une fois celui-ci calcul´e. Le lieu de stockage des donn´ees n’´etant pas le centre des volumes de contrˆole, ces ´etapes additionnelles peuvent parfois ˆetre coˆuteuses sur maillage non-structur´e.
Le choix de la formulation va d´ependre du sch´ema num´erique employ´e pour la r´esolution de l’´equation 3.6, mais aussi de la strat´egie de partitionnement choisie ou encore du traitement des conditions limites.
3.2.3 M´etriques pour les maillages non-structur´es
3.2.3.1 Maillages
AVIP doit ˆetre capable de mod´eliser l’´ecoulement plasma dans des g´eom´etries po- tentiellement complexes et r´ealistes. Dans cet esprit, les maillages non-structur´es sont essentiels pour d´ecrire des d´etails g´eom´etriques qui peuvent avoir un impact sur le fonctionnement du moteur. En effet, les maillages structur´es sont souvent limit´es `a des g´eom´etries simples et peuvent demander beaucoup de temps et d’exp´erience `a r´ealiser. Au contraire, la g´en´eration d’un maillage non-structur´e est rapide et facile `a r´ealiser avec un logiciel de maillage ad´equat.
L’inconv´enient majeur des maillages non-structur´es est un adressage indirect de la connectivit´e qui r´esulte en une perte d’efficacit´e compar´e aux maillages structur´es. Il est n´ecessaire de passer par des tables de connectivit´e ce qui augmente aussi le besoin en m´emoire. Grˆace `a une table de connectivit´e cellule-nœuds, chaque ´el´ement est reli´e `a ses nœuds et chaque nœud peut identifier ses cellules environnantes. Le maillage ´etant fixe, ces informations peuvent ˆetre toutefois calcul´ees une seule fois avant la boucle temporelle.
Les maillages non-structur´es peuvent ˆetre compos´es de diff´erents types d’´el´ements comme des triangles ou des quadrilat`eres en 2 dimensions, et des t´etra`edres, hexa`edres,
prismes ou encore des pyramides en 3 dimensions. Tous ces ´elements sont utilis´es dans AVIP et il est possible de combiner plusieurs types d’´el´ements au sein d’un mˆeme maillage. Dans le cadre de cette th`ese, seuls des triangles en 2D et des t´etra`edres en 3D vont ˆetre utilis´es. Tous les d´eveloppements r´ealis´es dans AVIP avec des triangles ou t´etra`edres sont directement extensibles `a n’importe quel type d’´el´ement.
Les maillages non-structur´es sont r´ealis´es avec le logiciel de maillage CENTAUR [53] qui permet de cr´eer facilement des maillages comportant n’importe quel type d’´el´ement en respectant des crit`eres sp´ecifiques pour la r´esolution num´erique. Des exemples de maillages compos´es de triangles et de t´etra`edres dans des g´eom´etries de moteur `a effet Hall sont repr´esent´es sur les Figs. 3.6 et 3.7.
Figure 3.6: Maillage 2D compos´e de triangles d’une coupe r-z de la chambre d’un moteur `a effet Hall (voir chapitre 7) r´ealis´e avec CENTAUR [53]
Si l’on veut capturer les effets du plasma d´eviant de la quasi-neutralit´e, la lon- gueur de Debye λDe (Eq. 1.10) doit ˆetre discr´etis´ee pour d´eterminer les interactions ´electrostatiques entre les particules charg´ees. Pour d´efinir le maillage d’une simulation, la taille d’une cellule devra ainsi ˆetre inf´erieure `a 1 longueur de Debye dans tout le domaine.
3.2.3.2 Les volumes duaux
Avec une formulation centres-nœuds, le volume de contrˆole est un volume associ´e `
a chaque nœud du maillage appel´e volume dual. Ce volume peut ˆetre construit de diff´erentes fa¸cons [23, 166, 230] avec un impact sur la pr´ecision. La configuration retenue ici est la m´ethode basique de la cellule duale mediane (median cell en anglais). En 2D,
3.2 Concepts num´eriques
Figure 3.7: Maillage 3D compos´e de t´etra`edres d’un moteur PPS-5000 r´ealis´e avec CENTAUR [53]
les arˆetes du volume dual sont d´efinies `a partir des centres des cellules et des centres des arˆetes (en 3D les centres des surfaces) de chaque cellule comme d´ecrit sur la Fig. 3.8 pour un ´el´ement triangulaire. Cette m´ethode a ´et´e choisie car contrairement aux m´ethodes bas´ees sur des triangulations (Maillages de Voronoi [166]), elle est d´efinie pour n’importe quel ´el´ement et la partie de volume dual dans une cellule est toujours incluse dans cette mˆeme cellule.
Le volume d’une cellule duale peut facilement se calculer `a partir des volumes des cellules primales. En effet, la m´ethode de la cellule m´ediane implique que le volume de la cellule primale soit divis´e exactement par son nombre de sommets. Pour un triangle, le volume dual associ´e au noeud i inclus dans une cellule C du maillage est ´egal `a :
VDi = 1
3VC (3.7)
Si un nœud appartient `a N cellules triangulaires alors : VD =
X
τ ∈N 1
3VCτ (3.8)
o`u VCτ est le volume dual du noeud dans la cellule C.
Avec la formulation choisie, les informations sont stock´ees aux nœuds du maillage. On d´efinit la normale d’un nœud du maillage ~ni `a l’int´erieur d’une cellule comme l’oppos´e de la somme des normales aux faces de cet ´el´ement ~nf contenant ce noeud (les normales aux faces sont toujours orient´ees vers l’ext´erieur de l’´el´ement) :
~ni= X f ⊂i −~n f Nif (3.9)
Figure 3.8: Element triangulaire. G est le centre de la cellule, i, j et k sont les nœuds de la cellule, ~nik, ~njk et ~nij sont les normales au faces, ~ni, ~nj et ~nk sont
les normales aux noeuds (Equation 3.9), Vi
D la portion de volume dual associ´e
au noeud i, ~NDik et ~NDik les normales des faces du volume dual VDi
o`u Nif est le nombre de faces voisines contenant le nœud i et peut varier en fonction de l’´el´ement consid´er´e. Avec cette relation, les normales aux nœuds du maillage sont orient´ees vers l’int´erieur de la cellule ou de l’´el´ement consid´er´e. Dans n’importe quel ´el´ement, par circulation la somme des normales aux faces est ´egale `a z´ero. Ainsi dans un triangle :
~
nij + ~njk+ ~nik = 0 (3.10)
Avec l’´equation 3.9, la normale d’une face d’un triangle est stock´ee sur le nœud qui n’appartient pas `a cette face :
~nij = − (~njk+ ~nik) = ~nk (3.11) Cette remarque est aussi valable pour des t´etra`edres en 3 dimensions. Cependant, cette propri´et´e n’est pas v´erifi´ee par les ´el´ements bilin´eaires (quadrilat`eres par exemple).
On peut ´egalement relier les normales ~NDij des volumes duaux aux normales ~nij
des faces des volumes primaux par [17] : ~ NDij = 1 6(~njk− ~nik) = 1 6(~ni− ~nj) (3.12)