Travaux antérieurs : cas solaire

Prescription de Lydon et Sofia pour un champ de sous-surface

Les premières tentatives d’incorporation du champ magnétique dans un code d’évolu- tion stellaire ont été initiées par le groupe de l’Université de Yale, afin d’en étudier les effets sur la structure des couches de sous-surface du Soleil. En 1995, Lydon & Sofia [22] proposent d’introduire une « perturbation magnétique » χ laissée arbitraire et définie de sorte que

B2 2 µ0

= χ ρ, (5.28)

si bien que son intégrale sur la masse de l’étoile vaille l’énergie magnétique prise en compte :

ˆ M∗

χ dM = Emag. (5.29)

La pression magnétique Pmag, composante radiale du tenseur de pression magnétique est alors reliée à la densité d’énergie magnétique par une relation

Pmag = (γ− 1) χ ρ, (5.30)

γ étant un facteur d’anisotropie supposé contenir l’anisotropie du champ (les auteurs ren- voient par exemple au facteur d’ansotropie défini par Goldreich, 1991 [12]).

Le premier principe de la thermodynamique est alors selon leur approche modifié pour tenir compte de la présence de champ magnétique :

dUtot = T dStot− PtotdV + (γ− 1) χ

VdV, (5.31)

où l’énergie interne totale Utot =U + Umag, l’entropie totale Stot= S + Smag et la pression totale Ptot = P + Pmag (les grandeurs associées au champ magnétique étant désignée par l’indice mag). Les capacités calorifiques sont en conséquence modifiées (par une relation implicite, ce qui complique la mise en œuvre du formalisme) ainsi que le critère et l’efficacité de la convection.

Dans cet article, les auteurs se limitent au cas γ = 2 et choisissent un profil de χ gaussien, de la forme

χ = χmaxe−

1

2[(MD−MDC)/σ]2_, (5.32)

où la profondeur de masse MD est définie par MD = log10(1− Mr/M∗).

Les effets sur un ensemble de quantités observables induits par la présence de (i) un champ magnétique « profond » mais localisé (MDC =−1.45 et σ = 0.20, ce qui correspond à un champ localisé en Mr = 0.964+0.092−0.026M∗) et (ii) un champ de sous-surface mais pro- portionnellement plus étendu (MDC =−7.20 et σ = 0.90, ce qui correspond à un champ localisé en Mr= (1− 10−7.2)+1.96×10

−5

Table5.1 – Perturbations induites par la présence d’un champ magnétique profond et d’un champ magnétique local de sous-surface dans un modèle solaire, sur sa structure interne et en surface. Crédit : Lydon & Sofia, 1995 [22]

Le facteur d’anisotropie de Goldreich (1991) [12] pourrait constituer une exten- sion au modèle de Lydon & Sofia pour prendre en compte de manière plus consistante la géométrie du champ magnétique. Il est défini par

γG=

< Bh >2 − < Br>2

< Bh >2 + < Br>2 (5.33)

où la moyenne < f > d’un champ scalaire f est définie par

< f >= 1 4 π

ˆ Ω

f dΩ, (5.34)

dΩ = sin θ dθdϕ générant l’angle solide sur tout l’espace Ω = 4 π et les indices h et r indiquent respectivement les directions horizontale et radiale. γG prend des valeurs com- prises entre −1 (champ purement radial) et 1 (champ purement horizontal). En particulier, Goldreich note qu’un champ force-free présente une valeur de γG= 0 et un champ statis- tiquement aléatoire donne γG= 1/3.

Le code Yrec

En 2001, Li & Sofia [21] améliorent la méthode proposée par Lydon & Sofia [22]. L’influence du champ magnétique sur les opacités radiatives est prise en compte, ainsi q’une équation d’état plus générale ; enfin ils appliquent la méthode dans la nouvelle version du code d’évolution stellaire de l’Université de Yale, Yrec (« Yale Rotating stellar Evolution Code »), dans le cas sans rotation. Ce code est modifié pour pouvoir suivre l’évolution stellaire sur des pas de temps aussi faibles qu’un an dans le cas du Soleil, ce qui permet de mettre en évidence l’influence des cycles solaires sur sa structure interne. Le profil de la pression magnétique est défini d’après une gaussienne comme précédemment, ce qui leur a permis, à partir des mesures d’irradiance totale et de température effective de 1978 à 1992, d’en déduire l’amplitude et la localisation du champ magnétique de sous-surface responsable de ces variations. Celui-ci se situe aux alentours de 0.96 R⊙ et possède une amplitude (intensité maximale) allant de 20 à 47 kG. Cependant les auteurs n’excluent pas une composante de l’ordre de 300 kG dans la région d’overshoot, sa contribution étant négligeable en regard de la précision sur les observations.

Introduction d’une pression magnétique pour simuler la présence de champs magnétiques internes

Dans le but de voir si l’on peut fixer une limite à l’amplitude du champ magnétique à partir de la différence entre la vitesse du son déduite des inversions héliosismiques et celle obtenue à partir des codes d’évolution stellaires classiques, S. Couvidat, S. Turck-Chièze et A. G. Kosovichev [6] ont introduit une pression magnétique reproduisant les effets d’un champ magnétique (purement toroïdal) dans un code d’évolution stellaire. Cette pression magnétique était paramétrée de sorte à pouvoir modéliser l’influence d’un champ présent dans la zone radiative, dans la tachocline et dans les régions de sous-surface, i.e. là où le désaccord entre la vitesse du son observée et celle obtenue des modèles est le plus impor- tant.

En suivant Gough & Thompson (1990) [13], le champ simulé est de la forme Bϕ = a(r)_dθdPk(cos θ)ˆeϕ, où la composante angulaire est supposée quadrupolaire (k = 2). De plus la vitesse du son est modifiée par le champ magnétique pour donner des ondes magnéto- sonores qui, dans le cas où le champ est perpendiculaire aux ondes acoustiques, possèdent une vitesse de cms =

q c2

s+ v2A, où vA est la vitesse d’Alfvén définie par vA2 = B2/(µ0ρ). Deux profils radiaux sont ensuite considérés :

– premièrement, pour simuler le champ dans la zone radiative, la dépendance radiale est en a(r) =    Kλ  r r0 2 1−r r0 2λ si r≤ 0, 0 sinon, (5.35)

où Kλ = (A + λ)(1 + 1/λ)λB0, λ = 10 r0+ 1 et r0 est le rayon de la base de la zone convective, pris à 0.712 R⊙;

– enfin, la loi choisie pour modéliser le champ dans la tachocline ou dans les couches de sous-surface s’écrit : a(r) = ( B0 h 1− r−r0 d
2i si |r − r0| ≤ d, 0 sinon, (5.36)

d représentant la demi-largeur de la zone dans laquelle est présent le champ magné- tique et r0 étant le centre de cette zone.

Les intensités varient de 10 MG à 100 MG pour le champ dans la zone radiative, de 300kG à 500kG dans la tachocline et de 3 kG à 20 KG dans la région de sous-surface. Il est alors mis en évidence qu’un champ de 100 MG est exclus dans la zone radiative. Une limite de 30 MG est donnée d’après la variation maximale sur la vitesse du son compatible avec les barres d’erreur observationnelles. Par le même diagnostic, les amplitudes maximales dans la tachocline et la région de sous-surface sont limitées à 500 kG et 30 kG respectivement. Des travaux ultérieurs ont montré que l’amplitude du champ fossile ne devrait pas dépasser 2 MG, c’est la valeur que nous adopterons dans notre étude.