Figure 2.10: Comparaison des diff´erents termes sources sur l’´equation d’´energie totale des ions en fonction de la temp´erature ´electronique pour diff´erentes vitesses des ´electrons.
des termes sources de collisions ´energ´etiques ioniques S2
i peut s’´ecrire : Si2 = S2 i,ioniz+ Si,in2 = ρe mi me f0,ioniz mi 2me u2n+3 2 kBTn mn − ρi
f1,in(ui− un)(ui+ un) + f2,in
kB(Ti− Tn) mi
(2.83)
2.4
Conclusion
Parmi tous les mod`eles fluides de la litt´erature, un mod`ele `a 10-moments a ´et´e retenu pour cette th`ese, qui est plus complet qu’une ´equation de d´erive-diffusion. L’´equation de Poisson est r´esolue pour prendre en compte les variations du champ ´electrique vis- `
a-vis des diff´erences de charges dans le domaine. Une d´erivation rigoureuse des termes sources de collision est d´ecrite et des simplifications ont ´et´e r´ealis´ees en ad´equation avec les propri´et´es des moteurs `a effet Hall. Les fr´equences de collision d´ependent de la vitesse ´electronique, d´ependance non-n´egligeable dans certaines configurations. Les diff´erentes ´equations de ce mod`ele sont trait´ees dans le code AVIP d´evelopp´e dans cette th`ese et les diff´erents concepts num´eriques seront d´etaill´es dans le chapitre suivant.
Chapitre 3
D´eveloppement num´erique du
code AVIP
Plan
3.1 Introduction . . . 66 3.1.1 Similitude avec le code AVBP . . . 66 3.1.2 Le code AVIP . . . 67 3.2 Concepts num´eriques . . . 71 3.2.1 La m´ethode volumes finis . . . 71 3.2.2 R´esolution des ´equations et stockages des donn´ees . . . 71 3.2.3 M´etriques pour les maillages non-structur´es . . . 73 3.3 Sch´emas num´eriques pour la convection . . . 77 3.3.1 Sch´emas num´eriques du code AVBP . . . 77 3.3.2 Impl´ementation d’un sch´ema volumes finis bas´e sur un solveur
de Riemann . . . 78 3.3.3 L’approche MUSCL . . . 86 3.3.4 Int´egration temporelle . . . 89 3.3.5 Application du solveur de Riemann dans un code parall`ele et
non-structur´e . . . 93 3.3.6 Ordre des sch´emas convectifs d’AVIP . . . 95 3.3.7 Application au tube `a chocs . . . 99 3.4 Solveur implicite pour les termes sources . . . 103 3.5 R´esolution du champ ´electromagn´etique . . . 104 3.5.1 Discr´etisation de l’´equation de Poisson . . . 104 3.5.2 R´esolution du syst`eme lin´eaire avec MAPHYS . . . 107 3.6 Performances du code AVIP . . . 109 3.6.1 Les diff´erents op´erateurs d’AVIP . . . 109 3.7 Conclusion . . . 112
3.1
Introduction
Un nouveau code pour la simulation du plasma a ´et´e cr´e´e au cours cette th`ese, sur la base des ´equations d´ecrites dans le chapitre pr´ec´edent. Ce code, appel´e AVIP reprend la structure du code AVBP [204] depuis plus d’une vingtaine d’ann´ees au CERFACS. Ce chapitre d´ecrit les principaux d´eveloppements et modifications effectu´es dans AVBP pour aboutir au code AVIP.
3.1.1 Similitude avec le code AVBP
Le code AVBP est un solveur qui r´esout les ´equations de Navier-Stokes multi- esp`eces compressibles r´eactives sur des maillages non-structur´es et hybrides en 3 di- mensions. Il est utilis´e principalement dans le domaine de la combustion [122, 195] et de l’a´erodynamique [178] afin de mod´eliser les ´ecoulements turbulents instation- naires r´eactifs dans des g´eom´etries acad´emiques ou industrielles. Le code repose sur une structure adapt´ee au calcul haute performance et assure de bonnes performances sur un grand nombre de processeurs [97].
Les ´equations de Navier-Stokes compressibles r´eactives r´esolues par AVBP d´ecrivent l’´evolution des grandeurs conservatives ρk, ρu et ρE de l’´ecoulement consid´er´e et sont de la forme : ∂ρk ∂t + ∂ ∂xj (ρkuj) = − ∂ ∂xj [Jj,k] + ˙ωk (3.1) ∂ρui ∂t + ∂ ∂xj (ρuiuj) = − ∂ ∂xj [P δij − τij] (3.2) ∂ρE ∂t + ∂ ∂xj (ρEuj) = − ∂ ∂xj [ui(P δij− τij) + qj] + ˙ωT (3.3) Les termes convectifs, instationnaires et de gradient de pression pour chaque ´equation de conservation sont ´equivalents `a ceux d´eriv´es dans le syst`eme d’´equations d’AVIP. La prise en compte de plusieurs esp`eces se fait ici `a travers les k ´equations de conservation de masse 3.1 pour chaque esp`ece de densit´e ρk . Il est donc suppos´e que chaque esp`ece est convect´ee avec une vitesse d’ensemble uj contrairement `a un plasma o`u chaque esp`ece d’ions et d’´electrons a une vitesse et une temp´erature distinctes.
Le terme source de cr´eation ou de perte de masse pour chaque esp`ece est mod´elis´e par le terme ˙ωk. Il peut ˆetre assimil´e au terme source d’ionisation dans les ´equations de conservation de la masse pour les esp`eces plasmas. Dans l’´equation de conservation de l’´energie totale 3.3, le terme source ˙ωT correspond aux pertes ou gains d’´energie via les r´eactions chimiques. Des termes ´equivalents sont pr´esents dans l’´equation de conserva- tion d’´energie ´electronique 2.42 pour repr´esenter par exemple la perte d’´energie d’un ´electron par excitation d’un neutre.
3.1 Introduction
Les ´equations de Navier-Stokes prennent en compte la diffusion des grandeurs globales `
a travers un tenseur des contraintes visqueuses τij et d’un flux diffusif pour chaque esp`ece Jj,k. Les collisions entre particules de mˆeme esp`ece ´etant n´eglig´ees dans la for- mulation plasma choisie, ces termes de diffusion ne sont pas pr´esents dans AVIP. Ainsi les ´equations r´esolues par AVBP sont similaires sur certains points au syst`eme d’´equations que l’on veut r´esoudre dans le cadre de cette th`ese. Le code AVBP poss`ede donc une structure adapt´ee pour la r´esolution du syst`eme d’´equations r´egissant la phy- sique des moteurs `a effet Hall. De plus, il est aussi utilis´e dans un contexte indus- triel et poursuit le mˆeme objectif, `a savoir r´ealiser des simulations hautes performances d’´ecoulements dans des g´eom´etries complexes n´ecessitant l’utilisation de maillages non- structur´es. De nombreuses fonctionnalit´es,mod`eles et algorithmes du code AVBP sont donc compatibles avec le travail de cette th`ese et peuvent ˆetre utilis´es dans le code AVIP.
3.1.2 Le code AVIP
Le code AVIP est d´edi´e `a la r´esolution de la physique des plasmas froids pour la si- mulation des moteurs `a effet Hall. Il contient un solveur particulaire et un solveur fluide (Fig. 3.1). Le solveur PIC appel´e AVIP-PIC va servir de code de r´ef´erence pour vali- der les hypoth`eses et concepts num´eriques du code fluide AVIP-Fluide. Il sera d´etaill´e bri`evement dans la sous-section 3.1.2.2. Le d´eveloppement d’un code hybride prenant en compte les deux m´ethodologies pour simuler le mouvement des particules est un objectif `a long terme qui sera abord´e dans le cadre d’une prochaine th`ese.
Figure 3.1: Les diff´erentes possibilit´es du code AVIP
L’enjeu est ici de mod´eliser le plasma dans la chambre de d´echarge de fa¸con fluide. Bien que les mod`eles fluides ne soient pas exacts pour ce type de plasmas (voir chapitre 2), ils permettent d’avoir une solution approch´ee de l’´ecoulement et sont envisageables en terme de coˆut de calcul pour des g´eom´etries `a l’´echelle des propulseurs.
3.1.2.1 La s´eparation des op´erateurs
Le mod`ele pr´esent´e dans le chapitre 2 est complexe et prend en compte de nom- breux ph´enom`enes physiques. Le syst`eme d’´equations de conservation sans les termes sources est hyperbolique et est appel´e syst`eme d’Euler. Il est couramment int´egr´e dans de nombreux domaines de la physique et de nombreux sch´emas num´eriques r´esolvent ce syst`eme de mani`ere efficace. L’´equation de Poisson quant `a elle est parabolique et n´ecessite des m´ethodes bas´ees sur une inversion de matrice. Enfin, les termes sources d´ependant uniquement des variables du syst`eme et des champs ´electromagn´etiques, consid´er´es comme constants au cours d’une it´eration., le syst`eme qui en d´ecoule est int´egrable s´epar´ement.
Figure 3.2: Repr´esentation sch´ematique de la boucle temporelle du solveur AVIP Fluide
Ainsi, la strat´egie dans AVIP est de s´eparer la r´esolution num´erique du syst`eme complet en plusieurs sous-probl`emes correspondant `a une partie du syst`eme d’´equations, comme d´ecrit sur la Fig. 3.2. La boucle temporelle permettant de passer de la solution au temps tn `a celle au temps tn+1est d´ecompos´ee en 3 ´etapes. Premi`erement, le champ ´electrique est calcul´e avec l’´equation de Poisson `a partir de la diff´erence de densit´e entre les ions et les ´electrons pr´esents dans le domaine. Les m´ethodes num´eriques employ´ees pour r´esoudre l’´equation de Poisson sont d´etaill´ees dans la section 3.5. Ensuite, les termes sources non conservatifs sont r´esolus grˆace `a un solveur implicite. Le choix de cette m´ethode et son fonctionnement sont expliqu´es dans la section 3.4. Enfin, le syst`eme d’Euler conservatif est r´esolu afin d’obtenir l’´evolution des propri´et´es physiques
3.1 Introduction
de chaque esp`ece dans le plasma. Ce syst`eme peut ˆetre discr´etis´e de plusieurs fa¸cons dans AVIP et les diff´erents sch´emas num´eriques sont pr´esent´es dans la section 3.3.
Aucune m´ethode num´erique n’est `a ce jour suffisamment robuste pour int´egrer le syst`eme complet. S´eparer l’int´egration des diff´erentes contributions du syst`eme induit forc´ement des erreurs num´eriques. Une s´eparation simple comme r´ealis´ee dans AVIP assure d’avoir un sch´ema num´erique global `a l’ordre 1 en temps. D’autres m´ethodes de s´eparation existent pour obtenir un sch´ema d’ordre 2 en temps comme les sch´emas de s´eparation de Strang (Strang Splitting schemes) [214]. Ils sont utilis´es dans certains mod`eles fluides plasmas [2, 63] et sont particuli`erement robustes pour cette physique. Ils consistent `a int´egrer les termes sources en deux fois, avant et apr`es l’int´egration du syst`eme d’Euler, comme sur la Fig. 3.3. Ils n´ecessitent cependant de calculer deux fois l’int´egration des termes sources, ajoutant un coˆut de calcul non-n´egligeable. De plus, la diff´erence de pr´ecision entre la m´ethode Strang-Splitting et la m´ethode classique ne s’est pas av´er´ee d´eterminante dans les cas tests r´ealis´es dans la suite de la th`ese et la m´ethode simple a ´et´e finalement retenue.
Figure 3.3: S´eparation des ´etapes d’int´egration au premier ordre (`a gauche) et m´ethode de Strang (`a droite)
3.1.2.2 L’approche Particle-In-Cell (PIC)
Les m´ethodes PIC sont des m´ethodes pr´ecises et repr´esentent les effets cin´etiques du plasma `a l’int´erieur du moteur. Le code AVIP-PIC est donc utilis´e pour obtenir des
solutions de r´ef´erence aux diff´erentes configurations ´etudi´ees. L’approche particulaire ou Particle-In-Cell (PIC) va suivre l’´evolution des particules du plasma dans l’espace des phases (~x, ~v) (position et vitesse). Les macroparticules repr´esentant le plasma sont transport´ees dans le domaine en respectant les ´equations suivantes :
d ~xp
dt = ~vp (3.4)
mp d ~vp
dt = qp( ~E+ ~vp× ~B) (3.5)
Avec mp et qp respectivement la masse et la charge de la particule transport´ee. Chaque famille de particule (neutres, ions et ´electrons) est r´egie par ces ´equations et est coupl´ee aux autres par des collisions d´ecrites avec un algorithme de Monte-Carlo. L’approche num´erique du code peut se r´esumer par le diagramme de la Fig. 3.4.
Figure 3.4: Boucle temporelle d’un calcul PIC standard
Les positions ~xp des particules sont calcul´ees `a partir de leur vitesse ~vp grˆace `a un algorithme de transport au temps t + ∆t. Une fois les nouvelles positions et vitesses connues, on utilise l’algorithme de Monte-Carlo afin de d´eterminer les collisions entre les particules et de r´epercuter l’effet de ces collisions sur les positions et les vitesses. Ensuite, une interpolation du champ Lagrangien des particules sur le maillage va per- mettre d’acc´eder `a la densit´e volumique d’ions et d’´electrons dans le domaine. Le champ ´electrique est calcul´e comme pour la partie fluide avec une ´equation de Poisson `a par- tir de la diff´erence de densit´es des particules charg´ees. Finalement le champ ´electrique calcul´e ~E et le champ magn´etique modifient la vitesse des particules dans le domaine et sont utilis´es pour calculer leur transport.
La partie PIC du code n’a pas ´et´e d´evelopp´ee pendant la th`ese et n’est donc pas plus d´etaill´ee. Certains r´esultats obtenus avec AVIP-PIC [229] ont ´et´e pris comme r´ef´erence pour les calculs fluides.